Linear stability analysis in fluid-structure interaction with transpiration. Part I: formulation and mathematical analysis
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Texte intégral
(2) INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE. Linear stability analysis in fluid-structure interaction with transpiration. Part I: formulation and mathematical analysis Miguel-Ángel Fernández — Patrick Le Tallec. N° 4570 Septembre 2002. ISSN 0249-6399. ISRN INRIA/RR--4570--FR+ENG. THÈME 4. apport de recherche.
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(20) «"¬®°¯v±² ¶¸± ¬®¾ ¬®¶ %±M±¾ ¬ ¬® c¬ ¶B² »¶ c²¯¬®Z¶Â¯²v±G»¶B¬¸· . . . . . . . ¥bwy x ∈ Ω Ä x (x , t) i{!i~vix¢u~ue!i{Mwy~vo´uopwx£t^u uvoph}i t ≥ 0 w¥ue!ihjt^uivoIt^s {Dwopx¢u x Ãdfe!op~fwyvi~{Dwyx ~zuvw£ue!i spt~v~optssIt^ytx|yoItxjÀZwµ¦ Ä ue!iÒ Óhjt{ x op~ iÖZx!i ¥bwyh x ÄXt~tx5t!ouvt i- Guix|~vopwx5wµ©i wyhjtopx Ω Ä!¦e!opKe{!vi~vi©yi~ Γ = Γ = ∂Ω Ã ) x ~e!wyuÄ!ue!i0 ht^{ op~fyo´©yix ¢ x s 0. 0. s. 0. 0 . f. f 0. s |Γs0. f 0. . f. x(x0 , t) = Ext(xs |Γs0 )(x0 , t), x(x0 , t) = xs (x0 , t),. f. ∀x0 ∈ Ω0 , s. ∀x0 ∈ Ω0 .. XiiÄ Gu vi{!vi~vix¢uv~txi Guvix!~opwyxwy{Mituwy(¥bwyh . . Γs0. uw. f. Ω0. ~q!Ke uveZt^u. Ext(xs |Γs0 )|Γf0 = IΓf0 .. %Ù 2! ¯ µ¯¶ s ± ¶$#Z¯ ²¯*'P¯²¯°»K¯ G· }±¬® )± Ω0 = Ωf0 ∪ Ω0 Ω = Ωf (t) ∪ ¸ ¶ ± 1 P ' ·. ² * ¶ Z # f ¯ M ¼ ² ¯ µ ¯ Z ( ¶ K » · ; 0 G v ² ± B ¶ ¸ ¬ · º ± ) ¶ \ ¶ ¬ ¯ 4 s Ω (t) t>0 ! #Z¯m·K¼Z¯²±¶Â·² %Ù 2 »v± ¯ G¯*0°¯%±² ¬®¶B²±²¬®¾}¬® ¬ G¯ f 4. fd e|op~ht{;tsspwµ¦~q!~'uwuvtx!~v{Mwyuuve!iÀZq!o iÇTqZtuopwx!~$ÉϪËZtK¨0uvwzuve!ivi¥bivix!i wyhjtopx Ω ÄXspit opx|ÈuwÑue!iºsIt~~voptsox!whj{!i~~vop|spiaÕXtµ©Goi Á nGuw¨i~iÇTqZtuopwx!~ ¦vouuixox wyx!~i©^t^uvo©i ¥bwvhmq!spt^uowyx Î Ï :^Ð\Ä!~vt^uo~ÖZi ¢ u : Ω × R −→ R tx p : Ω × R −→ R opx Ω , É\yË ∂Ju 1 + div J u ⊗ (u − w) − σ(u, p) F = 0, ∂t ρ opx Ω , div (JuF ) = 0, ¦e!ii;uve!i0ÇTqZtx¢uo´uopi~ F Ä J Ä w ti iÖZx|i ¢ Ext. f 0. f 0. Ω0. . f 0. . +. −T. 0. |x0. 0 . F = ∇0 x =. ∂x , ∂x0. J = det(F ) > 0,. E. . u(x0 , t) = uE (xf (x0 , t), t),. 3. f 0. −T. tx ¦e!ii ρ = ρ ÉBwyx!~uKtx¢u-Ë-ÄMtx u tx p t^vi0ue!i; iÖZx|i ¢%uvtx|~v{Mwyuzt~. +. f 0. w=. . ∂x . ∂t |x0. ©ispwGo´uÂtx {!i~v~q!vi. p(x0 , t) = pE (xf (x0 , t), t).. %Ù 2! °²· ¶$#Z¯ G¯*0Z¬®¶\¬¸·j· ' ²¯Â¼M²¯ µ¯Z¶ 9¶*#Z¯"µ·¾ ¬ )¯¾p·µ»¬®¶
(21) #Z¯²¯v± x w|Ωs0 ¶÷± 'P·²z¶*#Z¯ c¬ »K·Z¶B²K·¾ )·¾ ¯ )¯¾p·µ»¬®¶ #G¬¸» # |±¾®¾ ¬ ¿¯² '-²· ̶*#Z¯ w|Ωf0 G¬ )¯¾p·µ»¬®¶ ¬® ¬ G¯ f 4 u. áá ì. . Ω0.
(22) ¬ Z¯¾ G¯¾ 6¯²- G ¯v³ "¹(±¶B²-¬¸» £«¯ ±¾®¾p¯K» :. . . . . .
