UNIVERSITE DU LITTORAL COTE D’OPALE
Master 1 “Economie et Gestion de l’Environnement et du D´eveloppement Durable”
Gestion de Projets
Daniel DE WOLF
Table des mati`eres
I Techniques de gestion de projets 9
1 Introduction 11
1.1 Objectifs du cours . . . 11
1.2 Plan du cours . . . 11
1.3 D´efinition de la gestion de projets . . . 13
1.3.1 D´efinition du projet . . . 13
1.3.2 D´efinition des objectifs du projet . . . 13
1.3.3 Notion de tˆaches d’un projet . . . 14
1.3.4 La d´efinition de la gestion de projets . . . 14
1.4 Exercices . . . 17
2 L’ordonnancement de projets 21 2.1 Introduction . . . 21
2.2 Formulation du probl`eme . . . 23
2.3 Repr´esentation graphique du probl`eme . . . 24
2.3.1 Graphe de la m´ethode du potentiel . . . 24
2.3.2 Repr´esentation des autres types de contraintes . . . 25
2.3.3 Condition d’existence d’une solution . . . 26
2.4 Classement des activit´es par niveaux . . . 27
2.5 Calcul de l’ordonnancement . . . 31
2.5.1 Ordonnancement au plus tˆot . . . 31
2.5.2 Ordonnancement au plus tard . . . 31
2.6 Chemin critique et calcul des marges . . . 33
2.6.1 Notion de tˆache critique . . . 33 3
2.6.2 Notion de chemin critique . . . 34
2.6.3 Notions de marge libre et de marge ind´ependante . . . 35
2.7 L’ordonnancement par la m´ethode PERT . . . 36
2.8 R´eduction de la dur´ee du projet . . . 39
2.9 Programmation effective du projet . . . 41
2.10 Pr´esentation des r´esultats . . . 43
2.11 Prise en compte des contraintes disjonctives . . . 43
2.12 Cas de contraintes cumulatives . . . 45
2.12.1 Crit`ere de minimisation de la dur´ee d’ach`evement du projet 46 2.12.2 Crit`ere de lissage de charge des ressources utilis´ees . . . . 48
2.13 Exercices . . . 49
3 Analyse du projet 57 3.1 D´efinition du projet . . . 57
3.1.1 Structuration hi´erarchis´ee du projet . . . 57
3.1.2 Les phases du projet . . . 60
3.1.3 Utilit´e de l’ing´enierie concourante . . . 62
3.1.4 Gestion simultan´ee de plusieurs projets . . . 62
3.2 D´efinition technique des tˆaches et de leurs relations . . . 63
3.2.1 Les relations entre tˆaches . . . 64
3.2.2 Les caract´eristiques de la tˆache . . . 67
3.3 Le coˆut du projet . . . 68
3.3.1 Analyse des coˆuts sur la dur´ee de vie d’un produit . . . . 68
3.4 Analyse ´economique du projet . . . 70
3.4.1 L’appel `a l’actualisation . . . 70
3.4.2 Un exemple de choix de capacit´e . . . 72
3.5 Exercices . . . 77
4 Le suivi du projet 83 4.1 Introduction . . . 83
Table des mati`eres 5
4.3 Le suivi des coˆuts . . . 85
4.3.1 Les donn´ees de r´ef´erences . . . 85
4.3.2 Les donn´ees r´evis´ees `a date t . . . 85
4.3.3 Les grandeurs `a comparer . . . 87
4.3.4 Analyse de l’´ecart de planning . . . 88
4.3.5 Analyse de l’´ecart de coˆut . . . 90
4.4 Exercices . . . 91
5 La prise en compte du risque 95 5.1 Introduction . . . 95
5.2 L’approche quantitative du risque . . . 96
5.2.1 Distribution statistique de la dur´ee d’une tˆache . . . 96
5.2.2 L’approche classique . . . 101
5.2.3 L’approche simulatoire . . . 104
5.2.4 Limites de l’approche quantitative du risque d´elai . . . 108
5.3 L’analyse qualitative du risque . . . 109
5.3.1 Les risques internes encourus en phase d’´elaboration du projet . . . 109
5.3.2 Les risques externes encourus en phase d’´elaboration du projet . . . 110
5.3.3 Les risques relatifs `a la pr´evision d’utilisation des ressources111 5.3.4 Les risques encourus en phase d’ex´ecution du projet . . . 112
5.4 La prise en compte du risque . . . 113
5.4.1 La diminution du risque en phase d’´elaboration . . . 113
5.4.2 Organisation de la r´eactivit´e . . . 114
5.5 Exercices . . . 115
A Formulaire pour la gestion de projets 119 A.1 Notion de marge libre et de marge totale . . . 119
A.2 Calcul d’annuit´es . . . 119
A.3 D´efinition de l’´ecart de planning . . . 120
A.5 Distribution de probabilit´e . . . 121
A.6 L’approche classique du risque . . . 124
B Table de nombres au hasard 125 C Table de la loi normale centr´ee r´eduite 127 D ´Etudes de cas 131 D.1 Cas 1 : Soci´et´e de routage . . . 131
D.2 Cas 2 : Achat de mat´eriel informatique . . . 131
D.3 Cas 3 : Conception d’un site Internet . . . 131
Liste des figures
2.1 Graphe de la m´ethode du potentiel. . . 23
2.2 Graphe de la m´ethode PERT. . . 23
2.3 graphe associ´e. . . 24
2.4 Trois autres types de contraintes. . . 25
2.5 Circuit de longueur positive. . . 26
2.6 Classement par niveaux. . . 30
2.7 Relation d’ant´eriorit´e inutile. . . 30
2.8 Ordonnancement au plus tˆot. . . 31
2.9 Ordonnancement au plus tard. . . 32
2.10 Calcul des marges . . . 33
2.11 Cas de plusieurs chemins critiques. . . 34
2.12 Graphe associ´e pour la m´ethode PERT. . . 37
2.13 Introduction d’un contrainte. . . 38
2.14 Arc fictif. . . 38
2.15 Ordonnancement par la m´ethode PERT. . . 39
2.16 R´eduction d’un jour de la dur´ee du projet . . . 40
2.17 R´eduction de la dur´ee du projet de deux jours . . . 41
2.18 Graphe de la m´ethode des potentiels . . . 42
2.19 Diagramme de Gantt-Ateliers . . . 43
2.20 Diagramme de Gantt-Tˆaches (projet) . . . 44
2.21 Diagramme de charge . . . 44
2.22 Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource . . . 46
2.23 Solution 2 : priorit´e `a la tˆache critique . . . 47 2.24 Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6. 47
2.25 Solution 4 : d´efinir une tˆache par sa quantit´e totale de travail. . . . 48
3.1 Organigramme technique : top-down. . . 58
3.2 Organigramme technique : bottom-up. . . 59
3.3 Trois graphes potentiels-tˆaches correspondant aux 3 niveaux. . . . 60
3.4 Approche s´equentielle classique. . . 62
3.5 Overlapping problem solving. . . 63
3.6 Gammes alternatives. . . 65
3.7 Recouvrement : un exemple . . . 66
3.8 Recouvrement : mise en œuvre . . . 66
3.9 Cycle des coˆuts engag´es et d´ecaiss´es. . . 69
3.10 Flux nets de tr´esorerie . . . 69
3.11 Logique d’actualisation . . . 72
3.12 Arbre de d´ecision . . . 73
3.13 Construction de 5 000 en cas de demande forte. . . 74
3.14 Construction de 2 000 (+3000) en cas de demande forte. . . 75
4.1 Le suivi d’ex´ecution des tˆaches . . . 84
4.2 Le suivi des coˆuts . . . 86
4.3 Les ´ecarts de coˆut . . . 89
5.1 Distribution uniforme de probabilit´e . . . 97
5.2 Distribution Bˆeta de probabilit´e . . . 98
5.3 Distribution normale de probabilit´e . . . 99
5.4 Distribution triangulaire de probabilit´e . . . 100
5.5 Intervalle `a 95 % sur la dur´ee du projet . . . 103
5.6 Construction de la fonction de r´epartition . . . 106
A.1 Distribution uniforme de probabilit´e . . . 121
A.2 Distribution Bˆeta de probabilit´e . . . 122
A.3 Distribution normale de probabilit´e . . . 123
Partie I
Techniques de gestion de projets
Chapitre 1
Introduction
1.1 Objectifs du cours
Le but de ce cours de gestion de projets est double. Il s’agit, d’une part, de donner aux ´etudiants les bases pour la formulation de probl`emes de gestion de projets et, d’autre part, d’introduire les techniques de r´esolution de ces probl`emes. On pr´esentera les techniques d’ordonnancement, d’analyse de projets, de suivi de projets et de gestion du risque.
Comme r´ef´erence principale, nous utiliserons le livre de Giard Gestion de
projets, [2].
Des ´etudes de cas illustrant les concepts vus au cours pourront ˆetre trouv´ees dans les les ouvrages suivants :
• Sandrine FERNEZ-WALCH, Management de nouveaux projets, [1], • Robert HOUDAYER, Evaluation financi`ere des projets [4],
• Rolande MARCINIAK et Martine CARBONEL, Management des projets informatiques [6]
• J.R. MEREDITH et al, Project Management [7].
