Plus Grand Diviseur Commun

Plus Grand Diviseur Commun

1) Vocabulaire :

a) Divisible / Multiple :

Soit a et b deux nombres entiers naturels différents de zéro : dire que a est divisible par b signifie quea

b =k, avec k nombre entier naturel.

Or : Sia

b =k, alors a=kb, ce qui se traduit par « a est un multiple de b ». ( Et aussi de k ) b) Critères de divisibilité :

c) Diviseurs d’un nombre : Les diviseurs d’un nombre sont ceux par lequel il est divisible.

Pour trouver tous les diviseurs d’un nombre, il suffit le décomposer en produit de 2 facteurs entiers et de trouver la liste complète de ces produits.

Exemple : Recherche des diviseurs de 120.

120 1 120= × = ×2 60= ×3 40= ×4 30= ×5 24= ×6 20= × = ×8 15 10 12

les diviseurs de 120 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 24 ; 30 ; 40 ; 60 et 120.

2) Division euclidienne :

a) La division euclidienne est la division avec reste et quotient entier.

Soit a et b deux nombres entiers naturels tels que 0< <b a. Alors il existe un seul couple de nombre entier Q et R tels que : . . a= × +Q b R avec.. ..0≤ <r b

Q est le quotient, R est le reste de la division euclidienne de a par b. ( Nous admettrons l’existence et l’unicité d’une telle décomposition.)

b) Les calculatrices possèdent une touche permettant d’afficher le quotient et le reste.

c) Exemple :

127 13

10 9 127= × +9 13 10

Par Critère Exemple

2 Le chiffre des unités est pair 102.

4 Le nombre formé par les chiffres dizaine+unité est dans la

table de 4. (00 convient également) 680 ; 144, 316.

3 La somme des chiffres du nombre est dans la table de 3. 141 ; 102 ; 441.

5 Le chiffre des unités est 0 ou 5. 305 ; 150.

9 La somme des chiffres du nombre est dans la table de 9. 441 ; 684 ; 6 669

10 Le chiffre des unités vaut 0. 3 250

3) P.G.C.D. : Plus grand diviseur commun.

a) Le P.G.C.D de deux nombres est le plus grand entier naturel qui divise les deux nombres.

Exemple : Recherchons les diviseurs de 78 et de 208.

78 1 78 78 2 39 78 3 26 78 6 13

= ×

= ×

= ×

= ×

208 1 208 208 2 104 208 4 52 208 8 26 208 13 16

= ×

= ×

= ×

= ×

= ×

Les diviseurs de 78 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 13 ;

26

Ceux de 208 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 13 ;

26

1 ; 2 ; 13 et 26 sont les diviseurs communs de 78 et 208.

Le plus grand de ces diviseurs communs est 26 : 26 est le plus grand commun diviseur de 78 et de 208.

Le P.G.C.D. de 78 et de 208 est égal à 26

b) Utilité : La connaissance du P.G.C.D. d’un couple de nombre entier permet de simplifier en une fraction irréductible une fraction dont ils sont les numérateur et dénominateurs.

En effet : on simplifie une fraction par un nombre k en divisant numérateur et dénominateur par un même nombre, k est donc forcément un diviseur commun.

Pour avoir la fraction irréductible, il faut diviser par le plus grand nombre possible : il faut donc diviser par le P.G.C.D.

Exemple : 78 26 3 3

208 26 8 8

= × =

×

c)

140 1 140 140 2 70 140 4 35 140 5 28 140 7 20 140 10 14

= ×

= ×

= ×

= ×

= ×

= ×

297 1 297 297 3 99 297 9 33 297 11 27

= ×

= ×

= ×

= ×

Diviseurs de 140 :

1

Diviseurs de 297 :

1

140 et 297 ont pour seul diviseur commun

1, qui est donc leur P.G.C.D .

On dit que 140 et 297 sont premiers entre eux.