(23) . . / dfe!ii©ywysq|uowyx w¥;ue!i ~uvvq!uq!io~KeZtt^uivoÍi ¢ ou~h}wuowyx x à ia¦opsps yix!itss wx!~vo i£ue|iPt~i É\t^u&siPt~um¥bwymwyq|£ht^uve!ihjt^uvopPt^s$t^xZtsG~op~Ä~iitsp~w Î |Ä"ϵcÄ^kЮËX¦e|ivi&ue|i£~uq!uvq!t^s op~{!sItih}ix¢u op~0o©yixÄ'twyq!x t¨Gx|wª¦x wx Á ÖZyq!vt^uowyxÄ0¢ t spopx|iPtwhm!opx!t^uowyx w^¥&t ÖZx!o´uixGq|hmDiÒw¥£©Go!t^uvopwyx5h}w i~ Ä|opx~vq!KeÒtm¦(tPue!t^u ϕ : Ω −→ R , 1 ≤ i ≤ n . . . . s. . s 0. i. 3. s. s. s. x (x0 , t) = x0 +. n X. si (t)ϕi (x0 ),. i=1. ∀x0 ∈ Ωs0 ,. ¦ oue s(t) = {s (t)} à Xix!i^Ä x = I + Φs ox Ω Ä$¦e|ivi Φ = ∈ R p o ) ~ t j h ^ t u ´ o r ~utx ox!0¥bwy ue!izvi q!i h}w ts|!t~vo~à ) x&ue!o~ [ϕ |ϕ | . . . |ϕ ] 3×n ¦(tPyÄyuve!i§~uq!uvq!tscDieZtP©Gopwy6op~ vo´©yix£¢yo©ixmhjt~~ tx ~uo´Å°x|i~v~"wy{Dit^uvwyv~Ä M tx K i~v{Miuo´©yis´yÃ6dfeGq|~Äyue|i§iÇTqZtuopwx!~ i~vvo!opx!zue!i$hjw^uopwx;w^¥!ue!i$~uvvq!uq!iÄ tvwyq|x t}¨Tx!wµ¦xwyx|Ö!yq!tuopwxÄ!vi q!i;uvw É ¢Ë M¨ s + Ks = f , ¦oue f ∈ R uve!i yix!itsopÍi spw¢t ©yiuwyÄyo©ix¢ 1. ns. 2. ns. 1≤i≤ns s. i. . s. s 0. Ωs0. . g. g. ns. [fg ]i =. Z. Γs0. fΓs0 · ϕi da 0 ,. 1 ≤ i ≤ ns ,. t x ¦e|ivi f ∈ R ~utx ~¥bwzuve!i~q!¥Bt^i¥bwvi ix|~vou t{|{!spoi wyxÒue|ir~uvvq! Á uq!vtsMwyq!x t^oxo´u~fi¥biix!iwyx|ÖZq!t^uvopwyx°Ã 3. Γs0.
(24) dfe!iºwyq!{|spopx|ÑDiu¦§iix uve!iº~vwyso tx ue|iºÀ!q!o op~iPtsopÍi ue!wyq!ye ~uKtx t Dwyq|x tjwyx o´uowyx!~$t^u§uve!iÀZq!o cÁ ~uq!uvq!viXopx¢ui¥Bti Γ Äcx!thjisÄGuve!i¨Topx|ihjt^uo wyx¢uoxTq!ouÂw¥6uve!i0©yispwGouÂtx ue!i ¨Topx|iuo0wyx¢uvopxTq!ouÂ%w¥6uve!i ~uvvi~~rÎ Ï :^Ð wyx Γ , u = x˙ , ÉbkTË y w x Γ , f = Jσ(u, p)F n , . .
(25). . s 0. s. Γs0. −T. 0. . s 0 s 0. ßbàáßbâ.
(26) «"¬®°¯v±² ¶¸± ¬®¾ ¬®¶ %±M±¾ ¬ ¬® c¬ ¶B² »¶ c²¯¬®Z¶Â¯²v±G»¶B¬¸· . . . . . . . ¦ e!ii n ~uKtx ~ ¥bwy6uve!i§q!x|ou x|wyvhjtsT©yiuwy"wyx Γ {Dwopx¢uox!ox!~vo i Ω Ã wyiwµ©yiÄ ¦§iix wµ¦ uve!iÀ!q!o iÇTqZt^uvopwyx|~z¦o´ue tovopKe|spiuMwyq!x twyx o´uowyxwyx Γ tx txwyq|usiuwyx o´uopwxwyx Γ ÄZo\à i^à wx Γ , u=u , wyx Γ , σn = 0, ¦oue Γ = Γ ∪ Γ tx Γ ∩ Γ = ∅ à ) x ~vq!h}hjtÄ!ue!i;wyq|{!spi {!wy!spih Ä!¦o´ue tx ¥bwyvhrq!sIt^uvopwyx%¥bwuve!i ÀZq!o Ä op~fyo´©yix¢ ox Ω , 1 ∂Ju + div J u ⊗ (u − w) − σ(u, p) F = 0, ∂t ρ ox Ω , div JuF = 0, wyx Γ , u=u , wx Γ , É\yË σ(u, p)n = 0, wx s 0. 0. s 0. in. out. Γin. in. out. 0. in. out. in. out. . . |x0. −T. 0. f 0 f 0. −T. 0. Γin. 0. u = Φs, ˙. M¨ s + Ks = −. Z. in. out Γs0 ,. JΦT σ(u, p)F −T n0 da0 , Γs0. xf = Ext(xs |Γs0 ), (u, s, s) ˙ |t=0 = u0 , s0 , s1 ,. xs = IΩs0 + Φs,. ¦oue F Ä J tx w t^~ iÖZx|i opx É\yËà zivi^Ä (u , s , s ) ~utx ~(¥bwy$ue!i0ox!ouvoIts!ÀZq|o ©yiswcouÂ%tx ue!i opx|ouopts~uvvq!uq!vts op~{!sItih}ix¢uztx ©ispwGo´uÂyÄZi~v{Miuo´©yis´yà . 0. 0. 1. 0
(27) - M ) x=uve!op~£~iuopwx ¦$i¥bwcq!~&wyxÑue!i~uKt!ospo´uÂyÄ uwº~htss§{Miuq!Zt^uowyx!~Ä$w¥z~c~uihj~ wyq!{|spopx|t%ÀZq!o tx t%~uq!uvq!vi^Ã} wyvi£{|viop~isÄ'wyq!¿{!wy!sih iPts~¿¦oue uve!i spopx|iPtf~uKt!ospo´uÂtxZts´G~vop~w¥ ~G~uvih}~¿opx¢©yws©Gopx!}t}vi q!i ~uq!uvq!viroph}hjiv~vi ox txaopx!wyh}{!vi~v~vo!spi ©Gop~wyq!~¿À!wª¦ à im¦opssix!itsopÍi;ue!i£sIt~~voPts9«6¬®°¯v±²¬´³µ±¶B¬¸· ¹§²-¬®°»¬½¼M¾p¯;t^{!{!vwytKeÄ~viiaδϵиÄ9q|~vopx|Òue!ispopx|iPtopÍPtuopwx Á uvtx!~{!opvt^uowyxÒuviKe!x!oÇTq!i~ i©ispw{Di oxÎ ÏyÏyİϪÐ\à . . áá ì. .