1.2 Plan du cours
Le cours est divis´e en cinq chapitres.
Chapitre 1 : Introduction. Dans ce chapitre, nous donnerons une d´efinition de
la gestion de projets que l’on rencontre aussi bien pour les probl`emes de
type s´erie unitaire (construction d’ouvrages d’art,..) que pour le lance-ment de nouveaux produits (lancelance-ment d’un nouveau mod`ele automobile
par exemple). On pr´esentera les objectifs de respect de la qualit´e, de respect
des d´elais et de respect des coˆuts. On pr´esentera bri`evement la direction de projet qui rel`eve des d´ecisions strat´egiques (d´efinition des objectifs, des
res-sources `a mettre en œuvre et appr´eciation des risques) et le contrˆole de projet qui, lui, rel`eve des d´ecisions tactiques (estimation pr´ealable de la dur´ee et des coˆuts des tˆaches, respect des d´elais et des coˆuts durant la r´ealisation du projet).
Chapitre 2 : L’ordonnancement de projets. Dans ce chapitre, nous pr´esente-rons les deux principales techniques de planification de projets, `a savoir la m´ethode du potentiel et la m´ethode PERT. Pour chacune de ces deux m´ethodes, nous verrons comment repr´esenter le probl`eme `a l’aide d’un graphe, comment calculer les dates de d´ebut au plus tˆot et au plus tard des tˆaches ainsi que la mani`ere de calculer le chemin critique. Nous ver-rons ´egalement comment tenir compte de contraintes additionnelles telles que les contraintes disjonctives (un ´equipement `a partager) ou de lissage de
charge des ressources utilis´ees. Nous verrons ´egalement comment l’analyse du chemin critique peut ˆetre utile pour r´eduire la dur´ee du projet.
Chapitre 3 : L’analyse du projet. Lors de la d´efinition du projet, il convient de donner une d´efinition pr´ecise des phases du projet, une d´efinition fine des tˆaches du projet et de leurs relations ainsi qu’un calcul des coˆuts de
r´ealisation des tˆaches du projet. On s’int´eressera ´egalement dans ce chapitre
`a l’´elaboration du plan d’investissement n´ecessaire `a la r´ealisation du projet et `a l’analyse ´economique du projet.
Chapitre 4 : Le suivi de projets. Dans ce chapitre, nous pr´esenterons les deux principales techniques de contrˆole d’un projet, `a savoir le suivi de la
pro-grammation (suivi de l’ex´ecution des tˆaches) et le suivi des coˆuts (contrˆole
budg´etaire du projet). On analysera les ´ecarts de planning et les ´ecarts de coˆut et on pr´esentera les indicateurs `a mettre en œuvre `a fin de d´etecter ces ´ecarts.
Chapitre 5 : La prise en compte du risque. Dans ce chapitre, nous pr´esente-rons les deux principales approches de prise en compte du risque. Dans
l’approche quantitative du risque, on utilise une distribution statistique de
la dur´ee ou du coˆut de r´ealisation d’une tˆache. On peut alors faire des simu-lations. Dans l’approche qualitative du risque, on pr´esentera les diff´erentes techniques de r´eduction des risques encourus aussi bien dans la phase de d´efinition du projet (mauvaises pr´evisions) que dans la phase d’ex´ecution (rencontre d’al´eas externes).
Section 1.3. D´efinition de la gestion de projets 13
1.3 D´efinition de la gestion de projets
1.3.1 D´efinition du projet
Comme l’indique Giard [2],
D´efinition 1.1 Un projet est d´efini et mis en œuvre pour ´elaborer une r´eponse
au besoin d’un utilisateur, d’un client et il implique un objectif et des actions `a entreprendre avec des ressources donn´ees.
Cette d´efinition implique que l’on mette en œuvre une organisation sp´ecifique et temporaire durant la pr´eparation et la r´ealisation du projet.
A titre d’exemples, on peut classer ce qui peut faire l’objet d’un projet sous les quatre rubriques suivantes :
• La production de type s´erie unitaire qui se d´efinit comme la mobilisation
de toutes les ressources de l’entreprise pour la r´ealisation d’un projet de production sur une dur´ee assez longue. Les exemples classiques sont la construction navale de tr`es gros bateaux (type France ou Queen Mary II), les grands ouvrages de g´enie civil (tels que le Tunnel sous la manche).
• Les activit´es de gestion non r´ep´etitive correspondant `a un enjeu
technico-´economique important pour l’entreprise. Les exemples classiques sont le lancement d’un nouveau produit, le changement de syst`eme informatique, un investissement important dans de nouveaux outils de production.
• Mˆeme dans les industries de production de masse, la gestion de projet est
uti-lis´ee pour raccourcir de mani`ere importante l’intervalle de temps qui s´epare la d´ecision de cr´eer un produit de sa production en s´erie. Un exemple clas-sique est le lancement d’un nouveau mod`ele automobile.
• Enfin, programmes d’aide aux pays en voie de d´eveloppement sont souvent
ordonn´ees et contrˆol´es avec les techniques d’ordonnancement et de contrˆole de projets qui seront pr´esent´ees dans ce cours.
1.3.2 D´efinition des objectifs du projet
Dans tout projet, on peut identifier trois cat´egories d’objectif qui sont souvent antagonistes :
• Les objectifs de performance technique relatifs au respect des sp´ecifications
ainsi un niveau de qualit´e en ce qui concerne, par exemple le respect de tol´erance, la fiabilit´e du produit, la facilit´e d’usage,. . . etc
• Les objectifs de d´elai sont un composante tr`es importante pour le client.
Ainsi, il ne sert `a rien de livrer un stade olympique 3 mois apr`es la fin des jeux olympiques. D’autre part, dans un march´e concurrentiel, tel que celui des produits pharmaceutiques, ˆetre le premier `a mettre sur le march´e un nouveau vaccin ou un nouveau m´edicament peut repr´esenter un effet de monopole et des gains substantiels pour le premier arriv´e sur le march´e.
• Les objectifs de coˆut sont primordiaux, notamment dans le cadre d’un contrat
`a prix non r´evisables ou dans le cas d’un projet interne.
Ces trois cat´egories d’objectif sont fortement li´ees. Par exemple, il est plus facile de respecter des objectifs techniques si le d´elai imparti est plus grand ou si les ressources mises en œuvre sont plus nombreuses et donc plus on´ereuses.
1.3.3 Notion de tˆaches d’un projet
Un projet est constitu´e d’un ensemble de tˆaches ou encore d’activit´es. Chaque tˆache du projet :
• est identifi´ee par son rˆole `a jouer dans l’ex´ecution du projet, • se caract´erise par un d´ebut et une fin,
• consomme des ressources qui ont un coup d’utilisation et sont disponibles
en quantit´e limit´ee,
• est souvent reli´ee aux autres tˆaches du projet par des relations d’ant´eriorit´e
qui impliquent qu’une tˆache ne peut d´ebuter avant qu’une autre ne soit pr´ealablement termin´ee (bien qu’un certain recouvrement des tˆaches soit possible dans certains cas comme nous le verrons).
On r´esumera utilement la liste des tˆaches, de leurs ancˆetres et de leur consommation de ressource par un tableau tel que celui pr´esent´e en tableau 1.1.
1.3.4 La d´efinition de la gestion de projets
Le management de projet comporte deux fonctions bien diff´erentes :
• La direction de projet qui s’int´eresse aux d´ecisions strat´egiques (d´ecisions `a
Section 1.3. D´efinition de la gestion de projets 15
No tˆache dur´ee pr´ealables Consommation
(jours) de ressources
1 terrassement 5 - 1 ouvrier
2 fondations 4 1 3 ouvriers
3 colonnes porteuses 2 2 2 ouvriers
4 charpente toiture 2 3 2 ouvriers
5 couverture 3 4 4 ouvriers
6 ma¸connerie 5 3 3 ouvriers
7 plomberie, ´electricit´e 3 2 2 ouvriers
8 coulage dalle b´eton 3 7 2 ouvriers
9 chauffage 4 8 et 6 1 ouvrier
10 plˆatre 10 9 et 5 4 ouvriers
11 finitions 5 10 1 ouvrier
• la gestion de projet qui s’int´eresse aux d´ecisions op´erationnelles (d´ecisions
`a court terme de gestion des ´equipements et du personnel).
La direction de projet est assur´ee par un chef de projet assist´e parfois d’une ´equipe. La mission de cette direction de projet est quadruple :
1. fixer les objectifs du projet en terme de d´elais, de performances techniques (notamment le choix des solutions techniques),
2. d´efinir les moyens `a mettre en œuvre en ce qui concerne les ressources mat´erielles et humaines. Ce qui implique directement d’attribuer un budget `a la r´ealisation du projet.
