2.12 Cas de contraintes cumulatives
2.12.1 Crit`ere de minimisation de la dur´ee d’ach`evement du projet
Si on cherche `a minimiser la date d’ach`evement du projet tout en respectant les contraintes d’ant´eriorit´e et les contraintes cumulatives, on parle alors de probl`eme de nivellement. La r´esolution de tels probl`emes est g´en´eralement faite au moyen
d’heuristiques. D’un logiciel `a l’autre, la mani`ere de g´erer la consommation d’une ressource peut ˆetre diff´erente.
Illustrons ceci sur l’exemple introductif. Supposons que la soci´et´e ne dispose que de 4 ouvriers pour effectuer le gros œuvre, c’est `a dire les tˆaches 6 (dur´ee 5 jours) et 8 (dur´ee 3 jours) qui requi`erent respectivement la pr´esence de 3 ouvriers pour 6 et de 2 ouvriers pour 8 (voir tableau 2.11).
Tˆache Dur´ee Ressource n´ecessaire
6 5 3 ouvriers
8 3 2 ouvriers
Tableau 2.6: Exemple de contrainte cumulative
Rappelons que la tˆache 6 est critique. Elle est programm´ee actuellement de 11 `a 16 tandis que la tˆache 8 n’est pas critique et sa programmation au plus tˆot va de 12 en 16. Sa date de d´ebut au plus tard est de 13 puisqu’elle a une marge d’un jour.
Examinons bri`evement les solutions possibles :
1. La premi`ere solution consiste `a relaxer la contrainte en mobilisant ponc- tuellement des ressources suppl´ementaires en main d’œuvre. Ce cas est illustr´e `a la figure 2.22. Le projet reste effectu´e en 35 jours.
Ouvriers Jours 8 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 15 16 17 18
Figure 2.22: Solution 1 : relaxation de la contrainte sur la ressource On n’a ´evidemment pas vraiment r´esolu le probl`eme.
Section 2.12. Cas de contraintes cumulatives 47 2. La deuxi`eme solution consiste `a programmer prioritairement les tˆaches
critiques en consid´erant que le nombre d’ouvriers est fix´e. Dans ce cas, la
tˆache non critique 8 est programm´ee aux jours 16 `a 18, elle devient critique et le projet prend 3 jours de retard. Ce cas est illustr´e `a la figure 2.23.
8 Ouvriers Jours 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 15 16 17 18
Figure 2.23: Solution 2 : priorit´e `a la tˆache critique
3. La troisi`eme solution consiste `a partager de mani`ere fixe les ressources
entre les tˆaches, par exemple en affectant 3 ouvriers `a la tˆache 6 (75 % de
la ressource) et un ouvrier `a la tˆache 8 (25 % de la ressource), ces valeurs ´etant choisies par l’utilisateur du logiciel. La programmation reste celle du premier cas, mais la tˆache 8 ne b´en´eficiant que d’un seul ouvrier prendra 6 jours `a la place de 3. Dans ce cas, la tˆache non critique 8 est programm´ee du 12 au 17`eme jour, elle devient critique et le projet prend 2 jours de retard. Ce cas est illustr´e `a la figure 2.24.
Ouvriers Jours 8 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 15 16 17 18
Figure 2.24: Solution 3 : partage de la ressource : 25 % pour 8 et 75 % pour 6.
4. La quatri`eme solution consiste `a consid´erer la quantit´e de travail par tˆache. Par exemple, pour la tˆache 8, il faut 6 jours-ouvriers de travail. On affecte en priorit´e les ressources `a la tˆache critique et on regarde ce qui reste pour la tˆache non critique. Durant les jours 12 `a 15, on dispose d’un ouvrier, ensuite,
durant le jour 16, on utilise 2 ouvriers. Dans ce cas, la tˆache non critique 8 est programm´ee du 12 au 16`eme jour, elle devient critique et le projet prend 1 jour de retard. Ce cas est illustr´e `a la figure 2.25.
Ouvriers Jours 8 6 5 4 3 2 1 11 12 13 14 15 16 17 18 8
Figure 2.25: Solution 4 : d´efinir une tˆache par sa quantit´e totale de travail.
Cet exemple n’est pas exhaustif mais est illustratif des techniques possibles pour r´esoudre les conflits. Il attire aussi l’attention sur le fait que si les logiciels annoncent qu’ils permettent de g´erer les ressources, on peut dans la pratique aboutir `a des solutions tr`es diff´erentes en fonction de l’heuristique choisie dans le logiciel.
