B- Autour de l’oscillateur harmonique

Universit´e Pierre et Marie Curie

M1 PGA & SDUEE Ann´ee 2007–08

Physique quantique appliqu´ ee

Epreuve du 9 novembre 2007 Dur´ee : 2 heures

Aucun document ni calculette autoris´e

A- Le formalisme

Exercice 1

L’espace des ´etats est muni d’une base orthonorm´ee {|u₁i,|u₂i,|u₃i}. On pose |ϕi = (1 +i)|u₁i+|u₂i,|θi=i|u₂i+ (1−i)|u₃i et|ψi=|ϕi+ 2|θi.

1a- Calculer les produits scalaires suivants : hϕ |ϕi, hϕ|θi,hθ |ϕi et hψ |ψi

1b- Les vecteurs|u₁i,|u₂iet|u₃i sont repr´esent´es par les matrices suivantes :|u₁i →



 1 0 0





|u₂i →



 0 1 0



et |u₃i →



 0 0 1





Donner la repr´esentation matricielle des kets |ϕi et |θi et des bras hϕ|et hθ|.

1c- L’op´erateur A est d´efini par les relations A|u1i = a|u2i, A|u2i = a|u1i et A|u3i = a|u₃i o`ua est un nombre r´eel.

Donner la repr´esentation matricielle deAdans la repr´esentation pr´ec´edente. L’op´erateur A est-il hermitique ?

Exprimer le ket A|ϕi en fonction des vecteurs de base |u_ki.

1d- Montrer que les kets |v₁i = ^√1

2(|u₁i+|u₂i), |v₂i = ^√1

2 (|u₁i − |u₂i) et |u₃i sont vecteurs propres de l’op´erateurA.

Quelles sont les valeurs propres associ´ees et leurs degr´es de d´eg´en´erescence ?

Le syst`eme physique est dans l’´etat |θi. Quels sont les r´esultats et les probabilit´es d’une mesure associ´ee `a l’op´erateurA?

B- Autour de l’oscillateur harmonique

Exercice 2 : Evolution temporelle d’un syst`eme

On rappelle les r´esultats suivants concernant l’oscillateur harmonique `a une dimension : Etats propres, normalis´es, de l’´energie : |u_ni, Energie associ´ee : E_n =

n+ 1

2

~ω Relations de r´ecurrence :a|u_ni=√

n|un−1i eta^†|u_ni=√

n+ 1|u_n+1i Op´erateur de position : x= σ

√2 a+a^†

avecσ = r

~ω k =

r

~ mω

A l’instant t = 0 l’oscillateur est dans l’´etat |ψ₀i = cosθ |u₀i+ sinθ |u₁i o`u θ est un angle donn´e.

2a- Donner, sans d´emonstration, le vecteur ´etat, |ψ_ti, `a l’instantt quelconque.

2b- Donner l’expression du bra hψ_t| ainsi que la valeur de hψ_t |ψ_ti.

2c- Donner l’expression de |φi =x|ψ_ti. Donner la valeur de hψ_t|φi; en d´eduire la valeur moyenne hxi= hψ_t|x|ψ_ti

hψt |ψti

2d- Calculer hφ|φi en d´eduire la valeur moyenne de x².

2e- D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’ind´etermination ∆x, sur la variablex.

2f- Pour observer une ´eventuelle perturbation on effectue des mesures de position `a cer- tains instants ”bien choisis”. Quels sont ces instants ? Quel est l’int´erˆet de telles mesures

”stroboscopiques”.

C- Moment cin´ etique

Exercice 3 : Neutron dans un champ magn´etique

On consid`ere une particule neutre de spin 1/2 plong´ee dans un champ magn´etiqueB~ orient´e selon l’axeOz. L’hamiltonien de l’interaction magn´etique s’´ecrit :

H0 =−γBS_z =ωSz

On suppose ω > 0. A l’instantt= 0, le neutron est dans l’´etat :

|φ(0)i= 1

√2(|+i+ |−i)

o`u |+i et |−i d´esignent les ´etats propres de S_z avec les valeurs propres ^~₂ et−^~₂ respective- ment. On donne les matrices de spin dans cette base :

S_x = ~ 2

0 1 1 0

S_y = ~ 2

0 −i i 0

S_z = ~ 2

1 0 0 −1

3a- Calculer les valeurs moyennes des observables S_x, S_y etS_z dans cet ´etat.