(28) ϵ. ¬ Z¯¾ G¯¾ 6¯²- G ¯v³ "¹(±¶B²-¬¸» £«¯ ±¾®¾p¯K» . . . . .
(29) . . /
(30)
(31) iu Dit~uit £wyq!{!si ÀZq!o cÁ ~uq!uvq!vi(iÇTq!opsop!opq!h ~uKt^uviÄy¦ouve x = (u , p , x ) t^x s ∈ R à ×Zvwyh É\yË&¦$i wy|utopx ueZtu (u , p , x ) ~t^uvop~Ö!i~juve!i I + Φs ¥bwyspswª¦ox!m~uiPt wq!{!spi {|vwy!sih . 0. 0. Ωs0. . 0. . div0 J0. . . s 0. ns. 0. 0. 0. 1 −T u0 ⊗ u0 − σ(u0 , p0 ) F0 = 0, ρ div0 J0 u0 F0−T = 0, u0 = uΓin , σ(u0 , p0 )n0 = 0, u0 = 0,. 0. ox o x yw x wx wx. 0. Ωf0 , Ωf0 , Γin , Γout , Γs0 ,. É Ë. xs0 = IΩs0 + Φs0 , xf0 = Ext(xs0|Γs ), 0 Z T −T Ks0 = − J0 Φ σ(u0 , p0 )F0 n0 da0 , Γs0. ¦e!ii F = ∇ x tx J = det F à i~iu ue|iwx|ÖZyq!vt^uowyx2w^¥fue!ij~uq!uvq!vi%t^umiÇGq|opspo!voq!hÄox ~vq!Keat£¦§tµΩuveZt^=uPÄxt¥®u(Ωi ) i¥bwyvhjt^uvopwyxw¥6ue!i;opx¢ui¥BtiÄ!uve!iwyx¢uwys©ywysq!hji oxuve!i ÀZq!o Ébq!~vi oxÑue!i ¥bwyvhrq!sIt^uvopwyxZË o~£yo©ix=¢ Ω = Ω − Ω Ã 2its~vwa~iu ÄGue!izÀZq!o cÁ ~uvq|uq|viox¢ui¥BtiXt^u§iÇTq!opsop!opq!hÃ'dfeTq!~Ä!~opx!i op~)¨Tx!wµ¦xÄ γ = ∂Ω Tauvtx|~v{Mwyuvopx!2É Ëuvwuve!op~0x!i¦wx|¥voyq!vt^uowyxÄue|i}i¥bivix|i~uKt^uvΩi (u , p , x ) Diwyh}i~ (u , p , I) ¦e!oKe ~vt^uo~ÖZi~fue!i0¥bwysspwµ¦opx!rq!x!wq!{!spi {|vwy!sih 0. . 0 0. s. 0. s. 0. s 0 . s. f. s. . f . 0. 0. 0. 0. 0. 1 div u0 ⊗ u0 − σ(u0 , p0 ) = 0, ρ div u0 = 0, u0 = uΓin , σ(u0 , p0 )n = 0, u0 = 0, Z Ks0 = − ΦT σ(u0 , p0 )n da. . ox o x yw x wx wx. Ωf , Ωf , Γin , Γout , γ,. É\yË. γ. ßbàáßbâ.
(32) «"¬®°¯v±² ¶¸± ¬®¾ ¬®¶ %±M±¾ ¬ ¬® c¬ ¶B² »¶ c²¯¬®Z¶Â¯²v±G»¶B¬¸· . . . . . ÏyÏ. . XiiÄ n = F n vi{|vi~ix¢u~;ue!i}q!x!o´u;x!wyvhjts"©iuwy;wyx γ ÉB{MwyoxTuvopx!ox!~vo i kF n k Ë Ã Ω ) x ue|i ~vth}i ¦(tPyÄX¦§iºPt^x i~vvopMiº{!vw!spih ɸËjuKt¨Topx| t~ Ω = Ω ∪Ω vi¥bivix!imwyx|ÖZq!t^uvopwyx°ÄMo\à i^ÃT iÖZx!opx|jue|ir @hjt{Òox Ω opx|~uit w^¥ Ω ÄD~ii ¥voyq!vi |à i ix!wuvi¢ δs ∈ R ÄTue!i ivii~§w¥°¥bvii wyh w¥uve!iX~uq!uvq!vi¿oxjuve!op~)x!i¦ wyx|Ö!yq!tuopwxà dfeTq!~ÄZ¦$i iÖZx!i ue|i;~uq!uvq!tsh}wuvopwyxt^~ ox Ω , x = I + Φδs, tx ue!i h}wuowyxw¥ue!i wyx¢uvws©ywysq!hji0w^¥6uve!i0ÀZq!o t~ −T. . −T. s. 0. 0. s. f. . 0. . ns. s. s. Ωs. xf = Ext(xs|γ ).. %Ù 2! ·² ¬ ¼M¾ ¬ 0(»v±¶\¬¸·¼ G²÷¼Z· µ¯
(33) ±6'-¶Â¯²¶B²± ¼Z·²-¶X· §¯ #|± )¯ ¢¯Â¼M¶ ¶*#Z¯ ±¯0°·¶÷±¶B¬¸·