3. d’appr´ecier les risques encourus et de mettre en œuvre des proc´edures de surveillance (par exemple, d´efinir des indicateurs de tenue des d´elais et des coˆuts),
4. d’animer les hommes qui travaillent sur le projet en coordonnant leurs ac-tivit´es, en faisant des ´evaluations r´eguli`eres qui conduisent parfois `a r´eviser les objectifs du projet.
La gestion de projet est assur´ee par un contrˆoleur de projet. Elle a pour objectif d’apporter `a la direction de projet les informations relatives `a l’avancement de l’ex´ecution du projet, au respect de ses objectifs et de ses coˆuts.
• Durant la phase de pr´eparation, la gestion de projet permet une estimation
rapide de la dur´ee des tˆaches et des moyens `a mobiliser et donc des coˆuts induits. Ceci permet de pr´eparer l’ordonnancement.
• Durant l’ex´ecution du projet, la gestion de projet vise la maˆıtrise des d´elais
et des coˆuts en utilisant des tableaux de bord.
• A la fin du projet, on fait un bilan final du projet qui permet de tirer des
enseignements pour l’avenir.
Dans ce cours, nous allons pr´esenter un certain nombre d’outils qui rel`event de la gestion de projets : par exemple, les techniques d’ordonnancement qui seront pr´esent´ees au chapitre 2, les techniques de suivis budg´etaire et de planning qui seront pr´esent´ees au chapitre 4.
Nous pr´esenterons ´egalement un certain nombre de techniques relevant de la
direction de projets : par exemple, l’analyse ´economique du projet qui fera l’objet
du chapitre 3 ainsi que les techniques de gestion du risque qui feront l’objet du chapitre 5.
Section 1.4. Exercices 17
1.4 Exercices
1.1. Installation d’un syst`eme de d´epollution de l’air. Pour installer un syst`eme de d´epollution de l’air, une entreprise a identifi´e 8 tˆaches `a entreprendre. Au d´ebut du projet deux tˆaches peuvent commencer simultan´ement : la const-ruction de composants internes `a l’entreprise (tˆache A) et la modification du plafond de l’usine (tˆache B). La construction du collecteur d’air (tˆache C) n´ecessite la fin de la construction des composants internes (tˆache A). L’installation du nouveau cadre (tˆache D) peut avoir lieu d`es que les compo-sants sont disponibles (tˆache A) et que le plafond de l’usine (tˆache B) a ´et´e modifi´e. Apr`es l’installation du collecteur d’air (tˆache C), deux tˆaches peu-vent commencer : l’installation du brˆuleur haute temp´erature (tˆache E) et le syst`eme de contrˆole des polluants ´emis (tˆache F). Le syst`eme de d´epollution des fum´ees (tˆache G) peut ˆetre install´e apr`es que le cadre (tˆache D) et le brˆuleur haute temp´erature (tˆache E) aient ´et´e install´es. Lorsque le syst`eme de contrˆole des polluants ´emis (tˆache F) et le syst`eme de d´epollution des fum´ees (tˆache G) sont install´es, on peut tester le syst`eme afin de le mettre en fonctionnement (tˆache H).
(a) On demande de remplir le tableau 1.2 en y indiquant les pr´ealables de chaque tˆache.
Code Tˆache Ant´eriorit´e Dur´ee
A Construction des composants internes 2
B Modification du plafond 3
C Construction du collecteur d’air 2
D Installation du nouveau cadre 4
E Installation du brˆuleur haute temp´erature. 4
F Installation du contrˆole d’´emission 3
G Installation du syst`eme de d´epollution 5
H Test et mise en service du syst`eme 2
Tableau 1.2: Tableau des pr´ealables et des dur´ees des tˆaches
1.2. Cas de l’entreprise BURBOX. La soci´et´e BURBOX est une soci´et´e sp´ecia-lis´ee dans la fabrication de meubles de bureau. Elle envisage d’´edifier une nouvelle usine `a la place d’un entrepˆot inutilis´e afin de r´epondre `a l’accrois-sement de sa demande. Les tˆaches `a ex´ecuter sont les suivantes :
1) La d´emolition de l’ancien entrepˆot et l’enl`evement des gravats par la soci´et´e DUPOND a une dur´ee estim´ee `a 10 jours ouvrables. L’op´eration est factur´ee 300.000 euro le premier jour de l’ex´ecution de la tˆache. Le permis de d´emolition est d´ej`a accord´e.
2) L’obtention du permis de bˆatir pour le nouveau bˆatiment devrait prendre 25 jours.
3) Les travaux de terrassement, qui ne peuvent d´ebuter avant que le permis ne soit accord´e, sont pr´evus pour une dur´ee de 5 jours. Le coˆut est de 180 euro par m3 et on estime qu’il y a 5.000 m3 `a enlever. Le paiement est fait pour moiti´e au d´ebut et pour moiti´e `a la fin de la tˆache. 4) Les travaux de fondation du nouveau bˆatiment durent 10 jours pour
un coˆut pr´evu de 370.000 euro `a payer le premier jour. 5) Le gros œuvre est scind´e en deux tranches :
5.1 La premi`ere tranche d´ebutant apr`es les fondations est pr´evue pour une dur´ee de 18 jours et un coˆut pr´evisionnel de 478.000 euro qu’il est pr´evu de payer en trois fois (20 % au d´ebut, 40 % le 10`eme jour et le solde `a la fin du gros œuvre 1);
5.2 La seconde tranche, qui peut d´ebuter 5 jours avant la fin de la premi`ere tranche, doit durer 7 jours et a un coˆut pr´evu de 140.000 euro (50 % au d´ebut, 50 % `a la fin).
6) La toiture devrait pouvoir ˆetre faite en 10 jours au prix de 340.000 euro (`a payer le premier jour) et peut d´ebuter 5 jours avant la fin de la seconde tranche du gros œuvre.
7) La tˆache de finition du bˆatiment consiste en les cinq tˆaches suivantes : 7.1 La pose de panneaux industriels de plˆatre pour une dur´ee de 6
jours et un coˆut forfaitaire de 150.000 euro `a payer au d´ebut; 7.2 La premi`ere phase d’´electrification du bˆatiment consiste en
l’ins-tallation successive de 3 transformateurs. Elle est effectu´ee par la soci´et´e LAMBERT pour 500.000 euro (versement initial de 200.000 euro, versement de 100.000 euro `a la r´eception de chaque transformateur). L’installation et la r´eception d’un transformateur n´ecessite 5 jours (15 jours au total pour la tˆache);
7.3 La seconde phase d’´electrification est prise en charge par le per-sonnel des services g´en´eraux de la soci´et´e BURBOX qui comp-tent 5 agents. Le travail est estim´e `a 320 heures de travail (coˆut horaire de 150 euro). Les fournitures `a acheter coˆutent 15.000 euro. Un recouvrement de 5 jours est possible avec la premi`ere phase d’´electrification. Les travaux d’´electrification doivent ˆetre termin´es avant la peinture. Leur coˆut est imput´e le premier jour.
Section 1.4. Exercices 19 7.4 Le travail de peinture des murs est estim´e `a 200 heures et est pris
en charge par les services g´en´eraux de BURBOX.
7.5 Le travail de peinture du sol est estim´e `a 120 heures et doit aussi ˆetre pris en charge par les services g´en´eraux. Les deux phases de peinture peuvent ˆetre effectu´ees en parall`ele avec un maximum de 4 agents pour la peinture du sol. Ces deux phases de peinture doivent ˆetre achev´ees avant l’installation des machines. Leur coˆut est imput´e au d´ebut de chaque phase.
8) Le d´emontage des anciennes machines (2 jours) est effectu´e par les 5 employ´es des services g´en´eraux. On programme cette tˆache au plus tard avec une marge de 5 jours. On impute son coˆut le premier jour. 9) Le remontage des machines (2 jours) mobilise les mˆemes ressources.
Il faut que les travaux de peinture (mur et sol) soient finis. Le remontage est programm´e au plus tard. On impute son coˆut le premier jour. 10) L’acquisition de nouvelles machines pour un montant de 2.580.000
euro (moiti´e `a la commande, moiti´e `a la fin des essais) comporte les tˆaches suivantes :
10.1 1 jour pour passer la commande;
10.2 la livraison dure 1 jour et est effectu´ee 21 jours apr`es la com-mande. On ne peut livrer les machines que si la peinture est finie. 10.3 3 jours d’essai du mat´eriel.
11) L’inauguration des nouvelles installations `a l’issue du remontage et des essais dure 1 jour.
(a) R´efl´echir `a la dur´ee des travaux confi´es aux services centraux en :
• calculant la dur´ee de la tˆache 7.3 en tenant compte de journ´ee
de 8 heures pour les ouvriers des services centraux de la soci´et´e BRUBOX,
• imaginant une organisation du travail de peinture (tˆaches 7.4 et 7.5) pour r´ealiser ces deux tˆaches en parall`ele.
(b) ´Etablir un tableau r´ecapitulatif des tˆaches avec leur d´esignation, la liste de leurs ancˆetres, leur dur´ee, leur coˆut et les observations quant `a leur programmation (recouvrement possible avec un ancˆetre, etc...). On remplira le tableau 1.3.