3b- Donner |φ(t)i, le vecteur d’´etat du neutron `a l’instant t.

3c- En d´eduire la valeur moyenne deS_x `a l’instantt : hS_xi=hφ(t)|S_x|φ(t)i.

3d- Appliquer le th´eor`eme d’Ehrenfest aux observables Sx, Sy et Sz pour un ´etat |ψ(t)i quelconque. Int´egrer ces ´equations et en d´eduire les lois d’´evolution temporelle des valeurs moyennes de ces observables dans l’´etat |ψ(t)i. On fixera alors les constantes d’int´egration en prenant comme ´etat du syst`eme `at = 0 l’´etat |φ(0)i. Retrouver le r´esultat de la question 3c.

Universit´e Pierre et Marie Curie

M1 PGA & SDUEE Ann´ee 2007–08

Physique quantique appliqu´ ee

Epreuve du 9 novembre 2007 Dur´ee : 2 heures

Aucun document ni calculette autoris´e

A- Le formalisme

Exercice 1

1a- hϕ|ϕi= 3, hϕ|θi=i,hθ |ϕi=−i ethψ |ψi= 15

1b- |ϕi=



 1 +i

1 0



 , |θi=



 0 i 1−i



, hϕ|=

1 −i 0

, hθ|=

0 −i 1 +i

1c-

A=





0 a 0 a 0 0 0 0 a





L’op´erateur A est hermitique car a est r´eel.

A|ϕi=a|u₁i+a(1 +i)|u₂i.

1d- A|v₁i= ^√1

2(A|u₁i+A|u₂i) = ^√a

2 (|u₂i+ |u₁i) =a|v₁i A|v₂i= ^√1

2 (A|u₁i −A|u₂i) = ^√a

2(a|u₂i − |u₁i) =−a|v₂i A|u3i=a|u3i.

Les valeurs propres sonta, de d´egr´e de d´eg´en´erescence ´egal `a deux, et−anon d´eg´en´er´ee.

|θi= ^√i

2 |v₁i − ^√i

2 |v₂i+|u₃i.

r´esultat proba |ψ+i a ⁵₆ ^√i

2 |v₁i+ (1−i)|u₃i

−a 1

6 |v₂i

B- Autour de l’oscillateur harmonique

Exercice 2 : Evolution temporelle d’un syst`eme

2a- |ψ_ti=e^−iE0t/~cosθ |u₀i+e^−iE1t/~sinθ |u₁i avec E₁−E₀ =~ω. On en d´eduit

|ψ_ti=e^−iE0t/~(cosθ |u₀i+e^−iωtsinθ |u₁i). L’´etat du syst`eme peut aussi bien nˆetre d´ecrit par le ket |χi= cosθ |u<sub>0</sub>i+e<sup>−iωt</sup>sinθ |u<sub>1</sub>i qui est proportionnel `a |ψ_ti.

2b- hψ_t|= (hu₀|cosθ+hu₁|sinθe^iωt)e^iE0t/~ En utilisant l’orthonormalisation de la base, il vient hψ_t|ψ_ti= cos²θ+ sin²θ = 1 . La norme est ind´ependante du temps !