2.12.2 Crit`ere de lissage de charge des ressources utilis´ees
Un ordonnancement de projet respectant les contraintes cumulatives et une dur´ee minimale donn´ee n’est g´en´eralement pas unique. D’autres ordonnancements abou- tissant `a la mˆeme dur´ee minimale peuvent ˆetre trouv´es. Le lissage est un processus de recherche d’un ordonnancement conduisant `a une utilisation la plus r´eguli`ere
possible des ressources. On cherche ainsi `a araser certains pics de consommation
de la ressource. Ce qui permet de diminuer le niveau de la ressource utilis´ee. Diverses heuristiques ont ´et´e con¸cues pour ce faire.
Nous verrons un exercice d’application (voir exercice 2.7) o`u l’on veut rester dans la limite de cinq ouvriers durant tous le chantier sauf dans une p´eriode maxi- mum de quatre jours o`u l’on autorise un d´epassement (en engageant des travailleurs int´erimaires durant cette courte p´eriode). On d´eterminera une solution respectant ces contraintes cumulatives de mani`ere heuristique en jouant sur les marges des tˆaches non critiques. Ainsi en ne programmant pas syst´ematiquement les tˆaches non critiques au plus tˆot, on peut agir sur le niveau d’utilisation de la ressource sans augmenter la dur´ee minimale du projet.
Section 2.13. Exercices 49
2.13 Exercices
2.1. ´Equipement d’un ensemble minier. L’´equipement d’un ensemble minier comporte les tˆaches suivantes dont la dur´ee est exprim´ee en trimestres.
No tˆache dur´ee pr´ealables
1 Commande d’une piste 6 -
2 Construction d’un port provisoire 3 -
3 Commande de mat´eriel portuaire 2 -
4 Pose d’une voie ferr´ee 4 2
5 Construction d’une cit´e administrative 7 2
6 Construction du port d´efinitif 2 2
7 Construction de l’installation mini`ere 4 1 et 4 8 Equipement portuaire d´efinitif 3 3 et 6 (a) Construire le graphe relatif `a la m´ethode du potentiel.
(b) Calculer les dates de d´ebut au plus tˆot, les dates de d´ebut au plus tard. D´eterminer le chemin critique.
(c) Comment modifier le graphe si, on veut que la tˆache 7 ne commence pas avant 8 trimestres ? Recalculez les dates de d´ebut au plus tˆot, les dates de d´ebut au plus tard.
(d) Comment modifier le graphe si on veut en plus que la tˆache 8 ne commence pas apr`es 4 trimestres ? Dites si le probl`eme reste soluble. 2.2. Construction d’un bˆatiment. Consid´erons les diff´erentes tˆaches `a effectuer
pour construire un bˆatiment. Elles sont reprises ci-dessous.
No tˆache dur´ee pr´ealables
1 fondations 6 - 2 murs 10 1 3 plomberie int´erieure 5 2 4 ´electricit´e 7 2 5 toit 6 2 6 plomberie ext´erieure 4 5 7 menuiserie 8 3 et 4 8 sols 4 7 9 peinture int´erieure 5 7 10 finitions int´erieures 6 8 et 9 11 peinture ext´erieure 9 6 12 finitions ext´erieures 2 11
(a) Tracez le graphe relatif `a la m´ethode du potentiel.
(b) Calculez les dates de d´ebut au plus tˆot, les marges et d´eterminez le(s) chemin(s) critique(s).
(c) Les tˆaches 9 (peinture int´erieure) et 11 (peinture ext´erieure) doivent ˆetre disjointes car effectu´ees par les mˆemes ouvriers. Comment r´esoudre cette disjonction ? La date de fin des travaux est-elle affect´ee ? 2.3. Installation d’une caf´et´eria. Une soci´et´e a d´ecid´e afin d’augmenter la mo-
tivation de son personnel de remplacer la cantine actuelle par une caf´et´eria beaucoup plus moderne. Le d´epartement travaux a dress´e la liste sui- vante des tˆaches `a effectuer avec une estimation de leurs dur´ees et de leur s´equencement.
