Les grandes structures

Chapitre 3

Les grandes structures

L’étude des grands ensembles de nombres, au chapitre 2, a souligné l’importance des pro- priétés-clés de certains d’entre eux :Zse différencie deNpar l’existence d’un neutre additif pour chacun de ses éléments,Rse différencie deQpar l’existence d’un supremum pour tout sous-ensemble non vide borné supérieurement, etc. Cet exercice d’identifier les propriétés- clés est crucial : il permet de savoir si un énoncé est vrai pour tel ensemble ou tel ensemble de nombres. Un exemple a été donné pour l’énoncé « une matrice dont les élément sont dans Epeut toujours être échelonnée jusqu’à une forme réduite dont les éléments sont dansE».

Cet énoncé est faux si l’ensembleEestNouZ, mais il est vrai pourQ,RetC. De plus, il et vrai pourE= Zpsi et seulement sipest un nombre premier. Décider pour quel ensembleE l’échelonnage est (toujours) possible consiste à reconnaître que l’échelonnage requiert l’exis- tence des opérations d’addition et de multiplication et l’existence d’inverses additif et mul- tiplicatif pour tous les éléments deE. Un autre exemple, provenant également de l’algèbre linéaire, est celui de la diagonalisation. Plusieurs opérations interviennent dans l’algorithme de diagonalisation :(i)calcul du déterminant d’une matrice dépendant d’une variable,(ii)ex- traction des racines de ce polynôme,(iii)solution de plusieurs systèmes linéaires pour trouver les sous-espaces propres. Les étapes(i)et(iii)requièrent les opérations élémentaires+et⇥sur l’ensemble où les opérations sont faites, ainsi que l’existence des inverses pour(iii). Comme nous le verrons, ces deux étapes demandent que l’ensemble de nombres soit un corps. L’étape (ii)ne peut être accomplie que si toutes les racines du polynôme appartiennent à l’ensemble de nombres considéré. Un seul ensemble construit au chapitre 2 possède cette propriété : c’est le corpsC.

C’est au XIXe siècle que les mathématiciens ont commencé à reconnaître l’utilité de clas- ser les paires(E,⇤) oùE est un ensemble et⇤ une opération binaire surE, c’est-à-dire que cette opération associe à une paire d’éléments e etf deE un autre élément deE, habituel- lement notée⇤f. Cette classification se fait en donnant à la paire(E,⇤)un nom (monoïde, groupe, anneau, corps, module, algèbre, espace vectoriel, ...) selon les propriétés que possède l’opération⇤: existence d’un neutre, d’inverses, associativité et, si il y a plus d’une opération comme pour un triplet(E,~,⌦), la distributivité de⌦sur~. Ce chapitre introduit trois des

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plus grandes structures définies par les mathématiciens : groupe, anneau et corps. Ces dé- finitions sont abstraites et les mathématiciens se réjouissent de pouvoir les reconnaître dans leurs travaux. Heureusement les exemples concrets abondent ! En fait plusieurs sont utilisés depuis l’école secondaire sans s’en apercevoir. Espérons donc que ce chapitre vous permettra de répéter (une variation de) l’exclamation de Monsieur Jourdain :

Par ma foi ! il y a plus de quarante ans que je dis de la prose sans que j’en susse rien, et je vous suis le plus obligé du monde de m’avoir appris cela.

Le bourgeois gentilhomme, Molière.

3.1 Opérations unaire et binaire

Cette section introduit les opérationsunaireetbinaire. Le concept d’opérations mathéma- tiques est tellement élémentaire et intuitif qu’on est en droit de se demander s’il faut le forma- liser. Cependant, malgré sa simplicité, cette section montrera que ce concept est omniprésent en mathématiques.

Nous utiliserons plusieurs concepts bien maîtrisés et reverrons plusieursopérations bien connues :

Rappel

• fonction ;

• les ensembles de nombresN,Z,Q,R,CetZm;

• les matricesn⇥net les opérations sur ces matrices ;

• les opérations sur les ensembles.

Définition 15. SoitEun ensemble non vide. Une opérationunairefsurEest une fonction deEdans E; on écrit alorsf:E!E. Une opérationbinairegsurEest une fonction du produit cartésienE⇥E dansE:g:E⇥E!E.

Ainsi une opération unaire surEassocie à un élément edeEun autre élémente⁰ de E. Comme les exemples ci-dessous le montrerons, l’application d’une opération unaire n’est pas toujours notée sous la formee⁰ = f(e). Une opération binaire associe à une paire d’éléments (e, e⁰)du produit cartésienE⇥Eun élément deE. Une opération binaire est parfois appelée uneloi de composition interne.

Exemple 10. Voici des exemples et contre-exemples, tout d’abord pour les opérations unaires.

(i) Prendre l’inverse additif d’un entier relatif est une opération unaire ; l’ensembleEde la définition est alors l’ensemble de nombresZet l’opération est la multiplication par-1. L’opération est habituellement notée parn7!-n.

(ii) Prendre l’inverse multiplicatif d’un nombre rationnel non nul est aussi une opération unaire.

Dans ce casEest l’ensembleQ\ {0}et l’opération est notéeq7!q^-1ou encoreq7! q¹.

(iii) si, dans l’exemple précédent, l’ensemble était plutôtQ(en entier), alors l’opération ne serait pas une opération unaire, car elle ne serait pas définie sur l’entier0. En d’autres mots, l’opération

« ^-1» ne serait pas une fonction, car elle n’est pas définie sur tout le domaineQ.

(iv) SoitEl’ensemble de tous les sous-ensembles deZ. Donc{1},{-4,-3,-2,-1, 0},;et le sous- ensemble des nombres pairs sont tous des éléments deE. Rappelons que le complément d’un sous-ensembleF deZ est le sous-ensembleF^c contenant tous les éléments deZqui n’appar- tiennent àF. SurE, l’opération de prendre le complémentF7!F^cest une opération unaire.

(v) SoitR^n⇥n l’ensemble de toutes les matricesn⇥ndont les éléments sont des nombres réels.

Prendre la transposée d’une matriceM2R^n⇥nest une opération unaire.

(vi) Les éléments de l’ensembleZ3sont les trois sous-ensembles des entiers relatifs0 = {. . . ,-6, -3, 0, 3, 6, . . .},1={. . . ,-5,-2, 1, 4, 7, . . .}et2={. . . ,-7,-4,-1, 2, 5, . . .}. Soit l’opération qui associe à un entiern2Zsa classe d’équivalencen2Z3. Cette opération envoie un élément de l’ensembleZsur un élément d’un autreensemble (l’ensemble Z3). Pour cette raison, cette opérationn’est pasunaire.

(vii) SoitT l’ensemble des triangles dans le plan. L’opération consistant à associer à un triangle de T celui obtenu en joignant les points milieux de ses trois côtés est une opération unaire.

Exemple 11. Et maintenant des (contre-)exemples d’opérations binaires.

(viii) L’addition surZest une opération binaire. Elle prend la paire(m, n)2Z⇥Zet lui associe le résultat de la sommem+nqui est aussi un élément deZ.

(ix) La division surQ, qui associe à la paire(p, q)le quotient _q^p,n’est pasune opération binaire, car l’opération n’est pas définie pour la paire(p, 0). Mais la division est une opération binaire sur l’ensembleQ\ {0}.

(x) La multiplication matricielle sur l’ensembleR^n⇥nest une opération binaire. Elle associe la paire (L, M)2R^n⇥n⇥R^n⇥nla matriceL·M2R^n⇥n.

(xi) Soit El’ensemble des sous-ensembles de {a, b, c}suivants :E = {{a},{b},{c},{a, b},{a, c}, {b, c},{a, b, c}}. Sur cet ensembleE, l’opération union[est une opération binaire. Elle associe à la paire(F, G)leur unionF[Get, quelque soit le choix d’élémentsFetG2E, le résultat de l’unionE[Fest toujours dansE.