(34) 'P·²0¶*#Z¯« }±¼ x )¶*#Z¯ G¯*'P·² }±¶B¬¸· ²±(¬¸¯ΩZ¶ F = ∇x )¶*#Z¯ ¶\²± * 'P·² }±¶\¬¸·±G»K· ¬B± ± %¶*#Z¯}¯62y¶Â¯ ¬¸·Ñ·K¼Z¯²±¶Â·² 4 ¯ #|± )¯£±¾ µ· ¢¯Â¼M¶§¶*#Z¯ ±¯ · ¢ ±¾ G ¯ )¯¾p·K¼ ¯Z¶ J'P·²&¶*#Z¯ ¶B² »¶G²v±¾$¬Â¼M¾´±G»K¯ ¯Z¶ 4;· §¯ )¯² §¯»K· c¾ µ ¯ ¶ §· ¬ ¿¯²¯Z¶ G ¯ )¯¾p·K¼ ¯Z¶ ¶Â· G ¯ µ »²¬ ¯
(35) j· ¶*#Z¯ ·°¯ #|± &¶$#Z¯ ¶B² »¶G²v±¾ ·¶\¬¸· $± ·a¶*#Z¯m·¶$#Z¯² #|± ¬®¶f ¼Z¯²¶G² ±¶B¬¸· 4. ´o ue}ue!o~$Ke!wopi^Äcwyq!{!si {|vwy!sih
(36) É\yË-ÄT¦vo´uvuvix%ox}uve!ix!i¦ vi¥bivix!iwyx|Ö! Á q!t^uvopwyx Ω ÄZMiwyh}i~ . opx Ω , ∂ρJu + div J [ρu ⊗ (u − w) − σ(u, p)] F = 0, ∂t opx Ω , div JuF = 0, wyx Γ , u=u , wyx Γ , σ(u, p)n = 0, wyx γ, É :¢Ë ˙ u = Φδs, . −T. f. −T. f. Γin. in. out. ¨ + K(s0 + δs) = − Mδs s. x = IΩs + Φδs,. f. s. Z. JΦT σ(u, p)F −T n da, γ. x = Ext(x |γ ), F = ∇x, J = det F, ˙ u, δs, δs = u0 , s 0 , s 1 . |t=0. áá ì. .
(37) Ϫ. ¬ Z¯¾ G¯¾ 6¯²- G ¯v³ "¹(±¶B²-¬¸» £«¯ ±¾®¾p¯K» . . . Φs Γs0. Ωs0. Γin. . .
(38) . Ωf (t). Γout. Γin. . Γs (t) Γout. Ωs (t). Ωf0 Ω0. Ω Φs0. Φδs. γ. Ωs. Γin. Γout. Ωf Ω. ×"opq!vi )§e!tx!yi w¥6wyxcÖZyq!vt^uowyx. . i¥bwcq!~&wyx=ue!ispox!iPt^m~ut!opsouÂ2txZts´G~vop~£w^¥ue|i~uit =iÇTq!ospo!voq!h ~uKtui ¦ouvevi~{Diuzuw&~vhjtss°{Miuvq!v!t^uowyx!~tuopx|£wyxue!i opx|ouoptsMwyx ouowyx!~à (u , p , I) iuq!~f~vq|{!{Dw~vi uw£Mi0i c{Mwy~vi uvw&t&~ht^spsM{Diuq|vZt^uvopwyx (δu , δs , δs ) (u , p , I) t^uzopx!o´uoIt^sMuvoph}iÃdfe!op~{Miuq!Zt^uowyxyix|itui~Xt&wyq!{|spi q!x!~uiPt ~ut^ui (u, p, x) ¦e!opKe~t^uvop~ÖZi~É :yË$¦oueuve!i0¥bwyspswª¦ox!mox!ouvoItsMwyx ouvopwyx . 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. u0 , s0 , s1 = (u0 + δu0 , δs0 , δs1 ).. × wyhÔÉ :yËÄD¦$imtx wy|utopxÒtjx!wx Á sopx!itwyq!{|spi {|vwy!sih ywµ©ivx|opx!uve!irÀZq|uq!t Á uopwx!~ É ¢Ë (δu, δp, δx) = (u, p, x) − (u , p , I). $ ~vq!{|{Dwy~opx!=ue!t^u uve!i~i2yix!ivt^ui ÀZq|uq!t^uowyx!~vihjtox5~ht^sps¥bwytx¢@uvoph}i Ä(¦$i tx x!iyspiuuve!i e!oye w ijuivh}~Ã5dfeTq!~Ħ§iÒwy|uKt^opx t spox!iPtopÍi t > 0 {!vwy|spih vo©Gox!!ÄGt^u§Ö!v~u§wy iÄTue|iÀZq!uqZt^uvopwyx|~$w¥uve!iwyq!{!si ~G~uih Ã9(u$ue!o~ {Dwyox¢uPÄ$¦$iÒq|~vqZtssÑox¢uvw q!iÒt^x!wue|i iÖZx|ouowyx opx=ue!i spopx|iPt£~uKt!ospo´uÂ2ue|iwy δϪµÐ¸ÄZ¢~q!{!{Mwy~vox!£ueZt^uitKeÒsopx!it§ÀZq|uq!t^uowyx PtxMi;w|uKtox!i ¢ ~vq!{Mi{Dwy~ouvopwyx w¥0ÀZq!uqZt^uvopwyx|~w¥0uÂG{Mi (v, q, t)e (δu,Äfδp, tspsδx) i °·² }±¾ · G¯ à ) . 0. −λt. 0. . . ßbàáßbâ.
