Table des matières
Introduction 1
1 Équations de SCHRÖDINGERnon linéaires couplées 7
1.1 Questions de vocabulaire . . . . 1.1.1 Non-linéarité . . . . 1.1.2 Soliton ou onde solitaire? . . . . 1.1.3 Caractère vectoriel . . . . 1.1.4 État lié . . . . 1.2 Modélisation de la propagation lumineuse en fibres optiques . . . . 1.2.1 Automodulation de phase et intermodulation de phase . . . .
1.2.2 Équations couplées décrivant la propagation lumineuse en fibres optiques . .
1.2.3 Simplification des équations de propagation . . . .
1.2.4 Phénomènes descriptibles par un système d’équations deSchrödinger nl .
1.3 Propriétés des équations deSchrödinger nlcubiques couplées . . . .
1.3.1 Propriétés générales du système . . . .
1.3.2 Solutions analytiques dans les cas dégénérés . . . .
1.3.3 Solutions de l’équation deManakov . . . .
1.4 Synthèse de ce chapitre . . . .
2 Instabilité des états liés de solitons vectoriels 27
2.1 Solitons vectoriels dans les fibres isotropes . . . .
2.1.1 Motivation de l’étude des états liés du premier ordre . . . .
2.1.2 Approche mathématique . . . .
2.2 Description analytique de l’état lié . . . .
2.2.1 Méthode variationnelle . . . .
2.2.2 Inaptitude de la méthode variationnelle à statuer sur la stabilité . . . .
2.3 Instabilité de l’état lié . . . .
2.3.1 Étude par perturbation au premier ordre . . . .
2.3.2 Détermination des états liés . . . .
2.3.3 Étude numérique en fibre isotrope . . . .
2.3.4 Dispositif de commutation tout optique . . . .
2.3.5 Dépendance de l’instabilité en la biréfringence non linéaire . . . .
2.4 Particularisation de l’étude au cas deManakov . . . .
2.5 Extension aux solitons dans les milieux photoréfractifs . . . .
2.6 Synthèse de ce chapitre . . . .
v
3 Observation expérimentale de l’IMPisotrope 61 3.1 Instabilité modulationnelle de polarisation . . . .
3.1.1 Approche physique de l’instabilité modulationnelle . . . .
3.1.2 Approche mathématique . . . .
3.1.3 Vision en tant que mélange à quatre ondes . . . .
3.1.4 Instabilité modulationnelle en polarisation elliptique . . . .
3.2 Évolution de l’instabilité et récurrence deFermi-Pasta-Ulam . . . .
3.3 Instabilité modulationnelle et solitons . . . .
3.3.1 Approche physique . . . .
3.3.2 Approche mathématique : étude du potentiel . . . .
3.4 Observations de l’instabilité modulationnelle . . . .
3.4.1 Considérations d’ordre général . . . .
3.4.2 Simulations numériques . . . .
3.4.3 Schéma expérimental . . . .
3.4.4 Méthodologie . . . .
3.4.5 Présentation et analyse des résultats . . . .
3.4.6 Biréfringence linéaire induite . . . .
3.4.7 Conclusions . . . .
3.5 Synthèse de ce chapitre . . . .
4 Caractérisation de phénomènes ultracourts 101
4.1 Représentations d’une impulsion lumineuse . . . .
4.1.1 Représentation temporelle . . . .
4.1.2 Représentation spectrale . . . .
4.1.3 Spectrogramme . . . .
4.1.4 Sonogramme . . . .
4.1.5 Distribution deWigner . . . .
4.2 Mesure d’une impulsion lumineuse . . . .
4.2.1 Mesures classiques . . . .
4.2.2 Méthodes non linéaires . . . .
4.3 Mesure de trains ultrarapides d’impulsions courtes . . . .
4.3.1 Présentation théorique de la méthode . . . .
4.3.2 Réalisation expérimentale . . . .
4.3.3 Estimation de l’erreur sur la mesure . . . .
4.3.4 Conclusion . . . .
4.4 Mesure d’impulsions ultracourtes . . . .
4.4.1 Principe de la méthode . . . .
4.4.2 Dispositifs de superposition de spectres décalés . . . .
4.4.3 Effets « chorochronocycliques » . . . .
4.4.4 Expérience . . . .
4.4.5 Mesure de la phase spectrale par utilisation d’un masque . . . .
4.4.6 Application à la mesure de phénomènes non linéaires . . . .
4.4.7 Propositions d’amélioration du dispositif . . . .
4.4.8 Conclusion . . . .
4.5 Spectres décalés pour les trains ultrarapides . . . .
4.6 Synthèse de ce chapitre . . . .
Conclusion 173
vi
A La méthode variationnelle et ses fondements 177 A.1 Minimisation d’une fonctionnelle . . . .
A.1.1 Définition du problème . . . .
A.1.2 Solution sous forme d’un système d’équations . . . .
A.1.3 Généralisation des équations d’Euler-Lagrange . . . .
A.2 Formalismes lagrangien et hamiltonien . . . .
A.2.1 Densité lagrangienne et coordonnées généralisées . . . .
A.2.2 Principe de moindre action . . . .
A.2.3 Formalisme deHamilton . . . .
A.2.4 Adaptation au cas des fonctions dépendant de plusieurs variables . . . .
A.3 Formulation lagrangienne de l’équation deSchrödinger nl . . . .
B Dérivées partielles de fonctions de variables complexes 185 B.1 Fonctions de variables complexes : rappels et notations . . . .
B.2 Dérivée d’une fonction de variables complexes . . . .
B.3 Dérivées partielles d’une fonction de variables complexes . . . .
B.4 Exemple d’application : le théorème deCauchygénéralisé . . . .
B.5 Dérivées partielles et méthode variationnelle . . . .
B.5.1 Considérations générales . . . .
B.5.2 Application à l’équation deSchrödinger nl . . . .
C Rappels sur la polarisation de la lumière 193
C.1 Lumière monochromatique . . . .
C.1.1 Formalisme deJones . . . .
C.1.2 Base des polarisations linéaires . . . .
C.1.3 Base des polarisations circulaires . . . .
C.1.4 Vecteur deStokes . . . .
C.2 Lumière quasi-monochromatique . . . .
C.2.1 Généralisation des vecteurs deStokes . . . .
D Notations 201
D.1 Champ électrique . . . .
D.1.1 Dépendance temporelle . . . .
D.1.2 Base de polarisation . . . .
D.2 Variables longitudinales et transverses . . . .
D.3 Indices et exposants . . . .
Bibliographie 203
1
vii