(xii) Quoique les notions d’opérations unaire et binaire soient intuitives, il faut parfois être vi- gilant : certaines opérations ne sont pas toujours bien définies. Soit l’ensembleD des droites passant par l’origine et soit l’opération consistant à associer à une paire de droitesd₁etd₂2D leur bissectrice. La bissectrice des deux droitesd₁etd₂est une droite passant par l’origine et c’est donc un élément deD. Mais cette opération n’est pas une opération binaire, car toute paire de droites distinctesd1etd2 définit deux bissectrices, l’une étant à angle droit par rapport à l’autre. Donc cette opération est en fait mal définie. (Noter que la définition ne dit pas non plus quoi faire si les deux élémentsd1 etd2 coïncident.) Une difficulté semblable se produit pour l’opération qui associe à un nombre complexe sa racine carrée : ceci n’est pas une opération unaire, car tout nombre complexe possède deux racines carrées (sauf le nombre0) et l’opéra- tion est aussi mal définie. Prendre la racine carrée d’un nombre complexe n’est donc pas une opération unaire.

Les propriétés usuelles de l’addition et de la multiplication sont bien connues : l’existence du neutre et des inverses (dans certains des ensembles de nombres), l’associativité, la distribu- tivité et la commutativité. Étant donné la généralité des opérations binaires décrites ci-dessous, il est peut-être utile de définir formellement ces propriétés.

Définition 16. Soit(E,⇤)un ensemble muni d’une opération binaire⇤:E⇥E!E.

(N) Unélément neutre(ou simplement unneutre) pour l’opération⇤est un élémente2 Etel quea⇤e = e⇤a= apour tout élémenta2 E. Si un neutre existe pour⇤, on dit alors que l’opération⇤possède un neutre.

(I) Si l’opération⇤possède un neutree, un élémentb2Eest dit l’inverse deapour l’opération

⇤(ou simplement l’inversedea) sia⇤b=b⇤a=e. L’opération⇤possède la propriété(I)si tout élément deEpossède un inverse.

(A) L’opération⇤est diteassociativesi, pour tout triplet d’élémentsa, b, c2E, l’égalité suivante est satisfaite :(a⇤b)⇤c=a⇤(b⇤c).

(C) L’opération⇤est ditecommutativesi, pour toute paire d’élémentsa, b2E, l’égalité suivante est satisfaite :a⇤b=b⇤a.

Soit(E, ,⌦)un ensemble muni de deux opérations binaires et⌦.

(D) L’opération⌦est ditedistributive sur l’opération si, pour tout triplet d’élémentsa, b, c2 E, les égalités suivantes sont satisfaites :

a⌦(b c) = (a⌦b) (a⌦c) et (a b)⌦c= (a⌦c) (b⌦c).

Exemple 12. Il est utile de donner un exemple de ces définitions qui s’écartent des opérations bi- naires pour lesquelles ces propriétés ont été introduites. SoitEl’ensemble{{a},{b},{c},{a, b},{a, c}, {b, c},{a, b, c}}introduit à l’exemple(xi)ci-dessus. Soit[l’opération binaire « union ». L’opération[ ne possède pasde neutre dansE. Elle est cependant commutative :F[G =G[Fpour toute paire d’élémentsF, G2E. Elle est également associative :(F[G)[H=F[(G[H)pour toutF, G, H2E.

Il est intéressant de noter que, si l’ensemble vide{ }est ajouté à l’ensembleE E⁰= { },{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} ,

alors(E⁰,[)possède un élément neutre qui est cet ensemble vide. En effet,F[{ }={ }[F =Fpour toutF2E⁰. Malgré l’existence d’un neutre, aucun élément deE⁰ ne possède d’inverse (sauf l’élément neutre lui-même !).

EXERCICES

1. Déterminer si les opérations suivantes sont unaires sur les ensembles proposés.

(a) La multiplication par2sur les entiersZ:n7!2n.

(b) La division par7sur les rationnelsQ:q7! ^q7.

(c) L’opération « prendre l’inverse » sur l’ensemble des matricesn⇥nréelles :M7!M^-1. (d) La fonctionsin:R!R. (Dans ce cas l’ensemble estR.)

(e) Même question pour la fonction tan:R!R(et le même ensemble).

(f) L’opération consistant à tourner une droite d’un angle de ^⇡₄ dans le sens anti-horaire (au- tour de l’origine) sur l’ensembleDdes droites du plan passant par l’origine.

2. Déterminer si les opérations suivantes sont binaires sur les ensembles proposés.

(a) L’opération exp:N⇥N!Nqui associe à la paire d’entiers(m, n)le nombremⁿ. (b) La soustraction surZ.

(c) L’opération « produit vectoriel » sur l’ensemble des vecteurs deR³:(~u,~v)7!~u⇥~v.

(d) Le produit défini surZ6\ {0}. (La table de multiplication se trouve à la section 2.3.) (e) L’opération intersection\sur l’ensemble { },{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} . (f) L’opération « composition de fonctions » surC l’ensemble des fonctions deRdansR. (Par exemple les fonctions exp et sin sont des éléments deC.) Ainsi associe à la paire(f, g) leur compositionf g.

3. Quelles propriétés, parmi celles de la définition 16, sont satisfaites par les opérations définies sur les ensembles suivants ?

(a) L’exponentiation(m, n)7!mⁿsur l’ensembleN.

(b) L’opérationx~ydéfinie pourx, y2Rparx~y=x+y-xy.

(c) L’opération multiplication surZ6.

(d) L’opération union[sur l’ensembleSde tous les sous-ensembles deZ.

4. Lesquaternionsont été introduits parHamilton¹. Soit l’ensemble Q={1,-1, i,-i, j,-j, k,-j}

muni de l’opération «·» définie par

1·a=a·1=a, pour touta2Q, (-1)·(-1) =1, (-1)·a=a·(-1) =-a, pour touta2Q,

i·i=j·j=k·k=-1

1. Sir William Rowan Hamilton (1805–1865) est un mathématicien, physicien et astronome irlandais. Outre les quaternions (un résultat d’algèbre pur), on lui doit des travaux en optique et en mécanique (le principe variationnel à la base de la mécanique classique).

et

i·j=k, j·i=-k j·k=i, k·j= -i k·i=j, i·k= -j Déterminer si·surQpossède les propriétés (N), (I), (A) et (C).

5. Les octaves deCayley²(octonionsen anglais) forment une algèbre. (Nous ne définirons pas la structure d’algèbre et, pour cela, nous devrons légèrement altérer la définition des octaves.) Soit O l’ensemble des seize éléments

{e0, e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7} muni d’une loi de composition interne défi- nie comme suit. L’élément e₀ est un neutre (e0⇥e_i = e_i⇥e₀ = e_ipour touti) ; l’élémentf₀ transforme leseenfet lesfene:

f₀⇥e_i=e_i⇥f₀=f_i et f₀⇥f_i=f_i⇥f₀=e_i. 3 5 6 1

2 7

4

À cause de ces propriétés, il est plus facile d’écrire1poure0et-1pourf0. Alors l’ensemble Odevient

O={e₀=1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, e₇,

f0=-1, f1=-e1, f2=-e2, f3=-e3, f4=-e4, f5=-e5, f6=-e6, f7=-e7}.

Le reste de la loi de composition est capturée par le diagramme ci-dessus. Les éléments sur une droite, telle3!4!7, doivent être complétés par une flèche reliant le dernier élément au premier, comme dans3!4!7!3. Le cycle2!5!7!2suit les mêmes règles et ce cycle est aussi appelé une « droite ». Le cycle3!4 !7!3indique le résultat de la composition de deux éléments de typee, voisins sur cette droite ; par exemple

e₃⇥e₄=e₇, e₄⇥e₇=e₃ et e₇⇥e₃=e₄.

Le même cycle indique le produit de deux éléments voisins, mais dans l’ordre inverse. Alors le résultat change de signe comme dans

e4⇥e3=-e7=f7, e7⇥e4=-e3=f3 et e3⇥e7=-e4=f4.

Le produit d’uneavec unfou de deuxfest obtenu en utilisant l’expression desfen termes dese. Par exemple

e4⇥f3=e4⇥(-e3) =-(-e7) =e7 et f3⇥f7= (-e3)⇥(-e7) = (-1)²e3⇥e7=-e4=f4. Ces règles, avece²_i =-e0 =f0, i 1, déterminent alors complètement la loi de composition des octaves. Déterminer si⇥surOpossède les propriétés (N), (I), (A) et (C).