Code Tˆache Dur´ee Pr´ealables Personnel
(semaines) requis
A Achat des mat´eriaux de construction 12 - 3
B Achat des ´equipements de la caf´et´eria 3 - 2
C Intervention de l’architecte d’int´erieur 2 - 1
D Nettoyage du site 3 - 3
E Finalisation des plans 8 C et D 1
F Pr´eparation du site pour la construction 3 E 2
G Construction de la caf´et´eria 2 A et F 5
H Installation des sanitaires 4 G 2
I Installation des ´equipements de cuisine 4 B et H 2
J Peinture 2 B et H 2
K Constitution du stock de la caf´et´eria 4 I et J 1
L Embauche du personnel de la caf´et´eria 8 - 2
M Entraˆınement du personnel 2 I et L 3
Tableau 2.7: Construction d’une caf´etaria (a) Classer les tˆaches par niveaux.
(b) Construire le graphe de la m´ethode PERT correspondant `a ce probl`eme. (c) D´eterminer, sur le graphe de la sous-question 8b), le temps minimum
(en semaines) n´ecessaire `a la r´ealisation du projet.
(d) Donner dans un tableau, pour chaque tˆache, sa date de d´ebut au plus tˆot, sa marge totale et sa date de d´ebut au plus tard.
Section 2.13. Exercices 51 (e) Donner le (ou les) chemins critique(s) pour ce probl`eme.
(f) Tracez le diagramme de Gantt correspondant au principe d’´economie. (g) Tracer le diagramme donnant la charge (exprim´ee en nombre de per-
sonnes).
(h) L’entreprise dispose au maximum de 6 personnes `a affecter `a ce projet. Le projet peut-il ˆetre r´ealis´e dans le d´elai minimum d´etermin´e en c) ? Si oui, indiquez comment on peut le faire.
(i) L’entreprise apprend la d´emission d’une des 6 personnes. Le projet peut-il ˆetre r´ealis´e dans le d´elai minimum d´etermin´e en c) en utilisant au maximum 5 personnes ? Justifier votre r´eponse
2.4. Construction d’un hangar. Le maˆıtre d’ouvrage d’une construction vient de faire l’inventaire, aupr`es des artisans, des tˆaches qui conduisent `a la r´ealisation d’un hangar. Elle sont reprises dans le tableau ci-dessous avec la liste de leurs pr´ealables.
Tˆache Dur´ee N´ecessite la fin de
A 4 C,G,L B 4 - C 5 B,H D 4 B E 16 B,G,L F 7 A,D G 2 D H 3 B I 3 J J 3 G,L K 3 A,F,I L 2 B,C,H
On vous demande de concevoir la planification du projet de construction du hangar, l’objectif ´etant de construire le hangar le plus vite possible. Pour cela, on vous demande de r´ealiser les op´erations suivantes :
(a) Classer les tˆaches par niveaux.
(b) Utiliser le classement des tˆaches par niveaux pour construire le graphe de la m´ethode des potentiels repr´esentant la r´ealisation de cet ouvrage. (c) Sur ce graphe, de d´eterminer les dates de d´ebuts au plus tˆot et au plus
(d) Calculer, pour chaque tˆache, la marges totale, la marge libre et la marge ind´ependante.
(e) Donner le chemin critique.
2.5. Lancement d’un nouveau produit. Une entreprise d´ecide de commercia- liser un nouveau produit. La planification de ce lancement fait apparaˆıtre les tˆaches reprises au tableau 2.8 avec leur dur´ee (en semaines) et leurs pr´ealables.
(a) Tracer le graphe correspondant `a la m´ethode PERT.
(b) Calculez les dates de d´ebut au plus tˆot, au plus tard, les marges et le chemin critique.
(c) L’entreprise voudrait r´eduire la dur´ee totale d’ex´ecution des travaux. Pour cela, il est possible de r´eduire la dur´ee des tˆaches 5 et 11 de une ou deux semaines au prix d’un coˆut suppl´ementaire de 100 000 EURO par semaine de r´eduction pour la tˆache 5 et de 200 000 EURO par semaine pour la tˆache 11. De combien peut-on r´eduire la dur´ee totale des travaux et `a quel coˆut ?