Un diviseur commun de 3 723 et de 2 993 divisera aussi leur différence, soit 730.

Comme il sera commun aux trois nombres, il le sera aussi avec la différence de 2 993 et de 730, soit 2 663.

Mais donc aussi avec la différence de 2 663 et de 730, etc…

Au bout du compte, on cherche les diviseurs de 73 !

Mais au fait, quel est le plus grand diviseur de 73 ? 73, bien sûr !

Définition : Deux nombres entiers sont premiers entre eux quand leur P.G.C.D est égal à 1.

On en déduit que la fraction 140

297est une fraction irréductible, puisque seul 1 divise 140 et 297.

Or : 140 1 140÷ = et 297 1÷ =297, et simplifier par 1 ne modifie ni le numérateur ni le dénominateur !

4) Recherche méthodique du P.G.C.D

a) Première méthode : Par soustractions successives. (Algorithme des soustractions)

Propriété utilisée :

Si un nombre k divise un nombre a et un nombre b, alors il divise d’office leur différence.

Exemple : 8 est un diviseur commun à 88 et 64. 88-64 =24, et 8 est bien un diviseur de 24.

* Démonstration de cette propriété :

Soit k un nombre entier positif non nul , diviseur commun de a et de b, deux nombres entiers positifs non nuls, avec a>b.( k, a et b différents de zéro.)

Alors il existe a’ et b’, entiers naturels tels que : a=ka' et b=kb' Posons la différence a-b : a b− =ka'−kb'=k a( '−b')

Conclusion : a – b est bien un multiple de k, k est bien un diviseur de la différence de a et de b.

* Exemple N° 1 : Cherchons les diviseurs communs de 2 993 et de 3723

3723 - 2993 = 730

2993 - 730 = 2263

2263 - 730 = 1533

1533 - 730 = 803

803 - 730 = 73

730 - 73 = 657

657 - 73 = 584

584 - 73 = 511

511 - 73 = 438

438 - 73 = 365

365 - 73 = 292

292 - 73 = 219

219 - 73 = 146

146 - 73 = 73

73 - 73 = 0

Finalement, le P.G.C.D est la dernière différence non-nulle ! (L’algorithme aboutir toujours à 0.)

Dans le cas ci-dessus : comme le P.G.C.D est différent de 1, on en déduit que les nombres 3 723 et 2 993 ne sont pas premiers entre eux et que la fraction 3723

1993n’est pas une fraction irréductible.

Pour la simplifier, il suffit d’utiliser le P.G.C.D : 3723 73 51 51 2993 73 41 41

= × =

×

* Remarque / exercice : Un élève de 6^ème exécute à la calculatrice la division suivante : 588 128÷ et sa calculatrice affiche la fraction147

32 . Comment en déduire le P.G.C.D. des nombres 588 et 128 ? b)

Seconde méthode : par divisions euclidiennes successives.

* Propriété utilisée :

Si un nombre entier positif est un diviseur commun à deux nombres entiers positifs a et b (On supposera 0 < b < a), alors il est aussi un diviseur du reste dans la division euclidienne de a par b.

Exemple : 9 est un diviseur de 459 et de 171. La division euclidienne de 459 par 171 donne :

459 171

117 2 ⇒soit la décomposition suivante : 459= ×2 171 117+ . Et 9 est bien un diviseur de 117. (Voir critère de divisibilité).

Démonstration de cette propriété :

Hypothèse : k, entier non nul, est un diviseur commun de a et de b.

Alors il existe a’ et b’, entiers naturels tels que : a=ka' et b=kb'

Soit la décomposition issue de la division euclidienne de a par b : a = Qb +R

Alors : R = a – Qb = ka’ –Qkb’= k( a’ – Qb’) : R est un multiple de k , k est un diviseur de R.

* Utilisation de cette propriété pour la recherche du P.G. C.D :

Les diviseurs de 459 et de 171 sont donc aussi diviseurs de 459, 171 et 117.