2. Arthur Cayley (1821–1895) est un des fondateurs de l’école britannique de mathématiques pures. On lui doit le théorème de Cayley-Hamilton en algèbre linéaire (toute matrice est annulée par son polynôme caractéristique) et il fut un des premiers à identifier les propriétés importantes qui deviendront celles de la structure de groupe.

3.2 Groupe, anneau et corps

Voici, sans plus attendre, la définition des trois structures les plus importantes en mathé- matiques. Plusieurs exemples étaieront ces définitions ; de nombreux seront pris parmi les ensembles de nombres construits au chapitre 2 et de nouveaux seront introduits.

Rappel

• les ensemblesN,Z,Q,R,C,Zmet les opérations+et⇥sur ces ensembles.

La structure de groupe a été introduite à la section 2.2. La voici à nouveau :

Définition 17. Un ensembleEmuni d’une opération binaire⇤ : E⇥E ! Eest ungroupe si les propriétés suivantes sont satisfaites :

(G1) associativité :(a⇤b)⇤c=a⇤(b⇤c);

(G2) existence d’un neutre : il existe un élémente2Etel quee⇤a=a⇤e=a;

(G3) existence d’un inverse : pour touta2E, il existe un élémenta⁰ 2Etel quea⇤a⁰ =a⁰⇤a=e pour touta, b, c2E. On note le groupe(E,⇤)ou parfois simplementE.

Si l’opération binaire satisfait de plus

(C) commutativité :a⇤b=b⇤apour toutaetb2E,

alors le groupe est ditabélienoucommutatif. Si non, il est dit non abélien.

Un groupe est donc un ensemble muni d’une loi de composition interne. Cette loi possède toujours un neutre, un inverse pour tous les éléments de l’ensemble et elle est associative.

Évidemment plusieurs ensembles de nombres sont des groupes pour l’addition. Mais il y a plusieurs autres exemples de groupes en mathématiques. Nous en donnerons des exemples à l’instant.

La structure d’anneau n’a pas été encore introduite. La voici.

Définition 18. Un ensembleEmuni de deux opérations binaires :E⇥E!Eet~:E⇥E!Eest unanneausi les propriétés suivantes sont satisfaites :

(A1) la paire(E, )est un groupe abélien ;

(A2) l’opération~est associative :a~(b~c) = (a~b)~cet (A3) ~est distributive sur :

a~(b c) = (a~b) (a~c) et (b c)~a= (b~a) (c~a) pour touta, betc2E. Si, de plus, l’opération~satisfait

(A4) existence d’un neutre1E:1E~a=a~1E=apour touta2E, alors l’anneau est dit unifère.

Ainsi un anneau possède deux opérations (habituellement appelée l’additionde l’anneau E) et~(appelée lamultiplication). Les contraintes sur cette dernière opération sont assez mo- destes : l’associativité et la distributivité sur l’addition.

La dernière structure décrit aussi un ensemble muni de deux opérations. Mais les contraintes sur la seconde opération sont beaucoup plus exigeantes. Nous l’avons déjà rencontré à la sec- tion 2.3 du chapitre 2.

Définition 19. Un ensembleEmuni de deux opérations binaires :E⇥E!Eet~:E⇥E!Eest uncorpssi les propriétés suivantes sont satisfaites :

(C1) la paire(E, )est un groupe abélien de neutre0_E; (C2) la paire(E\ {0_E},~)est un groupe abélien et

(C3) l’opération~est distributive sur :a~(b c) = (a~b) (a~c)pour touta, betc2E. Notons que, puisque le neutre0_Epour l’opération est retiré du groupe abélien(E\{0E},~), le neutre de ce dernier groupe est forcément distinct de0E. Clairement la condition (C2) requiert que~soit associative et qu’elle possède un neutre1Epour~. Donc tout corps est un anneau unifère. Mais nous verrons que beaucoup d’anneaux ne sont pas des corps.

Il est difficile d’apprendre ces définitions. Après tout, le nom de ces structures est complè- tement arbitraire ! Pourquoi pas les mots « famille, tribu, nation » ? ! (Remarquez que les mots mathématiques sont souvent étranges : extraire une racine, les nombres imaginaires, la dériva- tion et l’intégration, etc.) Le tableau suivant sera peut-être utile. Les mots anglais pour groupe,

~sur ~

(asso) 0E (inverse) (distri) (asso) 1E (inverse)

groupe X X X

anneau X X X X X

corps X X X X X X X

anneau et corps sontgroup,ringetfield.

Des exemples de la structure de groupe —Il est grand temps de donner des exemples, même si plusieurs ont déjà été donnés.

La proposition 11 du chapitre 2 a montré que(Zⁿ,+)est un groupe abélien. Cette pro- priété est vraie quelque soitn 2. Les tables d’addition (ou de la loi de composition) de Z2,Z3etZ6 ont été données dans la section 2.3. (Rappelons que(Zm\ {0},⇥)n’est pas tou- jours un groupe. (Voir la proposition 13 du chapitre 2.) Nous y reviendrons ci-dessous.) Le groupe(Zn,+)contientnéléments :{0, 1, 2, . . . , n-1}. Un groupe qui contient un nombre fini d’éléments est ungroupe fini. Si non, le groupe est ditinfini. Le nombre d’éléments d’un groupe est appelé l’ordre du groupeet est noté|G|.

Il aisé de donner un exemple d’un groupe infini. Les groupes(Z,+),(Q,+),(R,+)et(C,+) sont tous des groupes abéliens infinis.

Tous ces exemples de groupe étaient des ensembles de nombres. Voici donc maintenant un exemple qui sort de cette famille. SoitQ^n⇥n l’ensemble des matricesn⇥ndont les éléments de matrice sont des nombres rationnels. Sur cet ensemble, l’addition est définie comme d’ha- bitude : siMetNsont des matricesn⇥n, alorsM+Nest la matrice dont l’élémentijest la somme des élémentsijdeMetN:(M+N)ij =M_ij+N_ij. La paire(Q^n⇥n,+)est un groupe

abélien infini. L’élément neutre est la matrice nulle0(n⇥n) et l’inverse deMest la matrice -M. Finalement l’addition de matrices est associative.

Exemple 13. Mais, ciel ! que doit-on faire, étant donné un ensembleEet une loi de composition⇤sur E, pour déterminer si(E,⇤)est un groupe ? ! Il suffit d’accomplir les étapes suivantes :

(1) vérifier que la composition de deux éléments de Edemeure dansE (⇤doit être une opération binaire !) ;

(2) trouver le neutre pour l’opération ;

(3) trouver l’inverse d’un élément général deE(et montrer que cet inverse appartient àE) et (4) vérifier l’associativité.

Les étapes (1) et (3) semblent inutiles, mais elles ne le sont pas ! Par exemple, même si l’inverse additif de2existe (c’est-22Z), cet inverse n’est pas dansN. Ainsi(N,+)n’est pasun groupe additif (car (3) n’est pas vérifiée dansN), mais(Z,+)en est un.

Appliquons cette « méthode » à la paire suivante. L’ensemble à étudier sera GL(n,Q) = {M 2 Q^n⇥n| detM6=0}, c’est-à-dire l’ensemble des matricesn⇥navec des éléments matriciels rationnels qui sont de déterminant non nul. (La notationGL(n,Q)est souvent employée en mathématiques ; leG et leLsignifient « général » et « linéaire » (pour transformation linéaire inversible).) L’opération binaire sur cet ensemble sera simplement la multiplication matricielle que nous noterons «·».

L’étape (1) consiste à s’assurer que le produit de deux matrices rationnellesn⇥ndont le déterminant est non nul donne une matrice rationnelle dont le déterminant est non nul. Que les éléments de matrice du produit soient rationnels est assez évident. (Exercice : vous en convaincre !) Et, puisquedet(M·N) = detM·detN, le déterminant du produit sera non nul si et seulement si les déterminants deMetN sont les deux non nuls. Donc (1) est vérifiée.

L’étape (2) est aisée : quelle est la matrice dont le produit avec n’importe quelle matriceMredonne M? C’est la matrice identitén⇥nI dont le déterminant estdetI=1. DoncIappartient àGL(n,Q) et l’ensemble possède un neutre pour l’opération proposée.