(39) «"¬®°¯v±² ¶¸± ¬®¾ ¬®¶ %±M±¾ ¬ ¬® c¬ ¶B² »¶ c²¯¬®Z¶Â¯²v±G»¶B¬¸· . . . . . Ï. . v~ q!!~uo´uq|uvopx! ue!o~sIt~u$i- c{!vi~v~vowyx%ox}uve!iXsopx!itvoÍi wyq!{!si iÇTqZt^uvopwyx!~ÄG¦$iw|uKtox ueZt^u (λ; v, q, t) op~"txmioyix|{Ztopw¥Zuve!i(~v{Miuvts|{!wy!sih t~v~wcoIt^uvi uvwue!i§wyq!{|spi spopx|iPt({|vwy!sihà ٠bÝ #Z¯£¼Z¯² }±°¯Z¶ ¶¸±¶ ¯ (u , p , I) ¬ º»v±¾®¾p¯%2¾ ¬®°¯v±²-¾ 2± ¼M¶Â·¶\¬ »v±¾®¾ ¶¸± ¾p¯ 6¬ 'X¶$#Z¯ ¼Z¯K»¶\²±¾¼M²· ¾p¯ G·µ¯ z°·¶ #|± )¯0¯¬ G¯ )±¾ ¯ 9¬®¶$#}°¯ ¢±¶\¬$)¯z²¯v±¾ ¼|±²¶ 4 #Z¯¼Z¯² }±°¯Z¶ ¶¸±¶ ¯m¬ %»v±¾®¾p%¯ ¾ ¬®°¯v±²¾ G ¶¸± ¾p¯ ¬ 'm¶$#Z¯²¯%¯62y¬ ¶ z±¶f¾p¯v± ¶ ·°¯m¯¬ G¯ )±¾ ¯ 9¬®¶*#°¯ ¢±¶B¬$)¯ ²¯v±¾|¼|±²-¶ 4 ) xa~ve!wyuPÄMue!o~¿yix|it^s"t{|{!vw¢t^KeĨTx!wµ¦x t~«6¬®°¯v±²-¬´³µ±¶\¬¸· ¹$²-¬®°»¬½¼M¾p¯zopxÑΠϪªÐ\Äix Á t!spi~¿uwvi q!i}uve!i£~ut!opsou {!vw!spih uwuve!i&{!vwy|spih w¥ iuvivh}opx|imue!i&ioyix Á ©t^spq!i~fw¥ t&~v{MioÖZ ~{Diuvts{!wy!spih à Õzi©iuve!isi~~ÄT¦§ihmq!~u{Dwopx¢u9wyq|u9uveZt^u uve!iwyh}{!si couÂw¥ue!ifsopx!itvoÍi {!vw Á spihÄ'opx{Ztuvopq!sIt¿uveZt^uw¥(iopyix!{!wy!spih Ä~uvvwyx|ys i{Mix ~rwyxuve!i}À!q!uvqZt^uowyx iÖZx|ouowyxà ) uo~z~uvtopye¢u¥bwy¦§t uvw&©io¥®yÄZ~iijÎ´Ï |ÄMÐ¥bwfopx!~uKtx!iÄ!uveZt^uuKt¨Tox! É ¢Ë£t~£ÀZq!uqZtuopwx iÖZx!o´uopwx=¦$iwy|uKt^opx t sopx!itvoÍi {|vwy!sih ¦e|iviue!iÀZq|o iÇTqZt^uvopwyx!~X~uvopsps i{Mix wyx ue!iopx¢ui¥Btirh}wuowyxà Xix!i^Äopxue!o~X~ix!~iÄouv~Xwyh Á {!spi- |o´uÂ%o~f~voph}opsptuw&ue!i0¥bq!ss°x!wyx Á spox!iPt^({!vw!spih à ) xjue!izx!i Gu§{Ztt^yt{|e!~ÄT¦§iX¦opspsc¥bwcq!~§wyxtx!i¦ io©^t^uvopwyx}w¥°uve!i;«6¬®°¯v±²-¬´³µ± ¶\¬¸·Ñ¹$²¬®°»¬½¼M¾p¯ÃÒdfe!op~r¦osps)DiZt~vi opx2uve!i%sopx!itvoÍPt^uvopwyx Á uvtx!~v{|optuopwx hjiue!w i©ispw{Di ox δÏyÏ^Ä(ϪÐ\Ä{Ztuopq!sIt^vs ~q!ouvi ¥bwym{!wy!sih}~mopx¢©yws©Gopx!ah}wµ©Gopx! w Á htox!~Ã;dfeTq!~Ħ$i£¦opspsMi&t!spiuwviwµ©yirt%sopx!itvoÍi wyq|{!spi {|vwy!sihÄ°¦e!ivi ue!i;spox!iPtfÀZq|o iÇTqZt^uowyx!~Xtviopx i{Mix ix¢u¿w¥ uve!i ÀZq!o GÁ ~uvvq!uq!iroxTuvi¥Bti;hjw Á uopwxà ) x ii Ä(uve!iÒwyq!{!sopx!a¦o´ue uve!iÒsopx!itvoÍi ~wyspo iÇTqZt^uowyx!~}op~&{Mi¥bwvh}i ©coptuvtx|~v{!ot^uvopwyx opx¢ui¥Btijwyx o´uowyx!~0¦e!opsi&¨ii{!opx|atÖ| ci ÀZq!o 2 wyhjtoxà ) x wue!iX¦$wy ~Ä°¦$irÖZxZt^spsw|uKtox txÒiopix!{!wy!sih¤w¥h}opx!ohts°wyh}{!spi- couÂyÃX×Zvwyh t&hjt^uve!ihjt^uoPtsM{Mwyopx¢uw¥©Gopi¦ Ä!uve!op~ftxDi0©Gopi¦§i t~zt£KeZtx|yiw^¥6©^toIt!si~à . . . .
(40) . . . . . . 0. 0. . . . . . . .