No tˆache dur´ee pr´ealables
1 S´election des ´equipements 1 -
2 Choix de la m´ethode de production 2 1 3 Proc´edures de contrˆole de qualit´e 2 2 4 Choix des mati`eres premi`eres 2 1
5 R´eception des ´equipements 7 1
6 Commande des mati`eres premi`eres 1 4 7 R´eception des mati`eres premi`eres 3 6
8 Essais de production 2 5,3 et 7
9 Premi`ere fourniture aux magasins 6 8 et 11
10 Conception du conditionnement 4 1
11 Production du conditionnement 5 10
12 R´eunion des vendeurs 1 11
13 Formation des vendeurs 1 12
Tableau 2.8: Lancement d’un nouveau produit
2.6. Construction d’une maison. Une soci´et´e de promotion immobili`ere sou- haite r´ealiser au plus vite la construction d’une maison individuelle. Les pr´ealables et les dur´ees des diff´erentes tˆaches, ´evalu´ees en semaines, sont repris au tableau 2.9.
Section 2.13. Exercices 53 (a) Construire le graphe de la m´ethode PERT correspondant `a ce probl`eme. (b) D´eterminer, sur le graphe de la question a), le temps minimum (en
semaines) n´ecessaire `a la r´ealisation de la maison.
Code Tˆache Ant´eriorit´e Dur´ee
1 Excavation - 2 2 Fondations 1 4 3 Murs porteurs 2 10 4 Couverture 3 6 5 Plomberie ext´erieure 3 4 6 Electricit´e 3 7 7 Lambris ext´erieur 4 7 8 Peinture ext´erieure 5,7 9 9 Plomberie int´erieure 5 5 10 Plˆatre 9,6 8 11 Revˆetement de sol 10 4 12 Peinture int´erieure 10 5 13 Finitions ext´erieures 8 2 14 Finitions int´erieures 11,12 6 Tableau 2.9: Construction d’une maison
(c) Calculer, pour chaque tˆache, la date de d´ebut au plus tˆot, la marge et la date de d´ebut au plus tard.
(d) D´eterminer le (ou les) chemins critique(s) pour ce probl`eme.
(e) La direction de l’entreprise, inqui`ete du d´elai de r´ealisation de la mai- son, voudrait r´eduire celui-ci de 2 semaines. On peut agir sur les tˆaches reprises au tableau 2.10.
Tˆache R´eduction de dur´ee possible Surcoˆut par semaine
4 1 ou 2 semaines 300
5 1 ou 2 semaines 800
11 1 ou 2 semaines 500
12 1 ou 2 semaines 400
Tableau 2.10: R´eduction de la dur´ee des tˆaches
Que proposez-vous comme actions afin de r´eduire la dur´ee du projet de deux semaines `a coˆut minimum ?
2.7. Cas de contraintes cumulatives. On veut ex´ecuter 7 tˆaches soumises aux contraintes de succession indiqu´ees dans le tableau 2.11.
No pr´ealables dur´ee Main d’oeuvre
1 - 6 3 2 - 3 2 3 - 6 1 4 2 2 1 5 2 4 3 6 4 et 1 3 3 7 3, 5 et 6 1 2
Tableau 2.11: Cas de contraintes cumulatives.
(a) Calculer les dates de d´ebut au plus tˆot et au plus tard et d´eterminer le chemin critique par la m´ethode des potentiels.
(b) Pr´esenter les r´esultats pr´ec´edents en tra¸cant un diagramme `a barres. Tracer aussi la courbe de charge donnant l’´evolution de la demande en main d’œuvre en fonction du temps. L’effectif permanent de 5 ouvriers est-il suffisant ?
(c) On envisage l’embauche de travailleurs temporaires. Comment limi- ter `a 4 semaines l’embauche de la main d’œuvre suppl´ementaire sans allonger la dur´ee totale d’ex´ecution des travaux ?
(d) Si on renonce `a embaucher des travailleurs temporaires, de combien faut-il allonger la dur´ee des travaux pour respecter la contrainte de main d’œuvre ?
(e) On reprend le probl`eme de la premi`ere question. En plus des contraintes initiales, on veut que la tˆache 7 ne commence pas apr`es 8 semaines. Comment modifier le graphe pour tenir compte de cette contrainte ? Que pensez-vous de cette nouvelle exigence ?
2.8. Construction d’une piscine. Une soci´et´e a re¸cu la maˆıtrise de la const- ruction d’une piscine olympique sur un campus universitaire. Les dur´ees des diff´erentes tˆaches, ´evalu´ees en jours sont reprises au tableau 2.12. Les travaux d´ebutent le premier avril. On suppose que chaque mois comporte 20 jours ouvrables.