L’étape (3) doit montrer que tout élément M de l’ensembleGL(n,Q) est inversible et l’inverse appartient à l’ensemble. Que l’inverse existe est assuré par le fait que le déterminant deMest non nul. Est-ceM^-1appartient àGL(n,Q)? Le déterminant deM^-1est1/detMet est donc non nul.

Finalement l’algorithme qui consiste à obtenir l’inverse en échelonnant la matrice(M|I)(qui estn⇥ (2n)) jusqu’à (I|M^-1) produira une matrice M^-1 dont les éléments de matrice sont eux-mêmes rationnels. (L’échellonage d’une matrice rationnelle demeure à chaque étape rationnelle.) Donc l’inverse deM2GL(n,Q)est dansGL(n,Q).

Finalement l’étape (4) a été montrée dans le cours d’algèbre linéaire : le produit matriciel est asso- ciatif.

AinsiGL(n,Q)est un groupe. Il est infini (car il y a une infinité de matrices rationnellesn⇥n) et non abélien (car le produit matriciel est (en général) non commutatif sin 2). Noter que l’énoncé

«GL(n,Q)est un groupe » est vrai pour toutn 1 et donc lesGL(n,Q)forment une famille de groupes étiquetée parn. (Le groupeGL(1,Q)est abélien, puisque une matrice 1⇥1 telle(q)avec q 2 Q se comporte exactement comme le nombreq 2 Q. On dit que les groupes (GL(1,Q),·) et

(Q\ {0},⇥)sontisomorphes.)

La section 3.3 introduit deux groupes importants qui sont à la base de la géométrie eucli- dienn.

Des exemples de la structure d’anneau —Un anneau est la structure la plus rudimentaire faisant intervenir deux lois de composition. Ces deux lois de composition ne peuvent pas être définies indépendamment l’une de l’autre puisque la seconde doit être distributive sur la première. Puisque la distributivité est une propriété avec laquelle nous somme familiers depuis le secondaire, il est facile d’oublier que ce n’est pas une propriété évidente.

Le premier exemple de structure d’anneau provient à nouveau de la section 2.3 du cha- pitre 2 : les opérations addition et multiplication modulo un entiern(avecn 2) y ont été introduites. L’addition de deux éléments deZⁿest simplementa+b=a+b. La section 2.3 a montré que+est associative, que0est le neutre et que tout élémentapossède un inverse addi- tif (cet inverse est(-a)2Zn). Donc(Zn,+)est un groupe (abélien). Même si tous les éléments deZn ont un inverse additif, il n’en est pas de même de l’existence d’inverses multiplicatifs.

Par exemple, la table de multiplication deZ6(voir section 2.3) montre que les éléments2, 3et 4n’ont pas d’inverse multiplicatif. Seuls1et5sont inversibles :1⇥1 =1et5⇥5= 1. Donc (Z⁶,⇥)n’est pasun groupe. Cependant la multiplication⇥est associative puisque, pour tout a, betc2Z:

a⇥(b⇥c) =a⇥(b⇥c) =a⇥(b⇥c) = (a⇥b)⇥c= (a⇥b)⇥c= (a⇥b)⇥c où la troisième égalité découle de l’associativité de la multiplication dansZ. De même la dis- tributivité de⇥sur+tient dans lesZnpour toutn 2:

a⇥(b+c) =a⇥b+c=a⇥(b+c) = (a⇥b) + (a⇥c) =a⇥b+a⇥c= (a⇥b) + (a⇥c) où c’est maintenant la distributivité dansZqui prouve la troisième égalité. Ainsi, même si les inverses multiplicatifs n’existent pas toujours, la multiplication de Zⁿest associative et dis- tributive sur l’addition. Finalement l’élément 1 est un neutre pour la multiplication. Donc (Zn,+,⇥)est un anneau unifère.

Les ensemblesZⁿcontiennent un nombre fini d’éléments (=n). Voici maintenant un exem- ple d’anneau qui est infini. Il s’agit de l’ensembleR^n⇥n des matricesn⇥nréelles muni de l’addition et de la multiplication matricielles. Pratiquement toutes les propriétés requises ont été montrées dans le cours d’algèbre linéaire. Pour l’addition, la matrice nulle0est le neutre et l’inverse de la matriceMest la matrice-M(obtenue en changeant le signe de chacun des éléments de matrice deM). Finalement l’addition matricielle est associative. L’associativité de la multiplication matricielle (qui est non triviale !) et la distributivité sont connues (par le cours d’algèbre linéaire). Notons que la matrice identitéIest le neutre pour la multiplication est(R^n⇥n,+,⇥)est un anneau unifère.

Un polynôme p est une fonction dont la valeur en x est de la forme p(x) = a_nxⁿ + an-1x^n-1+· · ·+a₁x¹+a₀. Le plus grand npour lequel a_n est non nul est appelé lede- gré du polynômeet les nombresa₀, a₁, . . . , a_n-1, a_nsont lescoefficientsdu polynôme. SoitQ[x]

l’ensemble de tous les polynômes dont les coefficients sont des nombres rationnels. Ainsi 7x+1

2, x³-x²+x-1, 29

58x⁹³⁸-928765

12387 , x²-4 et 1 et 0

sont tous des éléments deQ[x]. Il est aisé de voir que l’ensemble Q[x] contient un nombre infini d’éléments : déjà les polynômes constants (pour lesquels tous lesaiaveci 1sont nuls) sont en nombre infini puisqu’ils sont en bijection avec les éléments deQ(le le seul coefficient à fixer est alors a₀ qui peut être n’importe quel élément deQ). Notons que les polynômes n_a(x) =0etn_m(x) =1sont deux de ces polynômes constants. Le premier, évalué en n’importe quelx, donne toujours0, alors que n’importe quelle évaluation du second donne toujours1.

Il faut enfin souligner que les séries infinies ne sont pas des éléments deQ[x]; par exemple 1+x+x²+x³+. . . n’est pas un élément puisque ce n’est pas un polynôme (cette série n’a pas de degré !). AinsiQ[n]contient les polynômes de tout degré, aussi grand qu’il soit, mais ce degré doit être un entier positif ou nul.

Sur cet ensemble, il est facile de définir les deux opérations addition et multiplication. Soit p(x) =anxⁿ+an-1x^n-1+· · ·+a1x¹+a0etq(x) =bmx^m+bm-1x^m-1+· · ·+b1x¹+b0deux éléments deQ[x] de degrénet mrespectivement. Supposons sans perte de généralité que n m. Le polynômeq(x)peut également être écrit sous la formeq(x) =bnxⁿ+bn-1x^n-1+

· · ·+b1x¹+b0où tous lesbiaveci > msont nuls. L’addition depetqdansQ[x]est alors définie par

(p+q)(x) = (an+bn)xⁿ+ (an-1+bn-1)x^n-1+· · ·+ (a1+b1)x¹+ (a0+b0).

La somme p+q est donc un polynôme de degré ndonc les coefficients sont les nombres rationnels ai+bi pour 0  i  n. Cette somme est donc elle-même un élément deQ[x], comme il se doit. La multiplication depetqest définie par

p(x)·q(x) = (anxⁿ+an-1x^n-1+· · ·+a1x¹+a0)·(bmx^m+bm-1x^m-1+· · ·+b1x¹+b0)

=a_nb_mx^n+m+ (an-1b_m+a_nb_m-1)x^n+m-1 + (an-2bm+an-1bm-1+anbm-2)x^n+m-2

· · ·+ (a2b₀+a₁b₁+a₀b₂)x²+ (a1b₀+a₀b₁)x¹+a₀b₀.

Si cette définition vous semble compliquée, vous devriez écrire le produit des deux polynômes P(x) =a₃x³+a₂x²+a₁x²+a₀etQ(x) = b₂x²+b₁x¹+b₀. La forme que vous obtiendrez en rassemblant les coefficients multipliant une puissance donnée dexsera la longue formule ci-dessus pour le cas particulier den=3etm= 2. Comme nous l’avons vu pour l’addition, il est toujours possible d’ajouter des coefficients (nuls) à un polynôme de degrémpour que sa forme contienne tous les termesbnxⁿavecn m. L’expression suivante, plus compacte, donne cette même multiplication pour deux polynômes de même degrén:

p(x)·q(x) = X2n

i=0

⇣ xⁱ

Xi

j=0

ai-jbj

⌘

. (?)