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(43) / ) x%ue!o~§{Ztvtyvt{!e¦$i¿q!~i¿ue!iXspopx|iPtopÍPtuopwx Á uvtx!~{!opvt^uowyxmh}iuve!w opx¢uw q|i ox δÏyÏ^ÄT~viuowyx%ªÐÉB~iiXtsp~wjΠϪTÄGKe!t{|ui(ªÐ®Ë-à ×"ov~u)tu)tsps\Ħ§izhmq!~u9¦vo´uifue!iwyq!{!si {!vwy|spih É :¢Ë(opx©^tvopt^uowyxZtsM¥bwyvhà )hmq!suvop{!s´Gopx!É :¢Ë(T (ˆv , tˆ) ∈ D(Ω) × R Ä T opx¢uviyvt^uox!j¢ {Ztu~ox uve!iÀZq|o iÇGq!t^uowyx!~¿t^x ¢ ut¨Topx!jopx¢uwtwyq!x¢uuve!i Dwyq|x t wx ouvopwyx|~ÄX¦$iºwy|utopx uve!ia¥bwyspswª¦ox!©^toIt^uvopwyx!tsz¥bwvhmq!spt^uowyx ºÖZx . f. ns. 4. . áá ì. .
(44) ÏPk. ¬ Z¯¾ G¯¾ 6¯²- G ¯v³ "¹(±¶B²-¬¸» £«¯ ±¾®¾p¯K» . . . . . tx . Ä. s.
(45) . . ~q!Ke uveZt^u. u : Ωf × R+ −→ R3 p : Ωf × R+ −→ R δs : R+ −→ Rn Z Z ∂Jρu f · vˆ1 dx − v f dx J [φ(u, σ(u, p)) − I1 ρu ⊗ w] F −T : ∇ˆ ∂t Ωf Ωf Z Z f −T + Ju · F n vˆ2 da + (Jσ(u, p)F −T n) · (Φtˆ − vˆ1f ) da γ γ s ¨ + (Mδs) · tˆ + K(s0 + δs) · tˆ = 0, ∀(ˆ v f , tˆ) ∈ D(Ω)4 × Rn ,. {!vwµ©Go i ¦o´ueue|i;Mwyq!x t%wyx ouowyx!~. w x wyx wyx. u = uΓin , σ(u, p)n = 0, ˙ u = Φδs,. tx ¦e!ii;uve!i0ÀZqc ¥bq|x!uvopwyx!~zti0yo©ix¢ φ(u, σ) = I1 (ρu ⊗ u − σ) + I2 ⊗u, f vˆ vˆ = 1f : Ω −→ R4 , vˆ2 f. −. γ, . 1 0 I1 = 0 0. 0 1 0 0. 0 0 I2 = 0 , 1. 0 0 , 1 0. xf = Ext(xs|γ ).. &{!vw!spih ɸË"Ptx&Mi¦ouuix&ox&¦$iPt^¨r¥bwyvh. . Z. ÉÏϪË. Γin , Γout ,. xs = IΩs + Φδs,. ) x&uve!i~th}i(¦§tµÄGuve!ivi¥bivix!i~uiPt. t~. ÉÏP¢Ë. f. φ(u0 , σ(u0 , p0 )) : ∇ˆ v dx +. Z. σ(u0 , p0 )n · (Φtˆ − vˆ1f ) da + K(s0 ) · tˆ = 0,. É ÏµyË dfe|ir¥bwyspswµ¦opx!&~uvi{aox ue|irspox!iPt^vopÍt^uowyxop~ue|i iÖ!x!ouvopwyxw¥9ue|iÀZq!uqZtuopwx!~ ÄZw¥ uve!i;{Diuq|vMi ~uKt^uvi p, x) tvwq!x uve!i;iÇTq!opsop!opq!h (u , p , I) à (δu, δp, δx) ~opx Î ÏyÏÐ\Ä!ue!i~vi ÀZq!uqZt^uvopwyx|~tvi i(u, ÖZx!i ¢ ox Ω, x = I + δx, ox Ω , ÉÏ ¢Ë u(I + δx) = u + ∇u δx + δu, ox Ω , p(I + δx) = p + ∇p δx + δp, Ωf. γ. s ∀(ˆ v f , tˆ) ∈ D(Ω)4 × Rn .. 0. Ω. Ωf. 0. 0. Ωf. 0. 0. f. 0. f. ßbàáßbâ.