Section 2.13. Exercices 55
Code Tˆache Ant´eriorit´e Dur´ee
A Excavation - 5
B Fondations A 2
C Pose canalisations B 4
D Essai en pression C,G 8
E ´Etanch´eit´e D 9
F Mise en place de la station d’´epuration A 6
G Mise en place du chauffage F 5
H Raccordement ´electricit´e G 4 I Sonorisation sous-marine H 5 J Dallage E,I 6 K Construction vestiaires J 8 L Construction du solarium J 2 M Mise en eau K, L 3
Tableau 2.12: Construction d’une piscine.
(b) Au cours de la pose des canalisations, on apprend que par suite d’in- cidents techniques, cette op´eration durera 6 jours de plus que pr´evu. Sans recommencer le diagramme, d´eterminez si cela influencera le d´elai final.
(c) La direction du campus, inqui`ete quant au respect des d´elais, propose de se passer de la sonorisation sous-marine. Qu’en pensez-vous ? 2.9. Ordonnancement de projets. Un projet est constitu´e des tˆaches 0, 1, 2, 3 et
4. La tˆache 0 n’a pas de pr´ed´ecesseur et dure 2 semaines. La tˆache 1 succ`ede directement `a la tˆache 0 et dure 5 semaines. La tˆache 2 succ`ede directement `a la tˆache 1 mais ne peut pas commencer avant la 10`eme semaine. Elle dure 5 semaines. La tˆache 3 succ`ede directement `a la tˆache 2 et dure 3 semaines. La tˆache 4 succ`ede directement aux tˆaches 2 et 3 mais doit commencer au plus tard 7 semaines apr`es le d´ebut de la tˆache 2. Elle dure 2 semaines.
(a) Dessinez le graphique associant les tˆaches aux sommets. (b) Ce projet est-il r´ealisable ? Justifiez bri`evement.
(c) Vous avez la possibilit´e d’allonger ou de r´eduire la dur´ee des tˆaches 1 et/ou 2 de une ou deux semaines, `a un coˆut additionnel de 500 euro la semaine et par tˆache. Et aussi d’allonger ou de r´eduire la dur´ee des tˆaches 3 et/ou 4 de une ou deux semaines, `a un coˆut additionnel de 1000 euro la semaine et par tˆache. Quelle solution proposez-vous afin de r´ealiser le projet `a un coˆut minimum ?
(d) Quelle est alors la dur´ee totale du projet ?
(e) Quelle(s) activit´e(s) n’appartiennent pas au chemin critique ? 2.10. Installation d’un syst`eme de d´epollution de l’air. Pour l’exercice 1.1,
(a) Classer ces tˆaches par niveaux.
(b) Construire le graphe de la m´ethode potentiel.
(c) D´eterminer sur ce graphe le temps minimum de r´ealisation du projet. (d) Calculer les date de d´ebut au plus tˆot, au plus tard et les marges. (e) D´eterminer le (ou les) chemin(s) critique(s) pour ce probl`eme.
(f) La direction de l’entreprise voudrait r´eduire celui-ci de 2 semaines `a co ˆut minimum. On peut agir sur les tˆaches suivantes :
Tˆache R´eduction de dur´ee possible Surcoˆut par semaine
D 1 ou 2 semaines 300
E 1 ou 2 semaines 400
F 1 ou 2 semaines 500
G 1 ou 2 semaines 800
Que proposez-vous comme actions ? Quel est le coˆut correspondant ? Quel(s) est (sont) maintenant le(s) chemin(s) critique(s) ?
Chapitre 3
Analyse du projet
L’analyse du projet porte sur la d´efinition du projet et se traduit concr`etement par une liste de tˆaches avec leurs contraintes (ant´eriorit´e, disjonctives, cumulatives).
3.1 D´efinition du projet
La d´emarche souvent utilis´ee pour des projets de grande envergure consiste `a analyser le projet de mani`ere hi´erarchique. Souvent, on d´efinit ´egalement, que ce soit pour des raisons techniques ou contractuelles des phases au projet. Nous verrons ensuite l’analyse du contenu pr´ecis des tˆaches et de leur relations
d’ant´eriorit´e. Remarquez que ce travail de d´efinition du projet peut repr´esenter la
moiti´e du temps de travail des gestionnaires du projet.