Puisquepetqsont de degrén, leur produit sera un polynôme de degré2n; c’est pour cela que la somme suriva jusqu’à2n. Le coefficient duxⁱest la somme(aib₀+a_i-1b₁+· · ·+a₁b_i-1+

a₀b_i); chacun des termes de cette somme est de la formeai-jb_javec0  j i(remarquez que la somme des indices duaet dubest toujoursi). Cette somme est celle apparaissant à l’intérieur des paranthèses.

Avec ces définitions, il est facile (mais fastidieux) de montrer que(Q[x],+,·)est un anneau unifère. Faisons une partie du travail. Montrons d’abord que(Q[x],+)est un groupe abélien.

La somme de deux polynômes de degrén etmrespectivement est un polynôme de degré max(n, m). Le neutre pour+est le polynômen_a(x)qui, à toutx, fait correspondre le nombre 0. Il alors clair que, sip(x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+· · ·+a₁x¹+a₀, alors

p(x) +na(x) = (anxⁿ+an-1x^n-1+· · ·+a1x¹+a0) +0

=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+· · ·+a₁x¹+ (a0+0)

=p(x)

et similairement pourna(x) +p(x) =p(x). Ainsinaest le neutre additif. L’inverse additif de p=anxⁿ+an-1x^n-1+· · ·+a1x¹+a0est le polynôme-pou, plus en détails, le polynôme (-an)xⁿ+(-an-1)x^n-1+· · ·+(-a1)x¹+(-a0). Par exemple, l’inverse additif dex³-x²+x-1 est-x³+x²-x+1. Et l’addition de trois polynômes est associative. Comme précédemment, il est possible de supposer que les trois polynômes sont de même degré, au besoin en complétant par des coefficients nuls les polynômes ayant des degrés plus petits. Alors, pourp(x) =a_nxⁿ+ an-1x^n-1+· · ·+a₁x¹+a₀,q(x) = b_nxⁿ +bn-1x^n-1+· · ·+b₁x¹+b₀etr(x) = c_nxⁿ+ c_n-1x^n-1+· · ·+c₁x¹+c₀:

((p+q) +r)(x) = [(an+bn)xⁿ+ (an-1+bn-1)x^n-1+· · ·+ (a1+b1)x¹+ (a0+b0)]

+ (cnxⁿ+c_n-1x^n-1+· · ·+c₁x¹+c₀)

= ((an+b_n) +c_n)xⁿ+ ((an-1+bn-1) +cn-1)x^n-1+. . . + ((a1+b1) +c1)x¹+ ((a0+b0) +c0)

= (an+ (bn+c_n))xⁿ+ (an-1+ (bn-1+cn-1))x^n-1+. . . + (a1+ (b1+c1))x¹+ (a0+ (b0+c0))

= (anxⁿ+a_n-1x^n-1+· · ·+a₁x¹+a₀)

+ [(bn+cn)xⁿ+ (bn-1+cn-1)x^n-1+· · ·+ (b1+c1)x¹+ (b0+c0)]

= (p+ (q+r))(x).

Quoique cette preuve est laborieuse, elle n’utilise que la définition de+pour les polnômes et l’associativité de l’addition dansQ. De plus elle permet de conclure :(Q[x],+)est un groupe de neutren_a. Il est facile de montrer que ce groupe est abélien.

Pour terminer la preuve que(Q[x],+,·)est un anneau unifère, il faut encore montrer que la multiplication de polynômes est associative, qu’elle est distributive sur l’addition et que n_m(x) = 1est neutre pour cette opération. La preuve quen_m soit un neutre est aisée. Mais l’associativité et la distributivité nécessitent les deux la notation à l’aide de sommes introduite par l’équation (?). Voici la preuve de la distributivité. Les polynômesp, qetrsont les mêmes

que ceux utilisés pour la preuve de l’associativité de+.

(p·(q+r))(x) =⇣Xⁿ

i=0

aixⁱ⌘

·⇣Xⁿ

j=0

bjx^j+ Xn

j=0

cjx^j⌘

=1 ⇣Xⁿ

i=0

aixⁱ⌘

·⇣Xⁿ

j=0

(bj+cj)x^j⌘

=2

X2n

i=0

⇣ xⁱ

Xi

j=0

ai-j(bj+cj)⌘

=3

X2n

i=0

⇣ xⁱ

Xi

j=0

ai-jbj

⌘+ X2n

i=0

⇣ xⁱ

Xi

j=0

ai-jcj

⌘

= (p4 ·q)(x) + (p·r)(x).

Les étapes sont les suivantes : (1) utilise la définition d’addition de deux polynômes, (2) celle de la multiplication, (3) repose sur la commutativité (d’un côté tous les termes contenant desb_k ont été regroupés, et d’un autre côté tous lesc_`) et finalement (4) utilise à nouveau la définition de la multiplication de polynômes. (Exercice : la preuve de l’associativité est lancée comme défi !)

Il faut noter qu’un polynômep2Q[x]n’a pas en général pas d’inverse multiplicatif. L’in- verse doit être un polynôme enx. Or la seule fonction qui, multipliant par exemplep(x) = x²-1, donne le polynômen_m(x), est la fonction rationnelle

q(x) = 1 x²-1

qui n’est évidemment pas un polynôme. Ainsi(Q[x],+,·)est un anneau unifère (mais n’est pas un corps).

Exemple 14. Y a-t-il une façon de montrer qu’un ensemble muni de deux opérations et~est un anneau ? Oui et elle copie la « recette » pour la vérification qu’une paire(G,⇥)est un groupe. Elle est un petit peu plus longue. En voici les étapes :

(1) vérifier que l’addition appliquée à deux éléments deEdemeure dansE(l’opération doit être interne!) ;

(2) trouver le neutre pour l’opération ;

(3) trouver l’inverse additif d’un élément général deE(et montrer que cet inverse appartient àE) et

(4) vérifier l’associativité de ;

(5) vérifier que la multiplication~appliquée à deux éléments deEdemeure dansE(l’opération doit êtreinterne!) ;

(6) vérifier l’associativité de~et

(7) vérifier que la multiplication~est distributive sur l’addition . Heureusement plusieurs de ces étapes sont souvent évidentes.

Appliquons cette « recette » à un dernier exemple, celui de l’ensembleC(R)des fonctions continues

deR ! Ravec le produit , c’est-à-dire la composition de fonctions (donc ~ = ). La somme est simplement l’addition usuelle de fonctions (et donc = +).

Avant de commencer, il faut observer que le produit de fonctions n’est pas la composition de fonc- tions. Par exemple voici le graphe des fonctionsf(x) = x²etg(x) = cosxet maintenant le produit

(f·g)(x) = x²cosxet les compositions(f g)(x) = (cosx)²et(g f)(x) = cosx². (Toutes ces fonctions sont tracées sur le même domaine.) Les figures ci-contre ont été tracées par ordinateur ; c’est

toujours une bonne habitude de s’assurer que ces graphes sont probablement les bons. Le graphe de x²cosx(à gauche) passera par zéro à chaque fois quex²oucosxsera nul ; donc le graphe passe par0 enx=0et en les pointsx= ^⇡₂+k⇡, k2Z. Même si la hauteur des bosses de^⇡₂+k⇡à^⇡₂+ (k+1)⇡

lorsque|k| augmente, leur largeur demeure la même (égale à⇡). Le graphe de (cosx)²est obtenu en prenant le carré du graphe decosx; le graphe de(cosx)²passera ainsi par zéro chaque fois quecosx est nul et atteindra un maximum chaque fois quecosxest égal à+1ou-1(donc enk⇡, k2Z). C’est bien le graphe qui apparaît au centre de la ligne ci-dessus. Finalement le graphe decos(x²)présente des oscillations de plus en plus rapprochées car l’argumentx²ducoscroît de plus en plus vite lorsque|x|

augmente. Les deux graphiques à droite, ceux def get deg fsont différents, montrant ainsi que l’opération n’est pas commutative.