(46) «"¬®°¯v±² ¶¸± ¬®¾ ¬®¶ %±M±¾ ¬ ¬® c¬ ¶B² »¶ c²¯¬®Z¶Â¯²v±G»¶B¬¸· . . . . . Ϫ. . tx ¦e!ii δxs = Φδs,. δxf = Ext xs |γ − IΩf .. §wyhj{!tvi uvw}uve!i;uvt ouowyxZts iÖZx|ouowyxÄ!q|~vi opxδϪGÄÏ |ÄM^Ð\ÄZue!i;x!wyx Á ~utx t^ iÖZx|ouowyxÉÏ ¢Ë6uKt¨^i~i c{!sopous´rox¢uw;twyq!x¢uue!ifuvtx!~{Dwuw¥Mue!ifi¥bivix|iz~uKtui q!i0uw&ue!i ÀZq!o wyhjtopxh}wuowyxÄZt^x uve!i opx¢uopx!~op0{Miuq!Zt^uowyx (δu, δp) w¥ue!i ÀZwµ¦ Á ÖZis t^ufue|i;x|i¦ ~{Zt^uopts{Mwyopx¢u (x + δx) à %Ù 2! #Z¯}¶Â¯² ±¼¢¼Z¯v±²-¬® Ò¬®Ñ¶*#Z¯¯&% |±¶\¬¸· ÉϪ˻K·²-²¯ ¼Z· }¶ · K(s ) ¶*#Z¯(²K¯ ¬ |±(¾ ¶\²¯ f¬®Z¶B²· »K%¯ 0¬® µ¯K»¶\¬¸· 54 4 ! ¶6¯&% G¬®¾ ¬ ²v±¶Â¯ f¶$#Z¯ ¶Â¯v(± c¬ ¶\²¯ 10(¯¾ · ¶$#Z¯;¬®Z¶Â¯²*'±G»K¯ 4 X~£q!~vq!ts¸Ä uve!ispox!iPtopÍt^uowyxºwyq!s DiPtvopi wyq|um¦o´ueÑi~v{Miu£uw uve!ix!i¦ q!x!¨Tx!wµ¦x (δu, δp, δx) Ä|¢~vq!|uvtuox!rue|i0vi¥bivix!i0{!wy!sih ÉϪyË9¥bvwyhÌue|i¿{Di Á uq!Di {|vwy!sih ÉϵyË-ÄZt^x ue!ixTx!ispiuox!mue!i0e|opye%w i(uihj~Ã9dfe!op~§spiPt ~ q!~fuw£ue!i0¥bwysspwµ¦opx|mwyq|{!spi sopx!it({!wy!sih Î ÏyÏÄZ~iuopwx cà ^Ð . 0. . . . . . 0. . . . Z. Ωf. −. Z. . . ˙ · vˆf dx ρδu 1 Z ∂φ ∂φ − (u0 , σ(u0 , p0 ))δu + (u0 , σ(u0 , p0 ))δσ(δu, δp) : ∇ˆ v f dx ∂u ∂σ f Ω Z + (∇u0 δxs + δu) · nˆ v2f da γ. Ωf. +. . Z. . φ(u0 , σ(u0 , p0 )) I div δx − (∇δx)T + ∇φ(u0 , σ(u0 , p0 ))δx : ∇ˆ v f dx. γ. XiiÄ. [(∇σ(u0 , p0 )δxs + δσ(δu, δp))n − σ(u0 , p0 )η(δxs )] · (Φtˆ − vˆ1f ) da ¨ + K δs) · tˆ = 0, + (M δs. s ∀(ˆ v f , tˆ) ∈ D(Ω)4 × Rn .. ÉÏkTË. . δσ(δu, δp) = −δp I +2µε(δu),. ε(δu) =. 1 ∇δu + (∇δu)T , 2. ~uKt^x ¥bw%ue!iºspox!iPt^vopÍi ÀZq|o wyx|~uo´uq|uvo©i sptP¦ Ä M tx K ¥bwy%uve!iºspox!iPtopÍi ht~~t^x ~uoÅDx!i~v~w{Dit^uvwyv~}twyq!x Φs Ä$¦e!opKe ¦$i ¦osps(~q!{!{Mwy~viÒ~Ghjh}iuvvo 0. áá ì. .
(47) Ï. ¬ Z¯¾ G¯¾ 6¯²- G ¯v³ "¹(±¶B²-¬¸» £«¯ ±¾®¾p¯K» . . . . .
(48) . . t x {Mwy~vo´uo´©yi iÖZx!o´ui^Ätx η(δx) = − I div δx − (∇δx) n i{!i~vix¢u~Ä'tuÖZ~u wy iÄ!uve!i;©^toIt^uvopwyxw¥"uve!i~q!¥Bt^i0©yiuw −n da à ) uzwyx!s´ i{Dix ~Xwyxuve!i ut^i w¥ δx wx γ ÄZ~ii}Î ^kÐ\à ) x t | ouvopwyxÄ6ue!i%Mwyq!x t2wyx ouvopwyx!~%ÉÏyϵËÄ9wyx!i%¦vo´uvuix=t^umÖZ~u&wy i£ox uihj~fw^¥ (δu, δp, δs) Ä|vi q!i;uvw ˙ − ∇uΦδs, wx γ, δu = Φδs ÉϵyË wyx Γ , δu = 0, wyx Γ . δσn = 0, iiwª©i£wyxue!i}Ö| ci opx¢uvi¥Bt^i γ uve!i~w Pt^spspi uvtx|~v{!ot^uvopwyx Dwq!x t wyx ouowyx!~ºÉb~vii Î ÏyÏyÄϪªÐIËÃÕzi©iuve!isi~~Ä¿ue|i ~iwyx ©ywysq!hjiaox¢uitsXopx ÉÏkTË wyx¢uKt^opx!~ op~uvo!q|uvi uvivh}~ox Ω i{Mix opx!wx δx à ) xawue!i¦$wy ~Ä°ue|irspox!iPt^ ÀZq!o iÇTqZt^uvopwyx|~Äzt~j¥bw}uve!iÒ{Miuq!Di wyx!iÄf~uosps i{Mix wyx ue|i ÀZq!o wyhjtox hjwuvopwyx°Ã ) x%wyx¢ut^~u(¦o´ue%ue|ispox!iPt^vopÍt^uowyx&{Di¥bwyhji opx Î´Ï cÄ!иÄGue!o~ o jq!su Ptx Di;wµ©yiwyh}ire|ivi;¢q!~vox!%t&~vohj{!soÖZi ©yi~vowyxÒw¥ spih}hjt%ÏropxÎ ÏyÏÄM~viuowyx cà ªÐ¸Ã )Ù 2 bÝ Ù Þ Ù
(49) )Ù ' ' Ù ·²§¯v±G» # ·µ·¶$# ¬ ¼M¾´±G»K¯ ¯Z¶ δx ∈ C (Ω ) ± Ò¯v±G» !# ·µ·¶$!# µ·¾ c¶B¬¸· (u , σ(u , p )) ∈ C (Ω ) × f· ' ¶*#Z¯ G¬ ¼M²· ¾p¯ C (Ω ) T. in. out. . f. . . . . . 1. . f 3×3 . 1. §¯m· ¶÷±¬®a¶$#|±¶. . − =. Z. ZΩ. f. γ. . Z. Ωf. . f 3. . . . 0. . φ(u0 , σ(u0 , p0 )) : ∇ˆ v f dx = 0,. 0. 0. 1. f 3. ∀ˆ v f ∈ D(Ωf )4 ,. . φ(u0 , σ(u0 , p0 )) I div δx − (∇δx)T + ∇φ(u0 , σ(u0 , p0 ))δx : ∇ˆ v f dx. [φ(u0 , σ(u0 , p0 ))η(δx) − (∇φ(u0 , σ(u0 , p0 ))δx)n]·ˆ v f da,. ncii;{!wcw¥w¥6spihjhjt%Ï opx Î ÏyÏÄZ~iuvopwyx cýÐ\Ã. ∀ˆ v f ∈ D(Ω)4 .. ÉÏ Ë. Gn q!|uvtuvopx!x!wµ¦ ħ¥bvwh É ÏPkTË-ħue|i sopx!itvoÍi wxT©iui {|vwy!sih É Ï ËÄ(tx ~vopx|i ∂φ = −∂(I σ)+∂(I ⊗u) yw x γ Ħ§i§wy|uKt^opx ueZt^u6ue!i)ÀZq!uqZt^uvopwyx (δu, δp, δs) Ä 1. 2. ßbàáßbâ.