2c- |φi = x|ψ_ti = σ

√2 a+a^†

e^−iE0t/~(cosθ |u₀i+e^−iωtsinθ |u₁i)

. Les relations de r´ecurrence donnent

|φi= σ

√2e^−iE0t/~ e^−iωtsinθ|u₀i+ cosθ |u₁i+√

2e^−iωtsinθ |u₂i hψt |φi= σ

√2(e^−iωtsinθ cosθ+ sinθ cosθ e^iωt) hψt|φi= σ

√2sin (2θ) cos (ωt) =hxi

2d- hφ|=hψ_t|x car x^† =x. On en d´eduit hφ|φi=hx²i= σ²

2 3 sin²θ+ cos²θ 2e- ∆x=

q

hx²i − hxi² d’o`u ∆x² = σ²

2 3 sin²θ+ cos²θ

− σ²

2 sin²2θ cos²ωt

∆x= σ

√2

p1 + 2 sin²θ−sin²2θ×cos²ωt

2f- La d´etermination de la position est maximale pour ∆x minimal soit ωt = N π o`u N ∈N. Les meilleurs instants pour faire la mesure sont tN = N π

ω Dans ces conditions on a ∆x= ∆x_mini= σ

√2

p1 + 2 sin²θ−sin²2θ

La valeur deθpeut ˆetre choisie de telle sorte que ∆x_minisoit minimal (θ =±π

6+N π).Dans ces conditions il vient ∆x_mini ∼0,6 σ tandis que le casθ =π/2 conduit `a doubler ∆x

C- Moment cin´ etique

Exercice 3 : Neutron dans un champ magn´etique 3a-

hS_xi=hφ(0)|S_x|φ(0)i= 1

2[h+|+h−|] [S_x |+i+S_x |−i] = ~

4[h+|+h−|] [|−i+|+i]

hS_xi= ~

4(h+|+i+h+|−i+h−|+i+h−|−i) = ~

4(1 + 0 + 0 + 1) = ~ 2

hSyi=hφ(0)|Sy|φ(0)i= 1

2[h+|+h−|] [Sy |+i+Sy |−i] = ~

4[h+|+h−|] [−i|−i+i|+i]

hS_yi= i~

4 (h+|+i − h+|−i+h−|+i − h−|−i) = i~

4 (1−0 + 0−1) = 0 hS_zi=hφ(0)|S_z|φ(0)i= 1

2[h+|+h−|] [S_z |+i+S_z |−i] = ~

4[h+|+h−|] [|+i − |−i]

hS_zi= i~

4 (h+|+i − h+|−i+h−|+i − h−|−i) = i~

4 (1−0 + 0−1) = 0

3b- |+i est vecteur propre de H d’´energie propre E₊ = ^~ω₂ .

|−i est vecteur propre deH d’´energie propre E₋ =−^~ω₂ . Donc :

|φ(t)i= 1

√2e^−iωt2 |+i+ 1

√2e^iωt2 |−i 3c-

hS_xi_t = hφ(t)|S_x|φ(t)i

= 1 2

h

e^iωt2 h+|+e^−iωt2 h−|i h

e^−iωt2 Sx |+i+e^iωt2 Sx |−ii

= ~ 4

h

e^iωt2 h+|+e^−iωt2 h−|i h

e^−iωt2 |−i+e^iωt2 |+ii

= ~

4 e^iωt+e^−iωt

= ~ 2cosωt 3d-

dhSxi dt = 1

i~h[S_x, H]i+ dSx

dt

= ω

i~h[S_x, S_z]i=−ωhS_yi dhS_yi

dt = 1

i~h[S_y, H]i+ dS_y

dt

= ω

i~h[S_y, S_z]i=ωhS_xi dhS_zi

dt = 1

i~h[S_z, H]i+ dS_z

dt

= ω

i~h[S_z, S_z]i= 0 On obtient l’´equation :

d²hS_xi

dt² +ω²hS_xi= 0 dont la solution g´en´erale est :

hS_xi_t=Acosωt+Bsinωt

Dans le cas particulier ou le syst`eme est dans l’´etat |φ(0)i`a l’instantt= 0 on a les conditions limites :

A=hS_xi_t=0 = ~ 2 et

hS_yi_t=0 = 0 =−1 ω

dhSxi dt

t=0

=−B Donc on retrouve bien :

hS_xi_t= ~ 2cosωt