Tˆache Dur´ee Pr´ealables Remarques de coˆut (keur) et programmation date de d´ebours
1 - D´emolition 10 jours - 300 (jour 1)
2- Permis 3- Terrassement 4- Fondations 5.1- Gros-oeuvre 5.2- Gros-oeuvre 6 - Toitures 7.1 Placoplˆatre 7.2 Electricit´e 1 7.3 Electricit´e 2 7.4 Peinture murs 7.5 Peinture sol 8 - D´emontage 9 - Remontage 10.1 - Commande 10.2 - livraison 10.3 - Essais 11 - Inauguration
Chapitre 2
L’ordonnancement de projets
2.1 Introduction
Lors de tout projet de grande envergure (construction d’un bateau, d’un avion, d’un bˆatiment,...), un probl`eme crucial qui se pose est celui du calendrier d’ex´ecution des tˆaches. Le probl`eme est de d´eterminer dans quel ordre doivent s’enchaˆıner les diverses tˆaches de mani`ere `a minimiser le temps total d’ex´ecution du projet.
Prenons un exemple. On veut construire un nouveau bˆatiment de mani`ere `a pouvoir d´em´enager au plus tˆot. Certaines tˆaches ne peuvent s’ex´ecuter qu’apr`es que d’autres soient termin´ees. Par exemple, on ne peut commencer les fondations que lorsque le terrassement est fini. On ne peut monter les murs que lorsque les fondations sont termin´ees. D’autres tˆaches peuvent s’ex´ecuter simultan´ement. Par exemple, les travaux d’´electricit´e et de plomberie peuvent ˆetre men´es de pair. Les donn´ees sont reprises au tableau 2.1 pour cet exemple.
No tˆache dur´ee (jours) pr´ealables
1 terrassement 5 -2 fondations 4 1 3 colonnes porteuses 2 2 4 charpente toiture 2 3 5 couverture 3 4 6 ma¸connerie 5 3 7 plomberie, ´electricit´e 3 2
8 coulage dalle b´eton 3 7
9 chauffage 4 8 et 6
10 plˆatre 10 9 et 5
11 finitions 5 10
Tableau 2.1: Construction d’un bˆatiment
On doit tenir compte, dans les probl`emes d’ordonnancement, de divers types 21
de contraintes.
• Les contraintes de localisation temporelle expriment la localisation d’une
tˆache dans le temps : une tˆache ne peut commencer avant une telle date, ou apr`es une telle date (par exemple, en raison des conditions climatiques).
• Les contraintes de succession temporelle expriment les relations
d’ant´e-riorit´e entre les tˆaches : une telle tˆache ne peut commencer avant la fin d’une autre (par exemple, on ne coule pas les fondations si le terrassement n’est pas fini).
• Les contraintes cumulatives imposent la prise en compte de la disponibilit´e
de ressources non stockables, par exemple des heures de travail en personnel ou d’´equipement dont on peut disposer au cours d’une p´eriode et qui sont perdues si elles ne sont pas utilis´ees durant cette p´eriode.
• Les contraintes disjonctives expriment le fait que deux tˆaches ne peuvent
avoir lieu en mˆeme temps sans que l’on puisse dire laquelle doit ˆetre effectu´ee avant l’autre (par exemple, une mˆeme grue est utilis´ee sur deux chantiers). Le probl`eme d’ordonnancement avec des contraintes de localisation
tempo-relle et de succession tempotempo-relle seulement est appel´e probl`eme central
d’ordon-nancement. Il s’agit donc de d´eterminer le calendrier de d´ebut de chacune des tˆaches de mani`ere `a terminer le chantier au plus vite en respectant les contraintes temporelles.
Nous allons voir que, aussi bien pour sa formulation que pour sa r´esolution, ce probl`eme utilise la notion de graphe. On peut, en effet, repr´esenter le probl`eme sur un graphe et, ensuite, r´esoudre le probl`eme graphiquement. De plus, la pr´esentation du r´esultat de calcul (l’ordonnancement des tˆaches) sera beaucoup plus claire sur ce graphique que sur un tableau de chiffres.
Il existe deux m´ethodes de r´esolution pour ce probl`eme, `a savoir :
• la m´ethode du potentiel d´evelopp´ee en France dans les ann´ees 60 et qui
as-socie `a chaque tˆache un nœud du r´eseau, tandis que les relations d’ant´eriorit´e sont repr´esent´ees par des arcs entre les tˆaches (voir figure 2.1);
• la m´ethode PERT d´evelopp´ee parall`element aux Etats Unis d’Am´erique
et qui, elle, associe chaque tˆache `a un arc du r´eseau, et chaque relation d’ant´eriorit´e `a un nœud (voir figure 2.2).
Algorithmiquement, les deux m´ethodes de r´esolution sont ´equivalentes, mais la m´ethode du potentiel permet d’´ecrire le graphe de r´eseau de mani`ere syst´ematique (sans ajouter d’arc fictif).
Section 2.2. Formulation du probl`eme 23 tˆache i d i tˆache j ”i avant j” j i
Figure 2.1: Graphe de la m´ethode du potentiel.
tˆache i
i, di j, dj
tˆache j ”i avant j”
Figure 2.2: Graphe de la m´ethode PERT.
2.2 Formulation du probl`eme
Fixons-nous les notations suivantes. Nous avons n tˆaches `a ex´ecuter, indic´ees
i = 1, ...n. Utilisons ´egalement la notation di pour d´esigner la dur´ee d’ex´ecution
de la tˆache i (qui est ici une donn´ee).
Les variables du probl`eme sont les suivantes : ti note le temps de d´ebut
d’ex´ecution de la tˆache i, et tf note le temps de fin de chantier.
L’objectif est de minimiser le temps de r´ealisation du chantier :
min z = tf − t0
o`u t0 note la date de d´ebut de chantier que l’on fixe `a t0 = 0. Les contraintes du probl`eme sont de trois types :
• Les contraintes de localisation temporelle expriment que la tˆache i ne peut
commencer avant le d´ebut de chantier :
ti ≥ t0, ∀i = 1, 2, ...n (2.1)
• Les contraintes de succession temporelle expriment que la tˆache j ne peut
d´ebuter avant que toute tˆache i pr´ealable `a j ne soit finie :
ti+ di ≤ tj, ∀ tˆache i ant´erieure `a la tˆache j (2.2)
• Les contraintes de fin de chantier expriment que toute tˆache i doit ˆetre finie
avant la fin de chantier :
ti+ di ≤ tf, ∀i = 1, 2, ...n (2.3)
Remarquez que vu la pr´esence des contraintes de succession temporelle (2.2), il suffit d’´ecrire (2.1) pour toute tˆache n’ayant pas de pr´ed´ecesseur et (2.3) pout toute tˆache n’ayant pas de successeur.
2.3 Repr´esentation graphique du probl`eme
2.3.1 Graphe de la m´ethode du potentielOn associe donc au probl`eme central d’ordonnancement un graphe dont les som-mets repr´esentent les diverses tˆaches du probl`eme d’ordonnancement. On ajoute un nœud 0 qui correspond `a la date de d´ebut de chantier et un nœud f = n + 1 qui correspond `a la fin de chantier. Les arcs du r´eseau repr´esentent les diverses contraintes qui peuvent toutes se mettre sous la forme suivante
ti+ di ≤ tj
On peut construire syst´ematiquement le graphe associ´e au probl`eme d’ordon-nancement de la mani`ere suivante (voir figure 2.3) :
0 12 5 4 3 2 1 0 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 4 5 3 3 5 10
Figure 2.3: graphe associ´e.
1. On relie d’abord toutes les tˆaches sans pr´ealable (la tˆache 1 dans le cas de l’exemple) au nœud 0, d´ebut de chantier par un arc de longueur nulle. Remarquez qu’il s’agit de la repr´esentation des contraintes (2.1).
2. Ensuite, on prend une tˆache d´ej`a dans le graphe et on examine si elle pr´ec`ede d’autres. Par exemple, la tˆache 1 doit pr´ec´eder la tˆache 2. On doit donc avoir
t1+ d1 ≤ t2.
On trace le nœud 2 et on relie le nœud 1 au nœud 2 par un arc de longueur
d1. On fait de mˆeme pour repr´esenter toutes les contraintes de type (2.2). 3. Pour les seules tˆaches sans successeur, on les relie au nœud fin de chantier,
avec un arc de longueur ´egale `a la dur´ee de la tˆache. Ici, seule la tˆache finition est dans ce cas. Il s’agit ici de repr´esenter les contraintes du type (2.3). Lors de la construction du graphe d’un probl`eme r´eel qui peut comporter plus d’une centaine de tˆaches, une m´ethode plus syst´ematique de construction du graphe doit ˆetre utilis´ee, m´ethode faisant appel au classement des activit´es par niveaux (voir section 2.4).
Section 2.3. Repr´esentation graphique du probl`eme 25
2.3.2 Repr´esentation des autres types de contraintes
Disons un mot de la repr´esentation des trois autres types de contraintes : 1. Supposons d’abord que la tˆache 3 ne puisse commencer avant 10 :
t3 ≥ 10 ⇔ t3 ≥ t0+ 10.