(50) «"¬®°¯v±² ¶¸± ¬®¾ ¬®¶ %±M±¾ ¬ ¬® c¬ ¶B² »¶ c²¯¬®Z¶Â¯²v±G»¶B¬¸· . . . . . Ϫ. . iÖZx|i ¢ ÉÏ yË-Ä|Ö!xZtsps´&~t^uvop~ÖZi~(uve!i¥bwysspwµ¦opx! ©^tvopt^uowyxZtsZsopx!it){!vwy|spih ÉBox i Á {Dix ix¢uXw¥ue!i i Guvix!~opwyxht^{ δx Ë. f . Z. Ωf. ˙ · vˆf dx ρδu 1 Z ∂φ ∂φ (u0 , σ(u0 , p0 ))δu + (u0 , σ(u0 , p0 ))δσ(δu, δp) : ∇ˆ v f dx − ∂u ∂σ f ZΩ ∂φ ∂φ + (u0 , σ(u0 , p0 ))δu + (u0 , σ(u0 , p0 ))δσ(δu, δp) n · vˆf da ∂u ∂σ γ Z + [(∇σ(u0 , p0 )δxs + δσ(δu, δp))n − σ(u0 , p0 )η(δxs )] · (Φtˆ) da γ. ¨ + K δs) · tˆ = 0, + (M δs. s. ∀(ˆ v f , tˆ) ∈ D(Ω)4 × Rn ,. ÉϵyË. wyh}{!spiui ¦o´ueue|i;Mwyq!x t%wyx ouowyx!~ É ÏªyË-à ) x£~q!h}htyÄ^t~ ox%Î ÏyÏyÄ~iuopwx}cà иÄue!i$spopx|iPtopÍPtuopwx;e!t~"Miix£Ptvopi wyq|u"¢ ~vq!|uvtuox!uve!i}~uit vi¥biix!i{!wy!spih Ä$É ÏªyËKÄ tx ue|ijsopx!itvoÍi wyx¢©yiui {!vwy|spihÄÉ Ï ËÄy¥bwyh uve!i{Diuq|vMi {!vwy|spihÄMÉÏP¢Ë-ÄGtx ¢£x!iyspiuvopx! e!oye&wy i uihj~Ã6dfe|op~spox!iPt^vopÍt^uowyxz{!vwµ©Go i~'t(ÀZq!o {|vwy!sih5¦vouuix;ox¿Ö| ci wyxcÖZyq!vt^uowyx ÄMtx uvwuKtssjopx i{Mix ix¢u¿w¥ue!i;i Guvix!~opwyx wy{Dit^uvwyopx!~o i¿uve!i ÀZq!o wyhjtox Ω Ã ) xmt ! ouvopwyx°Äªt~¦§i)eZtP©yi${!vwµ©yi tx oxwyx¢ut^~u'¦ouvertspt~v~opPt^syspox!iPtopÍt^uowyxÄ Ω ue!iXspopx|iPtopÍPtuopwx£{Di¥bwyhji opxth}wµ©cox! wyht^opx}viÇTq!i~uv~(ue!iXopx¢uw q|uowyx}w¥'t ut^x!~v{Mwyuvi {!vw!spih¤ÉÏ Ë-Ä¢ue!t^u¦§izhmq!~u$~q!|uvtu$¥bwyh ue|iz{Miuq!Di wyx|irÉ Ïµ¢Ë-à dfe|i¿©t^voItuopwxZtsZ¥bwyvhrq!sIt^uvopwyx ÉϪË)op~§iÇTq!o©^tsix¢u(uvwmu¦§w&~vq|!{!vw!spihj~fwyq!{!si tspwyx|Xue|i$Ö| ci oxTuvi¥Bti γ Äy~vii0δÏÏyÄ~iuvopwyx}Gà kÐ\à ) x ii Ä¢¢roxTuviyvt^uox!zTr{Ztu~ ¦oue tˆ = 0 Ä!uve!i spox!iPtopÍi ÀZq!o ~vq!!{|vwy!siho~fyo©ix¢ opx Ω , ∂δu ρ + div ρu ⊗ δu + ρδu ⊗ u − δσ(δu, δp) = 0, ∂t opx Ω , div δu = 0, {!vwµ©Go i ¦o´ueMwyq!x t^wyx o´uopwx!~ wyx Γ , δu = 0, wyx Γ , δσ(δu, δp)n = 0, ˙ − ∇u Φδs, wyx γ. δu = Φδs. f f. 0. f. 0. f. in. out. 0. áá ì. .
(51) Ï:. ¬ Z¯¾ G¯¾ 6¯²- G ¯v³ "¹(±¶B²-¬¸» £«¯ ±¾®¾p¯K» . ncoph}opsptvs´yÄ¢¢uKt¨Tox! ¨ + K δs) · tˆ = (M δs. vˆf = 0. Z. γ. . . . .
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