Ceci étant noté, les étapes sont franchies comme suit :

•Les étapes (1) et (5) découlent du cours d’analyse : la somme et la composition de fonctions continues sont continues. Nous accepterons ce fait.

•Le neutre pour l’addition est la fonction nullena(x) =0qui associe à toutxle nombre0. L’inverse additif d’une fonctionfest simplement la fonction -f, c’est-à-dire celle qui associe à un xdonné la valeur-(f(x)). Cette fonction-fest continue sifl’est. Finalement, pour toutes fonctionsf,geth, l’associativité est vérifiée par l’observation :(f+ (g+h))(x) =f(x) + (g(x) +h(x)) = (f(x) +g(x)) + h(x) = ((f+g) +h)(x). Donc les étapes (2), (3) et (4) sont vérifiées.

•L’étape (6) consiste à vérifier l’associativité de la composition e fonctions. Calculer(f (g h))(x) consiste à d’abord obtenir la valeur deg hsurx, c’est-à-direg(h(x)), puis appliquer la fonctionfsur le résultat :f[g(h(x))]. Calculer((f g) h)(x)consiste à appliquer la fonctionf gau résultath(x).

Or(f g)(h(x))est par définitionf(g[h(x)])où une paire de parenthèses a été remplacée par une paire de crochets pour aider l’oeil. Mais les deux résultats sont identiques et(f (g h))(x) = ((f g) h)(x) et l’associativité suit.

•La distributivité réserve enfin une surprise : est-ce que

(f (g+h))= (f g) + (f h)^?

pour toutes fonctions continuesf, geth? Le membre de gauche est

(f (g+h))(x) =f[(g+h)(x)] =f(g(x) +h(x))

alors que le membre de droite est

f(g(x)) +f(h(x)).

La question est donc

f(g(x) +h(x))=^? f(g(x)) +f(h(x)).

Ceci est vérifié pour les fonctions linéaires. Mais est-ce vrai pour toute fonction ? Soit f = sin et g=h=identité. (C’est donc queg(x) =h(x) =x.) Alors, pourx= ^⇡₂ :

f(g(x) +h(x)) =sin(⇡ 2 +⇡

2) =sin⇡=0 alors que

f(g(x)) +f(h(x)) =sin(⇡

2) +sin(⇡

2) =1+1=2.

Clairement0 6= 2 et cet exemple montre aisément que n’est pas distributive sur l’addition. Ainsi (C(R),+, )n’est pasun anneau !

Des exemples de la structure de corps —La structure de corps est quelque peu exceptionnelle par sa rigidité. En fait le chapitre 2 a pratiquement introduit tous les corps dont la description est assez facile ! Les voici :

• (Q,+,⇥)est un corps ;

• (Q(p

2),+,⇥)est un corps (voir l’exercice 29 du chapitre 2) ;

• (R,+,⇥)est un corps ;

• (C,+,⇥)est un corps ;

• (Zp,+,⇥)est un corps si et seulement sipest un nombre premier (voir la proposition 13 du chapitre 2).

Il est certes facile d’en donner d’autres, par exemple, les extensions deQpar une racine, par exempleQ(p

3),Q(p

5), ... Mais ces exemples ajoutent peu à la compréhension.

Voici quand même deux exemples que les chapitres précédents n’ont pas couverts. Le théo- rème 13 du chapitre 2 dit que(Zp,+,⇥)(où+et⇥sont les addition et multiplication modulo p) est un corps si et seulement sipest premier. Il ne dit pas s’il est possible de choisir+ou⇥

différemment sur l’ensembleFn={0, 1, 2, . . . , n-1}pour que le triplet(Fn,+,⇥)soit un corps.

En fait, pour certainsn, ceci est possible. Notre premier exemple est le corpsF4qui contient quatre éléments :F4={0, 1, 2, 3}. Les caractères0et1ont été réservés pour les neutres additif (0) et multiplicatif (1)de ce corps. Le « nom » des deux autres éléments est arbitraire ; il aurait pu être choisi commeaetbplutôt que2et3. Voici les tables d’addition et de multiplication de ces deux corps :

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 0 3 2

2 2 3 0 1

3 3 2 1 0

⇥ 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 3 1

3 0 3 1 2

Les deux tables ci-dessus diffèrent de celles des opérations définies surZ4. Par exemple 3+3=2 dans Z⁴ et 3+3=0 dans F⁴

et

2⇥2=0 dans Z⁴ et 2⇥2=3 dans F⁴.

Comment prouver que le tripet(F4,+,⇥)avec+et⇥donnés par les tables ci-dessus est un corps ? Puisque ces tables ne révèlent pas l’origine des opérations, la vérification est pénible ; elle doit se faire de façon exhaustive. Puisqu’elle apprend peu, nous nous limiterons à vérifier que(F4\ {0},⇥)est un groupe. L’ensembleF4\ {0}ne contient que trois éléments et la table indique que1est le neutre multiplicatif et que2et3sont les inverses l’un de l’autre. Donc les propriétés (G2) et (G3) de la définition de groupe sont vérifiées. La table de multiplication⇥ est symétrique par rapport à la diagonale et donca⇥b=b⇥apour toute paire d’élémentsa etb2F⁴. Donc (C) est aussi vérifiée. Il n’y a plus que l’associativité à vérifier. Puisqu’il y a3 éléments dans l’ensemble, le choix dea, betcdansa⇥(b⇥c) = (a⇥b)⇥cpeut être fait de 3³=27façons distinctes. Voici la vérification pour quelques-uns de ces choix :

1⇥(2⇥3) =1⇥1=1 et (1⇥2)⇥3=2⇥3=1 2⇥(3⇥1) =2⇥3=1 et (2⇥3)⇥1=1⇥1=1 3⇥(3⇥2) =3⇥1=3 et (3⇥3)⇥2=2⇥2=3

etc. La construction systématique des corps finis, c’est-à-dire des corps ayant un nombre fini d’éléments, dépasse les buts de ce cours. Mais ces corps jouent un grand rôle, tant en ma- thématiques qu’en technologie. Le théorème suivant caractérise le nombre d’élémentsnd’un corps fini.

Théorème 1. SoitA_n = {0, 1, 2, . . . , n}un ensemble denéléments. Alors il existe deux opérations +et⇥surA_n qui font de(An,+,⇥)un corps si et seulement si le nombrenest une puissance d’un nombre premier, c’est-à-dire s’il existem 1et un premierptel quen=p^m.

Le second exemple est intéressant par qu’il peut être introduit en suivant un chemin si- milaire à la construction de l’ensembleQà partir de l’ensembleZ. Ici le point de départ sera

l’anneauQ[x]des polynômes à coefficients rationnels. Nous avons observé que(Q[x],+,⇥)est un anneau unifère. Évidemment tout polynôme n’a pas d’inverse multiplicatif ; par exemple x+1n’a pas d’inverse. Pour donner à tout entier un inverse, nous avons construit l’ensemble des paires(n, d)avecd6=0et regroupé les paires par la relation d’équivalence

(n1, d1)⇠(n2, d2) () n1d2=n2d1.

Sur l’ensemble des classes d’équivalence, il a alors été possible de définir une addition et une multiplication. Dans le cas des polynômes, le chemin est pratiquement identique. Les paires (n(x), d(x))de deux polynômes sont considérées. Le polynômed(x)doit être non nul, c’est-à- dired(x)6=na(x). La relation d’équivalence

(n1(x), d1(x))⇡(n2(x), d2(x)) () n₁(x)d2(x) =n₂(x)d1(x) pour toutx permet de regrouper dans la même classe les fractions rationnelles qui sont égales. Par exemple les deux paires(n1(x) =x²-1, d1(x) = (x+1)²)et(n2(x) =x-1, d2(x) =x+1)qui satisfont

n₁(x)·d₂(x) =x³+x²-x-1=n₂(x)·d₁(x) seront donc équivalentes et seront identifiées à la même fonction rationnelle :

(x²-1,(x+1)²)⇡(x-1, x+1) et x²-1

(x+1)² = x-1 x+1.