Ceci se repr´esente en joignant les nœuds 0 et 3 par un arc de longueur 10 (voir figure 2.4).
2. Ensuite, supposons que la tˆache 5 doive ˆetre commenc´ee avant 40 :
t5 ≤ 40 ⇔ t0 ≥ t5− 40.
Ceci se repr´esente en joignant les nœuds 5 et 0 par un arc de “longueur” -40. 3. Enfin, supposons que la tˆache 9 doive commencer au plus tard 5 jours apr`es
le d´ebut de la tˆache 8 :
t9 ≤ t8+ 5 ⇔ t8 ≥ t9− 5.
Ceci se repr´esente en joignant les nœuds 9 et 8 par une arc de “longueur” -5.
0 12 5 4 3 2 1 0 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 4 5 3 3 5 10 10 -40 -5
2.3.3 Condition d’existence d’une solution
Avant de voir l’algorithme qui permet de r´esoudre le probl`eme d’ordonnancement, nous allons dire un mot des conditions sous lesquelles ce probl`eme est r´ealisable. En effet, les contraintes temporelles peuvent venir de divers services et ˆetre incom-patibles entres elles.
Supposons que nous ayons la situation suivante. La tˆache 1, qui dure d1 jours, doit ˆetre termin´ee avant que la tˆache 2 ne commence. La tˆache 2, qui dure d2jours, doit ˆetre termin´ee avant que la tˆache 3 ne commence. La tˆache 3, qui dure d3jours, doit ˆetre termin´ee avant que la tˆache 1 ne commence.
tˆache dur´ee pr´ealable
1 d1 3
2 d2 1
3 d3 2
Il est clair qu’un tel probl`eme va conduire `a une impossibilit´e.
3 2
1
d1 d2
d3
Figure 2.5: Circuit de longueur positive.
Cette situation est repr´esent´ee `a la figure 2.5. On voit ici que le graphe contient un circuit (cycle avec tous les arcs dans le mˆeme sens) dont la somme des longueurs des arcs est positive. ´Ecrivons les contraintes correspondantes :
t1+ d1 ≤ t2
t2+ d2 ≤ t3
t3+ d3 ≤ t1
En sommant et en simplifiant, on obtient la condition suivante :
d1 + d2+ d3 ≤ 0 On peut montrer le r´esultat suivant.
Lemme 2.1 Les contraintes temporelles sont compatibles entre elles si et
seu-lement si le graphe associ´e ne comporte aucun circuit de longueur (somme des longueurs des arcs le constituant) strictement positive.
Section 2.4. Classement des activit´es par niveaux 27 Remarquez qu’un cycle avec une somme des longueurs n´egative ne pose pas de probl`eme. Par exemple, `a la figure 2.4, la tˆache 8 de longueur 3 doit ˆetre finie avant que ne commence la tˆache 9 et la tˆache 9 doit commencer end´eans les 5 jours de d´ebut de la tˆache 8 :
t8+ 3 ≤ t9
t9− 5 ≤ t8
Ceci se repr´esente, comme vu ci-dessus, par une fl`eche de 8 vers 9 de longueur 3 et une fl`eche retour de longueur -5. Ceci ne pose pas de probl`eme, la somme des “longueurs” ´etant n´egative.
2.4 Classement des activit´es par niveaux
D´efinition 2.1 Le niveau d’une tˆache correspond au plus grand nombre de tˆaches
rencontr´ees sur un mˆeme itin´eraire depuis le d´ebut du projet, plus un.
Pour d´eterminer le niveau des tˆaches, on proc`ede comme suit. On place au premier niveau les tˆaches qui n’ont aucun ancˆetre et on raye ces tˆaches de la liste des tˆaches. On continue comme suit :
• ´Etape 1 : on raye, dans la colonne des ancˆetres, les tˆaches qui viennent d’ˆetre
affect´ees au dernier niveau analys´e;
• ´Etape 2 : les tˆaches du nouveau niveau sont les tˆaches non ray´ees de la
colonne des tˆaches qui n’ont plus d’ancˆetre; apr`es affectation au nouveau niveau, ces tˆaches sont ray´ees dans la colonne des tˆaches;
• ´Etape 3 : s’il reste des tˆaches non ray´ees dans la colonne des tˆaches, on repart
`a l’´etape 1. Sinon le processus est termin´e. Par ailleurs, cette ´etape permet de d´etecter des ant´eriorit´es redondantes parce que ne portant pas sur des
ancˆetres imm´ediats. Cette ´etape permet ´egalement de mettre en ´evidence
des incoh´erences du type A a pour ancˆetre B, B a pour ancˆetre C, lequel a pour ancˆetre A.
L’application de la m´ethode `a l’exemple introductif est illustr´ee au tableau 2.2 pour les trois premi`eres it´erations, au tableau 2.3 pour les trois suivantes et au tableau 2.4 pour l’it´eration finale.
On peut alors construire le graphe de la m´ethode des potentiels en visualisant
chaque niveau par une bande verticale et en pla¸cant, dans chaque niveau, les tˆaches
It´eration 1
´Etape 1 ´Etape 2
Ancˆetres Tˆache Niveau 1
- 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11
Ancˆetres Tˆache Niveau 1
- 6 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 It´eration 2 ´Etape 1 ´Etape 2 Ancˆetres Tˆache 1 2 - 6 1 1 6 1 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 Ancˆetres Tˆache 1 2 - 6 1 1 6 1 6 2 2 2 3 3 4 4 5 3 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 It´eration 3 ´Etape 1 ´Etape 2 Ancˆetres Tˆache 1 2 3 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 3 3 4 4 5 3 6 6 2 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 Ancˆetres Tˆache 1 2 3 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 3 4 4 5 3 6 6 2 6 7 7 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11
Section 2.4. Classement des activit´es par niveaux 29 It´eration 4 ´Etape 1 ´Etape 2 pi i 1 2 3 4 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 4 4 5 6 3 6 6 2 6 7 7 6 7 8 8,6 9 9,5 10 10 11 pi i 1 2 3 4 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 6 4 4 4 5 6 3 6 6 6 6 2 6 7 7 6 7 6 8 8 8,6 9 9,5 10 10 11 It´eration 5 ´Etape 1 ´Etape 2 pi i 1 2 3 4 5 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 6 4 4 6 4 5 6 3 6 6 6 6 2 6 7 7 6 7 6 8 8 6 8,6 6 9 9,5 10 10 11 pi i 1 2 3 4 5 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 6 4 4 6 4 6 5 5 6 3 6 6 6 6 2 6 7 7 6 7 6 8 8 6 8,6 6 6 9 9 9,5 10 10 11 It´eration 6 ´Etape 1 ´Etape 2 pi i 1 2 3 4 5 6 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 6 4 4 6 4 6 5 5 6 3 6 6 6 6 2 6 7 7 6 7 6 8 8 6 8,6 6 6 9 9 6 9, 6 5 10 10 11 pi i 1 2 3 4 5 6 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 6 4 4 6 4 6 5 5 6 3 6 6 6 6 2 6 7 7 6 7 6 8 8 6 8,6 6 6 9 9 6 9, 6 5 6 10 10 10 11
It´eration 7 ´Etape 1 ´Etape 2 pi i 1 2 3 4 5 6 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 6 4 4 6 4 6 5 5 6 3 6 6 6 6 2 6 7 7 6 7 6 8 8 6 8,6 6 6 9 9 6 9, 6 5 6 10 10 6 10 11 pi i 1 2 3 4 5 6 7 - 6 1 1 6 1 6 2 2 6 2 6 3 3 6 3 6 4 4 6 4 6 5 5 6 3 6 6 6 6 2 6 7 7 6 7 6 8 8 6 8,6 6 6 9 9 6 9, 6 5 6 10 10 6 10 6 11 11
Tableau 2.4: Classement des tˆaches par niveaux (fin)
l’origine est `a gauche et l’extr´emit´e `a droite. Le d´ebut et la fin sont repr´esent´es par des traits verticaux. On fait partir du trait vertical DEBUT des fl`eches qui aboutis-sent aux tˆaches de niveau 1 et des tˆaches sans descendant (qu’elles appartiennent au dernier niveau ou non) partent des fl`eches vers le trait de FIN (figure 2.6).
1 Fin 5 4 3 2 11 10 9 8 7 6 D but 1 2 3 4 5 6 7 Niveaux
Figure 2.6: Classement par niveaux.
Outre la facilit´e de trac´e du graphe de la m´ethode du potentiel, le classement par niveaux permet de rep´erer des relations inutiles. Par exemple, `a la figure 2.7, la relation ”A pr´ec`ede C” est inutile et peut ˆetre omise sur le graphique.
A C
dA
B
dB
dA
Section 2.5. Calcul de l’ordonnancement 31
2.5 Calcul de l’ordonnancement
2.5.1 Ordonnancement au plus tˆot
Nous allons maintenant voir un algorithme de calcul de l’ordonnancement au plus tˆot. L’ordonnancement au plus tˆot d´etermine les dates de d´ebut au plus tˆot des diff´erentes tˆaches, not´ees ti, en partant du nœud de d´ebut de chantier.
Illustrons les choses sur l’exemple. La tˆache 1 peut commencer au plus tˆot en 0 puisqu’elle est reli´ee au au nœud 0, d´ebut de chantier, par un arc de longueur nulle. La tˆache 2 peut commencer d`es la fin de la tˆache 1, c’est-`a-dire
t2 = t1+ d1 = 5 et ainsi de suite, on marque t3 = 9, t4 = 11, t5 = 13, ...
Lorsqu’un sommet (comme le sommet 9) a plus d’un pr´ed´ecesseur (8 et 6), on d´etermine la date au plus tˆot par un maximum :
t9 = max {t6+ d6, t8+ d8} = 16.
Il faut, en effet, que les deux tˆaches pr´ec´edentes soient finies avant de pouvoir d´ebuter la tˆache 9. On arrive ainsi `a d´eterminer la dur´ee totale minimum qui est ici de 35 jours (voir figure 2.8 o`u le temps de d´ebut au plus tˆot est indiqu´e au dessus des nœuds). 0 12 5 4 3 2 1 0 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 4 5 3 3 5 10 0 0 5 9 9 11 11 12 16 13 35 30 20
Figure 2.8: Ordonnancement au plus tˆot.
2.5.2 Ordonnancement au plus tard
Certaines tˆaches sont telles que si on retarde leur date de d´ebut, cela aura des r´epercussions sur la date de fin de chantier. Par exemple, si on retarde la date de d´ebut de la tˆache 11 (finition), cela va directement retarder la date de fin de
chantier. De mˆeme, si on retarde la tˆache 10 (plˆatre), cela va retarder la date de d´ebut de la tˆache 11 (finition) qui elle-mˆeme retarde la date de fin de chantier.
Par contre, si on retarde le d´ebut de la tˆache 5 (couverture), cela n’aura pas de r´epercussion, car ce n’est pas `a partir de ce nœud que son successeur (10) a ´et´e marqu´e mais bien `a partir du nœud 9. On voit donc que l’on peut retarder la date de d´ebut de la tˆache 5 sans cons´equence sur la date de fin de chantier jusqu’`a un certain point. En effet, t5 = 13, t10 = 20, et d5 = 3. Autrement dit, la date de d´ebut de la tˆache 5 peut ˆetre retard´ee jusqu’`a la valeur :
t10− d5 = 20 − 3 = 17
sans retarder la date de d´ebut de la tˆache 10. On dit que 17 est la date de d´ebut au plus tard de la tˆache 5. C’est-`a-dire que la tˆache 5 peut ˆetre commenc´ee `a cette date au plus tard sans allonger la dur´ee totale minimale des travaux.
On notera une date de d´ebut au plus tard par ti. On peut calculer
l’ordonnan-cement au plus tard de la mani`ere suivante (voir figure 2.9). Partant du nœud fin, pour lequel la date de d´ebut au plus tard co¨ıncide avec la date de d´ebut au plus tˆot
t12 = t12= 35,
on retranche `a la date au plus tard la dur´ee de la derni`ere tˆache. On d´etermine ainsi la date de fin au plus tard de la tˆache 11 :
t11 = t12− d11 = 35 − 5 = 30. On marque ensuite `a rebours les nœuds 10, 5, ...
0 12 5 4 3 2 1 0 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 4 5 3 3 5 10 0 0 5 9 9 11 11 12 16 13 35 30 20 0 0 10 9 15 13 16 17 35 30 20 5 11
Figure 2.9: Ordonnancement au plus tard.
Lorsqu’un nœud a plusieurs successeurs, on ne peut marquer ce sommet que si tous ses successeurs directs sont marqu´es. Prenons, `a titre d’illustration, le cas du nœud 3. Dans ce cas, il faut prendre le minimum :
t3 = min{t4 − d3, t6− d3} = min{15 − 2, 11 − 2} = 9, sans quoi on retarderait la date de fin de chantier.
Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges 33
2.6 Chemin critique et calcul des marges
2.6.1 Notion de tˆache critique
On voit directement que l’on a deux sortes de tˆaches.
• Les tˆaches critiques sont celles qui servent `a marquer de proche en proche
le sommet n + 1 `a partir du sommet 0. Elles forment ce que l’on appelle le chemin critique qui donne l’ensemble des tˆaches `a surveiller en premier si l’on veut respecter le d´elai minimum de r´ealisation du projet. Le chemin critique, illustr´e en hachur´e `a la figure 2.9, peut ˆetre d´etermin´e de la mani`ere suivante. Partant du nœud n + 1, on ne retient, en partant `a rebours, que les sommets correspondant `a des tˆaches critiques jusqu’a joindre le nœud 1. Il s’agit, dans l’exemple, des nœuds 12,11,10,9,6,3,2,1 et 0.
1 4 0 12 5 4 3 2 1 0 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 4 5 3 3 5 10 0 0 5 9 9 11 11 12 16 13 35 30 20 0 0 10 9 15 13 16 17 35 30 20 11 5 0 0 0 0 0 0 0 1 4
Figure 2.10: Calcul des marges Notez qu’il peut y avoir plusieurs chemins critiques.
• Pour toutes les autres tˆaches, c’est-`a-dire les tˆaches non critiques, on peut
d´eterminer la marge d’une tˆache comme la diff´erence entre son temps de d´ebut au plus tard et au plus tˆot :
mi = ti− ti (2.4)
et donc la marge mi est strictement positive pour les tˆaches non critiques
tandis qu’elle est nulle pour les tˆaches critiques.
i 4 5 7 8
2.6.2 Notion de chemin critique
D´efinition 2.2 On appelle chemin critique tout chemin liant le nœud d´ebut de
projet au nœud fin de projet tel que l’en faisant la somme des dur´ees des tˆaches le long de ce chemin critique on obtienne la dur´ee minimale du projet.
Terminons par deux remarques.
• Il peut y avoir plusieurs chemins critiques.
• D’autre part, il ne suffit pas de prendre une suite de tˆache critiques liant le
nœud d´ebut du projet au nœud fin du projet pour avoir un chemin critique. Il faut, en plus que la date de fin au plus tˆot du projet correspondent `a la somme des dur´ees de tˆaches le long de ce chemin. On peut rep´erer, comme indiqu´e ci-dessus, ce type de chemin `a rebours en ne retenant que les tˆaches qui ont permit de calculer la date de fin au plus tˆot du projet `a partir du nœud de d´epart (dates au plus tˆot).
Illustrons ces deux ph´enom`enes sur l’exemple de la figure 2.11. Les tˆaches critiques
A E F Fin 5 B D C D b 3 0 4 0 0 0 0 1 0 0 4 4 4 4 9 9 15 15 18 18 5 5 4 6 3 0 0 0 0 0 1
Figure 2.11: Cas de plusieurs chemins critiques. sont les tˆaches : B, C, D, E et F. Les deux chemins critiques sont :
P1 = (B, D, E, F )
P2 = (B, C, E, F ) Il est `a remarquer que le chemin suivant :
P3 = (B, C, F )
Section 2.6. Chemin critique et calcul des marges 35
2.6.3 Notions de marge libre et de marge ind´ependante
Nous venons de d´efinir la notion de marge totale d’une tˆache comme la diff´erence entre sa date de d´ebut au plus tard et sa date de d´ebut au plus tˆot :
mi = ti− ti
Remarquons cependant que la marge r´eellement disponible d´ependra de la
pro-grammation effective des pr´ed´ecesseurs de la tˆache. Prenons l’exemple de la tˆache
5 qui a une marge de 4. Si son pr´ed´ecesseur direct, la tˆache 4 est programm´ee au plus tard, c’est-`a-dire en 15, la date de d´ebut au plus tˆot de la tˆache 5 devient 17 et donc la tˆache 5 voit sa marge s’annuler. D`es qu’on utilise la marge de la tˆache 4, elle r´eduit donc celle de 5.
Par contre si on utilise la marge de la tˆache 5 en la programmant au plus tard (en 17) cela ne r´eduit pas la marge des autres tˆaches du projet. On peut donc utiliser librement cette marge de 4 unit´es de la tˆache 5
D´efinition 2.3 On d´efinit la marge libre comme la partie de la marge totale que
l’on peut utiliser sans affecter la marge des successeurs.
Si l’on consid`ere que les ancˆetres et les descendants de la tˆache sont programm´es
au plus tˆot, on d´efinit ainsi la marge libre comme la diff´erence entre :
• la date de d´ebut au plus tˆot du descendant (ou la plus pr´ecoce de ces dates
si la tˆache a plusieurs descendants);
• la date de fin au plus tˆot de la tˆache qui est calcul´ee comme la date de d´ebut
au plus tˆot augment´e de la dur´ee de la tˆache.