Le reste du chemin copie celui de la construction deQ. SoitR(x)l’ensemble des classe d’équi- valence de⇡sur l’ensembleQ[x]⇥(Q[x]\ {na(x)}). Cet ensembleR(x)peut être identifié à l’ensemble des fonctions rationnelles de la forme ^n(x)_d(x) oùnetdsont des polynômes. L’addi- tion+et la multiplication⇥sont alors définies comme elles l’ont été pourQ; et, comme pour Q, il faut vérifier que ces opérations sont bien définies. Les propriétés des opérations+et⇥ sont aisées à montrer : le neutre additif est la fonction rationnelle0 et le neutre multiplicatif est (la classe d’équivalence du) polynômen_m(x) = 1, toute fonction rationnelle possède un inverse additif et, si elle n’est pas nulle, un inverse multiplicatif. Finalement la multiplication est distributive sur l’addition. Ainsi le triplet(R(x),+,⇥)est un corps, appelé le corps des fonctions rationnelles surQ.

Structures et sous-strucutres —L’introduction du chapitre a donné des exemples indiquant l’utilité de reconnaître qu’une paire(E, )ou qu’un triplet(E, ,⌦)satisfait la définition d’une structure donnée. Il est aussi important de reconnaître les sous-structures d’une paire(E, ) ou d’un triplet(E, ,⌦)donné. Un exemple de « sous-structure » a été rencontré en algèbre linéaire : tout espace vectoriel possède des sous-espaces vectoriels et leur identification peut être utile. Par exemple, dans l’espace vectorielR³, le plan

Pxy=⌦0

@x y 0

1

A2R³ x, y2R↵

est un sous-espace vectoriel. Ce n’est pas le seul puisqueR³contient beaucoup d’autres plans tels

⌦0

@x x z 1

A2R³ x, z2R↵

et de droites tel que

⌦0

@ x x x

1

A2R³ x2R↵ .

Comme pour la structure d’espace vectoriel, les structures de groupe, d’anneau et de corps possèdent toutes des sous-structures qui sont toutes définies de la même façon.

Définition 20. Soit(E,⇤)un groupe etFun sous-ensemble deE. AlorsFest un sous-groupe deEsi (F,⇤)est lui-même un groupe pour la même opération⇤.

Les définitions de sous-anneaux et sous-corps sont identiques : il suffit de remplacer les paires(E,⇤)et (F,⇤) par les triplets(E, ,⌦)et (F, ,⌦)et les mots « groupes » et « sous- groupes » par les mots « anneaux » et « sous-anneaux » (ou « corps » et « sous-corps »).

Exemple 15. À nouveau la vigilance s’impose lors de l’identification d’un sous-groupe (ou d’un sous- anneau ou d’un sous-corps). Supposons que la vérification que(E,⇤)ait été complétée et qu’un sous- ensembleF⇢Esoit proposée. Que faut-il faire pour montrer queFest un sous-groupe ? Les propriétés d’associativité, de commutativité et de distributivité s’appliquent aux éléments deFpuisque ceux-ci appartiennnet àE. Les seules questions qui pourraient se poser sont :

(i) l’opération⇤est-elle une opération binaire surF(ou, en d’autres mots, est-ce queFest fermé sous l’opération⇤) ?

(ii) est-ce que l’inverse de tout élément deFappartient àF?

(Ces questions sont celles pour les sous-groupes. Nous les compléterons ci-dessous pour les sous-anneaux et sous-corps.) Si ces deux propriétés sont vérifiées, alorsFest un sous-groupe. Commençons par un contre-exemple : soitN⇢Zle sous-ensemble des entiers naturels du groupe(Z,+). Ce sous-ensemble est fermé pour l’addition puisque, sim, n 2N, alorsm+nest aussi2 N. Donc la réponse à (i) est oui ! Mais les élémentsn > 0deNn’ont pas d’inverse et doncNn’est pasun sous-groupe deZ.

Voici un autre exemple. Soit(GL(n,Q,·)le groupe des matrices rationnellesn⇥ndont le déter- minant est non nul (muni de la multiplication matricielle usuelle). Et soit

SL(n,Q) ={M2GL(n,Q)| detM=1}

le sous-ensemble des matrices deGL(n,Q)dont le déterminant est précisément+1. Cet ensemble est fermé pour la multiplication matricielle : siMetNsont des matrices deGL(n,Q)dont le déterminant est1 (detM = detN = 1), alors leur produitM·N a aussi un déterminant1 (det(M·N) = detM·detN = 1) et donc appartient à SL(n,Q). Ainsi (i) est vérifiée. Et si M 2 SL(n,Q), son déterminant égal à1assure que son inverseM^-1existe etdetM^-1 = _det¹_M = ¹₁ = 1etM^-1est aussi dansSL(n,Q). Ainsi (ii) est aussi vérifiée et(SL(n,Q),·)est un sous-groupe de(GL(n,Q),·).

L’identification de sous-anneaux et sous-corps procède similairement. Puisque, dans ces cas, il y a deux opérations et⌦, il faut vérifier

(i) la fermeture du sous-ensembleFpour les deux opérations et⌦et

(ii) l’existence d’inverses dansFpour et, pour les sous-corps, d’inverses pour⌦. Voici un exemple d’un sous-anneau de(Q[x],+,⇥), l’anneau des polynômes à coefficients ra- tionnels. SoitZ[x]le sous-ensemble deQ[x]des polynômes dont les coefficients sont éléments deZ. Alors l’addition et la multiplication de deux polynômesp(x) =anxⁿ+an-1x^n-1+· · ·+ a1x¹+a0etq(x) =bnxⁿ+bn-1x^n-1+· · ·+b1x¹+b0dansZ[x]appartiendront également àZ[x]. En effet les coefficientsai+bide la somme sont des éléments deZet ceux du produit, P

0jiai-jb_j, le sont aussi. (Ainsi(i)X.) Les inverses additifs des éléments deZ[x]sont aussi dansZ[x]puisque-p(x)a comme coefficients(-ai)qui sont des entiers relatifs si lesa_i le sont. Donc(Z[x],+,⇥)est un sous-anneau de(Q[x],+,⇥).

EXERCICES

6. Est-ce que les paires suivantes sont des groupes ? (a) (N,+);

(b) (N\ {0},⇥); (c) (Z,+); (d) (Z\ {0},⇥); (e) (Q,+); (f) (Q\ {0},⇥);

(g) (C,+); (h) (C\ {0},⇥); (i) (Q(p

2),+)(voir l’exercice 29 du chapitre 2) ; (j) (Q(p

2)\ {0},⇥).

7. Est-ce que les triplets suivants sont des anneaux ? (a) (N,+,⇥);

(b) (Z,+,⇥); (c) (Q,+,⇥); (d) (R,+,⇥); (e) (C,+,⇥);

(f) (Q(p

2),+,⇥)(voir l’exercice 29 du chapitre 2).

8. SoitZ[p

2] ={a+bp

2|a, b2Z}. Soient+et⇥définies par (a+bp

2) + (c+dp

2) = (a+c) + (b+d)p 2 (a+bp

2)⇥(c+dp

2) = (ac+2bd) + (ad+bc)p 2.

Montrer que(Z[2],+,⇥)est un anneau ?

9. (a) Notons parmZle sous-ensemble deZdes multiples de l’entierm. Est-ce que(2Z,+)est un sous-groupe de(Z,+)? Même question pour(mZ,+),m2N?

(b) Est-ce que (mZ,+,⇥),m 2 N, est un sous-anneau de(Z,+,⇥)? Pour quelmce sous- anneau est-il unifère ?

10.SoitL(n)l’ensemble des transformation linéaires surRⁿ. Donc chaque élémentf 2 L(n)est une transformation linéairef:Rⁿ!Rⁿ. Soit+l’addition usuelle de fonctions et la compo- sition. Est-ce que(L(n),+, )est un anneau ?

11. (a) SoitOune matrice orthogonale, c’est-à-dire une matrice dont la transposée est l’inverse : O^tO=OO^t=I. Montrer queO^test orthogonale.

(b) SoitO(2) ={M2R^2⇥2|Mest orthogonale}. C’est l’ensemble des matrices orthogonales 2⇥2. Montrer que c’est un groupe.

(c) PuisqueOO^t=I, les propriétés du déterminant matriciel donne

1=detI=det(OO^t) =detOdetO^t=detOdetO= (detO)²

et le déterminant d’une matrice2⇥2est toujours±1. Montrer que le sous-ensemble des ma- trices orthogonales2⇥2de déterminant+1est un sous-groupe deO(2). Il est notéSO(2).

(d) Est-ce que le sous-ensemble des matrices orthogonales2⇥2de déterminant-1est aussi un sous-groupe deO(2)?

12. (a) Soit (G,⇤) un groupe fini, c’est-à-dire un groupe possédant un nombre fini d’éléments.

Utiliser le fait que tout élément possède un inverse pour montrer que, quelque soit la pairea etbd’éléments deG, il existe un élémentctel quea⇤c=b.

(b) Conclure de (a) que toute la ligne de la table de multiplication deG contient tous les éléments précisément une fois.

(c) L’énoncé de(b)s’applique-t-il également aux colonnes ? Expliquer.

13. (a) SoitTS(n,Q)⇢GL(n,Q)le sous-ensemble des matrices triangulaires supérieuresn⇥nde déterminant non nul. Un exemple ci-dessus a montré queGL(n,Q)est un groupe. Est-ce que TS(n,Q)en est un sous-groupe ?

(b) SoitT(n,Q)l’ensemble des matrices triangulaires supérieures. Soit+et⇥l’addition et la multiplication matricielles usuelles. Montrer que(T(n,Q),+,⇥)est un anneau unifère, mais que ce n’est pas un corps.

3.3 Congruence et similitude en géométrie euclidienne

Cette section donne un exemple détaillé de deux groupes et de certains de leurs sous- groupes. Les deux sont non abéliens et contiennent un nombre infini d’éléments. Ce sont donc des exemples beaucoup plus compliqués que les groupes abléliens comme (Z^m,+), (Z,+) ou(Q\ {0},⇥). Pourtant ce sont des groupes dont les étudiants du secondaire ont déjà une compréhension intuitive !

Rappel

• équation d’une droite ;

• les transformation linéaires ;

• les matrices orthogonales ;

• le produit scalaire et la longueur euclidienne ;

• dilatations, rotations, projections et translations.

Les congruences —SoitPle plan euclidien. Ses points sont identifiés aux points du planR². Définition 21. Une fonction~f:P!Pest uneisométriesi elle préserve la distance entre toute paire P, Qde points du planP:

dist(P, Q) =dist(~f(P),~f(Q)), pour toutP, Q2P.

Même si cette condition est très contraignante, il existe une infinité d’isométries. Elles sont en fait décrites très précisément par le théorème 2 ci-dessous. Mais avant d’aller plus loin, quelques observations et des exemples !

La géométrie euclidienne note habituellement les points par des lettres, par exempleP, Q, . . ., et les segments par des paires de lettres, par exemplePQpour le segment du pointPau point Q. Dans ce qui suit, il sera avantageux d’utiliser les coordonnées cartésiennes des points. Ainsi un pointPsera identifié à ses coordonnées~v = (^xy)2 R². Nous utiliserons donc la notation

«~ » pour rappeler que, en coordonnées, un pointPest repéré par deux nombres réels. De la même façon, une fonction~f:P!Pdu plan euclidien vers lui-même prend un point(^xy)et en donne un autre ^X_Y . Ainsi le résultat de l’application de la fonction~fsur le pointP, noté~f(P), est un vecteur à deux composantes, d’où le «~ » sur le~f:

~f(P) =~f y^x = ^X(x,y)_Y(x,y)

oùX(x, y)etY(x, y)sont deux fonctions de deux variables.

Si les pointsPetQont~v= (x, y)etw~ = (u, v)comme coordonnées, alors dist(P, Q) =||~v-w||~ =

q

(x-u)²+ (y-v)². Les trois notations seront utilisées par la suite.

Exemple 16. Donnons un exemple d’isométrie : la rotation par un angle de✓ = ^2⇡₃. La fonction~f est une transformation linéaire et les fonctionsX(x, y)etY(x, y)sont données par une multiplication matricielle :

~f(x, y) =

✓X(x, y) Y(x, y)

◆

=O·

✓x y

◆

où O= -_p¹₂ -^p₂³

3 2 -¹₂

! .

Sur la figure ci-contre, un triangle rectangle est tracé en vert et son image par la fonction ~f en jaune. Le triangle rectangle (de côtés de longueur 3, 4et5) est tourné par un angle de ✓autour de l’origine. Un sommet et son image reposent sur le même cercle centré à l’origine, puisqu’une rota- tion préserve les distances. Par exemple le sommet (1, 1)du triangle vert est devenu le sommet

-_p¹₂ -^p₂³

3 2 -¹₂

!

·

✓1 1

◆

=

✓₁

2(-1-p 3)

1

2(-1+p 3)

◆ .

Mais comment savoir si cette rotation préserve toutesles distances ?

La réponse peut être obtenue aisément et repose sur une des propriétés cruciales de la matriceO. La propriété désirée se lit : pour tout~v,w~ 2P

dist(~v,w) =~ dist(O·~v, O·w)~

()||~v-w||~ ²=||O·~v-O·w||~ ²

()(~v-w)~ ^t·(~v-w) =~ O·(~v-w)~ ^t· O·(~v-w)~

()(~v-w)~ ^t·(~v-w) = (~~ v-w)~ ^t·(O^tO)·(~v-w),~ pour tout~v,w~ 2P. Pour obtenir le dernier énoncé, la propriété suivante a été utilisée :(A·B)^t=B^t·A^tpour toutes paires de matricesAetBqui peuvent être multipliées. Sur ce dernier énoncé, il est clair que, siO^tO = I, alors les distances entre n’importe quels~vetw~ seront conservées. Les matrices orthogonalessont, par définition, les matrices dont l’inverse est simplement la transposée. Il suffit donc de vérifier que la matriceO, représentant la rotation d’un angle✓= ^⇡₃, orthogonale :

O^tO= -¹₂ ^p₂³ -^p₂³ -¹₂

!

· -_p¹₂ -^p₂³

3 2 -¹₂

!

=

1

4+ ³₄ ^p₂³¹₂- ¹₂^p₂³

p3 2

1

2- ¹₂^p₂^{3 3}₄+ ¹₄

!

=I.

La transformation linéaire~fpréserve les distances et est donc une isométrie.

Les isométries du plan euclidien P permettent de définir une relation entre objets géo- métriques. Les objets géométriques sont ici les segments de droite, les arcs de cercle et les polygones. Un tel objet peut être transformé par une isométrie~fdonnée ; ceci veut alors dire que chaque pointPde l’objet (l’arc de cercle, le polygone, ...) est envoyé sur son image~f(P).

L’ensemble des images est alors un nouvel objet géométrique. Cette relation entre objets géo- métriques introduite à l’aide des isométries est celle de congruence.

Définition 22. Deux objets géométriques du planPsontcongruss’il existe une isométrie qui amène le premier sur le second.

Cette définition devrait être familière à quiconque a étudié la géométrie euclidienne. Dans la

figure ci-contre les objets de même couleur sont congrus et, s’ils ne sont pas de même cou- leur, alors ils ne sont pas congrus. Les petits triangles (couleur saumon) sont semblables aux triangles roses, mais ils n’y sont pas congrus puisque les longueurs de leurs côtés ne sont pas les mêmes. (Les isométries préservent les distances et donc aussi les longueurs des segments entre deux sommets.)

Trois familles d’isométries — La famille d’isométries la plus simple est celle destranslations.

Si~t= (^t_t¹₂)2R²est un vecteur à deux composantes fixé, alors la fonction~fest

~f(~v) =~v+~t

ou, en composantes,

~f ^xy = ^xy + ^t_t¹₂ .

La représentation graphique de cette transformation est la suivante. À gauche se trouve le plan Pavant transformation. Les lignes horizontales (en vert) et les verticales (en jaune) permettent de déterminer les coordonnées du triangle qui y est tracé : les sommets sont en (-5,-1), (-3,-1)et(-2,-2). L’origine et les axes du système de coordonnées y sont aussi dessinés.

À droite, la plan Pa été translaté le long du vecteur~t qui est tracé comme une flèche. (Le