L’application `a notre exemple donne les marges libres suivantes :
i 4 5 7 8
marge totale 4 4 1 1
d´ebut au tˆot du descendant 13 20 12 16 fin au plus tˆot de la tˆache 11 + 2 13 + 3 9 + 3 12 + 3
= 13 = 16 = 12 = 15
marge libre 0 4 0 1
L’utilisation de la marge libre d’une tˆache non critique n’affecte pas la marge
totale des tˆaches non critiques dont elle est l’ancˆetre. Il n’en n’est cependant pas
Si on programme d’abord la tˆache 5 en l’affectant au plus tˆot, c’est-`a-dire en 13, la date de d´ebut au plus tard de 4 devient 11 et la tˆache 4 n’a plus de marge. On d´efinit ainsi un second concept.
D´efinition 2.4 On d´efinit la marge ind´ependante comme la partie de la marge
que l’on peut utiliser sans affecter la marge des pr´ed´ecesseurs et des successeurs.
Si l’on consid`ere que les ancˆetres de la tˆache sont programm´es au plus tard (et non au plus tˆot) et ses descendants au plus tˆot, on d´efinit la marge ind´ependante comme la diff´erence1entre :
• la date de d´ebut au plus tˆot du descendant (ou la plus pr´ecoce de ces dates
si la tˆache a plusieurs descendants);
• la date de fin au plus tard de son ancˆetre (ou la plus tardive de ces dates, si
la tˆache a plusieurs ancˆetres) augment´ee de la dur´ee de la tˆache. L’application `a notre exemple donne les marges ind´ependantes suivantes :
i 4 5 7 8
marge totale 4 4 1 1
d´ebut au plus tˆot du descendant 13 20 12 16
fin + tard de l’ancˆetre (9 + 2) (15 + 2) (5 + 4) (10 + 3) + dur´ee de la tˆache +2 = 13 +3 = 20 +3 = 12 +3 = 16
marge ind´ependante 0 0 0 0
La marge ind´ependante de la tˆache 5 est de 0 alors que sa marge libre est de 4. Cette marge ind´ependante est moins utilis´ee que la marge libre, dans la mesure o`u la programmation des tˆaches s’effectue souvent par ordre croissant de niveau.
2.7 L’ordonnancement par la m´ethode PERT
La m´ethode PERT (pour Program Evaluation Review Technique) s’est d´evelop-p´ee, parall`element `a la m´ethode du potentiel, aux Etats-Unis en 1958 pour la planification de la construction des sous-marins Polaris. Elle se distingue de la m´ethode du potentiel par le fait que les tˆaches ne sont plus associ´ees aux nœuds mais bien aux arcs du r´eseau. L’algorithme de r´esolution est tr`es semblable `a celui de la m´ethode du potentiel. La diff´erence majeure r´eside donc dans la
1Il est `a remarquer que si le r´esultat obtenu est n´egatif, la marge ind´ependante
Section 2.7. L’ordonnancement par la m´ethode PERT 37 construction du graphe : le graphe de la m´ethode PERT est souvent plus difficile `a construire que celui de la m´ethode du potentiel car on peut ˆetre amen´e `a introduire des arcs fictifs qui ne correspondent `a aucune tˆache.
Dans la m´ethode PERT, chaque tˆache est donc associ´ee `a un arc du graphe. La longueur de l’arc correspondant `a la dur´ee de la tˆache en question. Les sommets sont utilis´es pour traduire les relations de succession temporelle. Ainsi, si la tˆache j doit suivre la tˆache i, l’extr´emit´e terminale de l’arc repr´esentant la tˆache i co¨ıncidera avec l’extr´emit´e initiale de l’arc repr´esentant la tˆache j.
Ceci permet de tracer le graphe pour l’exemple d´ej`a consid´er´e pour la m´ethode du potentiel. Ceci est fait `a la figure 2.12 o`u l’on a not´e, `a cˆot´e de chaque arc, d’une part, le num´ero correspondant `a la tˆache, d’autre part, la dur´ee de la tˆache.
6, 5 1, 5 2, 4 3, 2 7, 3 4, 2 8, 3 5, 3 9, 4 10, 10 11, 5
Figure 2.12: Graphe associ´e pour la m´ethode PERT.
Si, sur cet exemple, le graphe de la m´ethode du potentiel et celui de la m´ethode PERT sont tr`es proches, il n’en va pas toujours de mˆeme. La construction du graphe PERT pose divers probl`emes qui am`enent `a ajouter des arcs fictifs qui ne correspondent `a aucune tˆache.
Illustrons ceci sur un exemple. En effet, supposons que la tˆache 1 pr´ec`ede les tˆaches 2 et 3 et que la tˆache 4 pr´ec`ede la tˆache 3.
tˆache pr´ed´ecesseur
1 −
2 1
3 1, 4
4 −
On pourrait tracer le graphe de la figure 2.13. Mais ce graphe introduit une cont-rainte suppl´ementaire qui dit que la tˆache 4 doit pr´ec´eder la tˆache 2. Pour r´esoudre la difficult´e, il faut `a nouveau ajouter un arc fictif de longueur nulle entre l’extr´emit´e de la tˆache 1 et le d´ebut de la tˆache 3. Ceci est illustr´e `a la figure 2.14.
1 2 3 4
Figure 2.13: Introduction d’un contrainte.
1 2
3 4
Figure 2.14: Arc fictif.
L’ordonnancement se calcule ainsi. D’abord, on d´etermine les dates de d´ebut au plus tˆot des nœuds, que nous noterons ti. Ceci est fait par marquage des nœuds
`a partir de l’origine comme dans la m´ethode du potentiel. On additionne au temps du nœud pr´ec´edent le temps de la tˆache. En cas de plusieurs pr´ed´ecesseurs, on prend le maximum.
Remarquez que ces dates aux plus tard aux nœuds ne correspondent pas toujours aux dates au plus tard des tˆaches situ´ees apr`es le nœud. Ainsi la date au plus tard 9 est la date au plus tard de la tˆache 3 mais pas de la tˆache 7, pourtant les deux tˆaches sont situ´ees `a droite du mˆeme nœud. Pour contourner cette difficult´e de la m´ethode PERT, il convient de proc´eder en deux temps.
D’abord, on d´etermine les dates au plus tard des nœuds, not´ees ¯ti, par marquage
`a partir de la fin, en soustrayant au temps du nœud suivant le temps de la tˆache. En cas de plusieurs successeurs, on prend le minimum. Ensuite, on calcule la marge de la tˆache (i, j) entre les nœuds i et j comme :
mij = tj − (ti+ dij)
Autrement dit, la marge est calcul´ee comme la diff´erence entre la date de fin au
plus tard de la tˆache et la date de fin au plus tˆot de la tˆache. On obtient alors
Section 2.8. R´eduction de la dur´ee du projet 39 d´epart, la marge de la tˆache. Les r´esultats sont indiqu´es au tableau ci-dessous.
Tˆache 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Date au plus tˆot 0 5 9 11 13 11 9 12 16 20 30
Marge 0 0 0 4 4 0 1 1 0 0 0
Date au plus tard 0 5 9 15 17 11 10 13 16 20 30
Un chemin critique peut alors se construire `a partir du nœud de fin en ne retenant que les arcs critiques. L’application `a l’exemple donne l’ordonnancement illustr´e `a la figure 2.15. 6, 5 1, 5 2, 4 3, 2 7, 3 4, 2 8, 3 5, 3 9, 4 10, 10 11, 5 0 5 9 11 13 16 13 35 30 20 0 5 9 0 0 0 0 11 4 17 4 1 1 12 16 0 20 0 30 0 35
Figure 2.15: Ordonnancement par la m´ethode PERT.
2.8 R´eduction de la dur´ee du projet
Si l’on veut r´eduire la dur´ee du projet, deux principes sont d’application : Principe 1. Il ne sert `a rien de r´eduire la dur´ee de tˆaches non critiques.
Principe 2. Il faut r´eduire simultan´ement la dur´ee de tous les chemins critiques. En effet, si l’on r´eduit la dur´ee d’une tˆache non critique, cela ne changera pas la dur´ee du projet qui est d´etermin´ee par la longueur du chemin critique. Cela ne fera qu’accroˆıtre la marge de la tˆache.
D’autre part, si l’on r´eduit la dur´ee d’un chemin critique et qu’il en reste un autre chemin critique non r´eduit, c’est ce second chemin qui continuera `a d´eterminer la dur´ee du projet et sa dur´ee sera inchang´ee.
No tˆache r´eduction max (jours) surcoˆut par jour
5 couverture 1 120
6 ma¸connerie 3 150
8 coulage dalle b´eton 1 180
9 chauffage 1 200
Tableau 2.5: R´eduction de la dur´ee du projet
Illustrons ceci sur un exemple. On a la possibilit´e de r´eduire la dur´ee de cer-taines tˆaches moyennant un surcoˆut par jour de r´eduction. Les tˆaches sur lesquelles il est possible d’agir sont reprise au tableau 2.5.
On se pose la question suivante : comment r´eduire la dur´ee du projet de deux
jours `a coˆut total de r´eduction minimum ?
Examinons l’ordonnancement de la figure 2.10. Par application du principe 1, on en d´eduit que seules les tˆaches 6 et 9 sont int´eressantes. Ce sont, en effet, les seules tˆaches critiques parmi les quatre tˆaches dont on peut r´eduire la dur´ee.
On r´eduit 6 de 1 jour car cela coˆute moins cher. Le nouveau graphique est illustr´e `a la figure 2.16. On voit que d´esormais il y a deux chemins critiques, `a
5 4 3 2 1 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 4 4 3 3 5 10 0 5 9 9 11 11 12 15 13 34 29 19 0 9 9 14 12 15 16 34 29 19 11 5 3 12 0 0 0 3
Figure 2.16: R´eduction d’un jour de la dur´ee du projet savoir :
P1 = (1, 2, 3, 6, 9, 10, 11)
P2 = (1, 2, 7, 8, 9, 10, 11)
Par application du principe 2, il faut maintenant r´eduire simultan´ement les
deux chemins critiques. On a le choix entre les deux strat´egies suivantes : • r´eduire 9 de 1 jour au coˆut de 200;
Section 2.9. Programmation effective du projet 41
• r´eduire 8 et 6 de 1 jour au coˆut total 150 + 180 = 330.
On d´ecide donc de r´eduire 9 d’un jour. Le nouveau graphique est illustr´e `a la figure 2.17 5 4 3 2 1 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 3 4 3 3 5 10 0 5 9 9 11 11 12 15 13 33 28 18 0 9 9 13 12 15 15 33 28 18 11 5 2 0 12 0 0 0 2
Figure 2.17: R´eduction de la dur´ee du projet de deux jours
On en conclut qu’`a chaque r´eduction de dur´ee d’une ou plusieurs tˆaches, il faut
recalculer l’ordonnancement pour voir si de nouveaux chemins critiques n’appa-raissent pas.
2.9 Programmation effective du projet
L’existence de tˆaches non critiques implique qu’il existe de multiples solutions donnant le mˆeme temps total minimum de r´ealisation du projet. La programmation d´efinitive du projet s’effectuera en fonction des deux principes de prudence et d’´economie :
• Le principe de prudence incite `a programmer au plus tˆot les tˆaches non critiques pour que la programmation conduise `a des marges totales les
plus grandes possibles pour absorber d’´eventuels al´eas dans l’ex´ecution des tˆaches. Ce principe conduit parfois `a qualifi´e de tˆaches subcritiques les tˆaches de marge totale faible par rapport aux al´eas susceptibles de se pro-duire. Nous verrons au chapitre 5 comment on peut affiner ce principe en calculant, pour chaque tˆache, la probabilit´e d’ˆetre critique. Ce qui peut conduire `a d´efinir comme subscritique une tˆache qui a au moins 90 % de chances d’ˆetre critique.
• Le principe d’´economie incite `a programmer au plus tard les tˆaches non critiques. En effet, l’ex´ecution des tˆaches n´ecessite l’acquisition de certaines
– si on engage des ressources humaines qui seront conserv´ees `a l’issue de l’ex´ecution de la tˆache, la programmation au plus tˆot g´en`ere des d´epenses inutiles;
– si on ach`ete des ressources mat´erielles, il peut y avoir un coˆut d’op-portunit´e li´e `a un achat pr´ecoce (int´erˆets bancaires, par exemple). La pr´eoccupation d’´economie incitera donc aussi `a programmer au plus tard les tˆaches non critiques.
Les points de vue de prudence et d’´economie sont donc largement antinomiques et le gestionnaire du projet devra arbitrer entre ces deux principes. Souvent le principe d’´economie pr´evaut pour une tˆache non critique. Dans la pratique, on a int´erˆet `a mutualiser les risques et donc `a chercher `a partir d’estimation de dur´ees plutˆot optimistes puis `a :
• mettre un tampon entre la date de fin des tˆaches sans descendant et la date
de fin du projet. Ce tampon correspondant `a la mutualisation des risques sur les tˆaches du chemin critique,
• `a consid´erer chaque chemin non critique en mettant un tampon entre le
dernier descendant non critique du chemin et son propre descendant qui est une tˆache critique, ce tampon correspondant `a la mutualisation du risque du chemin non critique.
La figure 2.18 illustre les tampons dans le cas de l’exemple.
0 12 5 4 3 2 1 0 10 11 9 8 7 6 5 4 4 3 2 2 2 4 5 3 3 5 10 0 0 5 9 9 11 11 12 16 13 35 30 20 0 0 10 9 15 13 16 17 35 30 20 11 5 Tampon 1 Tampon 2 Tampon 3
Section 2.10. Pr´esentation des r´esultats 43
2.10 Pr´esentation des r´esultats
Le graphe de la m´ethode des potentiels est l’instrument privil´egi´e pour le cal-cul le d’ordonnancement des tˆaches. Une fois l’ordonnancement d´ecid´e, il vaut mieux transmettre les d´ecisions prises sous forme d’un graphique de Gantt. Le diagramme de Gantt est l’outil classiquement utilis´e en gestion de production pour visualiser l’utilisation des machines. Ainsi `a la figure 2.19, on a visualis´e le passage de cinq lot de pi`eces sur deux machines successives.
machine B 5 1 3 4 2 machine A 1 2 3 4 5 Temps 5 1 3 4 2 Z! Z
Figure 2.19: Diagramme de Gantt-Ateliers
En gestion de projets, le diagramme de Gantt est ´egalement caract´eris´e par une ligne horizontale pour le temps mais chaque ligne horizontale correspond cette fois `a une tˆache. Les fl`eches correspondent cette fois `a des relations d’ant´eriorit´e. On obtient le diagramme `a barres de la figure 2.20.
On a indiqu´e `a la figure le nombre d’ouvriers n´ecessaires `a l’ex´ecution de chaque tˆache. On peut en d´eduire l’utilisation de la ressource travail en faisant une addition `a chaque jour du projet du nombre d’ouvriers utilis´es par les diff´erentes tˆaches. On obtient alors le diagramme de charge de la figure 2.21.
2.11 Prise en compte des contraintes disjonctives
On parle de contraintes disjonctives lorsque deux tˆaches ne peuvent avoir lieu en mˆeme temps sans que l’on puisse dire, `a priori, laquelle doit ˆetre effectu´ee avant l’autre. C’est le cas lorsque l’on partage une mˆeme ressource non divisible entre plusieurs tˆaches. Consid´erons les tˆaches i et j. On peut ´ecrire la relation d’exclusion sous la forme :
soit
(
ti+ di ≤ tj si i est r´ealis´ee avant j
5 4 3 11 10 9 8 7 6 2 3 ouv. 2 2 4 3 ouv. 2 2 1 ouv. 4 ouvriers 1 ouv. 0 5 9 11 13 16 20 30 35 Temps 1 ouv. 1
Figure 2.20: Diagramme de Gantt-Tˆaches (projet)
6 7 8 1 2 3 4 5 9 0 5 9 11 20 30 35 Temps Ouvriers 13 1516
Section 2.12. Cas de contraintes cumulatives 45 Si on n’a qu’une seule contrainte disjonctive, on peut ´evidemment r´esoudre deux probl`emes d’ordonnancement : un o`u l’on impose que i soit r´ealis´ee avant
j, l’autre o`u l’on impose que j soit r´ealis´ee avant i. Ensuite, on prend le temps
d’ex´ecution le plus court. Mais cette m´ethode d’´enum´eration explicite de toutes les possibilit´es devient vite impraticable lorsque le nombre de contraintes disjonctives croˆıt. On peut alors le r´esoudre le probl`eme grˆace au recours `a la programmation en nombres entiers. D´efinissons la variable binaire yij, dont la valeur est 1 si la
tache i est r´ealis´ee avant la tˆache j et 0 dans le cas contraire :
yij =
1 si la tˆache i est effectu´ee avant j, 0 sinon
On remplace alors la condition de disjonction (2.5) par les contraintes suivantes :
ti+ di ≤ tj + M (1 − yij) tj + dj ≤ ti+ M yij yij ∈ {0, 1} (2.6) o`u M note une borne sup´erieure sur la date de fin des travaux.
D´emontrons l’´equivalence. Deux cas sont possibles pour la variable binaire : 1. Cas o `u yij= 1 : dans ce cas, le syst`eme (2.6) devient :
(
ti+ di ≤ tj
tj + dj ≤ ti+ M
La premi`ere contrainte exprime donc que la tˆache i doit ˆetre finie avant que ne commence la tˆache j. La seconde contrainte est automatiquement satisfaite. 2. Cas yij = 0 : dans ce cas, le syst`eme (2.6) devient :
(
ti+ di ≤ tj + M
tj + dj ≤ ti
La premi`ere contrainte est automatiquement satisfaite. La seconde contrainte exprime que la tˆache j doit ˆetre finie avant que ne commence la tˆache i.
2.12 Cas de contraintes cumulatives
L’introduction de contraintes cumulatives (et disjonctives) est `a peu pr`es in´evitable dans la r´esolution de probl`emes r´eels de gestion de projets. On doit alors d´efinir le crit`ere que l’on veut privil´egier. Il en existe deux : le crit`ere de la minimisation de la dur´ee d’ach`evement du projet et le crit`ere de lissage de charge des ressources.