En particulier de 171 et de 117, donc du reste dans la division euclidienne de 171 par 117.

On pose alors une nouvelle division :

171 117

54 1 ⇒ 171 1 117 54= × + Puis :

117 54

9 2 ⇒117= × +2 54 9 et enfin :

54 9

0 6 ⇒54= × +9 6 0

Le travail de division est fini. Le P.G.C.D de 459 et de 171 est donc un aussi un diviseur de 117 ;

54 et 9, le dernier reste non-nul. Or : quel est le plus grand diviseur de 9 ? Evidemment 9 !

Dans l’algorithme d’Euclide, le P.G.C.D. est le dernier reste non-nul !

5) Exercices.

1. Recopier le tableau et cocher les cellules si le nombre en tête de ligne est divisible par le nombre en tête de colonne.

2 3 5 9 10

245 291 121 110

20 051 1 962

555 666 123 456

2. Le tableau ci-dessous représente le compteur kilométrique d’un véhicule.

2 chiffres sont illisibles.

On sait cependant que le nombre de kilomètre, noté k , est tel que : 210.000

k≤ tout en étant un multiple de 5 et aussi de 3. Que peut valoir k ?

3. Soit nun nombre entier naturel.

Si nest pair, c’est qu’il existe un nombre entier kunique tel que n=2k

Réciproquement, si un nombre entier n peut s’écrire sous la formen=2k, alors nest pair.

A = 418

Autre exemple : P.G.C.D. de 418 et de 228.

B = 228

418 = 228 x 1 + 190

228 = 190 x 1 + 38 P.G.C.D. = 38

190 = 38 x 5 + 0

? 1 4 3 6 ?

Si nest impair, c’est qu’il existe un nombre unique ktel quen=2k+1.

Réciproquement, si un nombre entier n peut s’écrire sous la formen=2k+1, alors nest impair.

a ) Démontre que la somme de 2 nombres impairs est toujours un nombre pair.

b) Démontre que le produit de 2 nombres impairs est toujours un nombre impair.

c) Démontre que pour tout nombre entier relatif n :

(

)

2 n n+

est toujours un nombre entier.

4. Exercice brevet 2013 : L’affirmation ci-dessous est-t-elle vraie ?

Pour n’importe quel nombre entiern,

(

) (

)

5. On donne a=237 et b=147

a) Déterminer leur P.G.C.D en utilisant les deux algorithmes. (Soustraction et division) b) Sont-ils premiers entre-eux ?

c) Si possible, simplifier la fraction b

aen faisant apparaître votre démarche.

6. On donne a=3737 et b=666 Même question que l’exercice 5.

7. Soit la fraction 12748

8453 Peut-on la simplifier ? Justifier.

8. Un carreleur doit recouvrir une pièce rectangulaire de 7,92 m sur 6 m de carreaux carrés tous identiques et les plus grands possibles. (On négligera la largeur des joints entre les carreaux.)

a) Quelle est la mesure du côté d’un carreau ?

b) Combien de carreaux sont nécessaires pour ce chantier ? 9. Un fleuriste a en stock 306 tulipes et 170 iris.

Il veut utiliser toutes les fleurs en confectionnant le plus grand nombre possible de bouquets tous identiques. La tulipe est vendue 1,45 € et l’iris est vendu 1,95 €.

a) Combien de bouquets peut-il confectionner ? Explique ta démarche.

b) Quel est le prix d’un bouquet ?

10. Prends une feuille formatA₄. (210 mm sur 297 mm).

Dessine à l’intérieur un pavage (toute la feuille doit être occupée, aucun vide !) de rectangles tous identiques, les plus petits possibles, sachant que :

a) Ces rectangles sont des réductions à une échelle 1

e=k où k est un nombre entier.

b) Les dimensions de ces petits rectangles sont des nombres entiers de mm.

Explique ta démarche.

Les pages suivantes sont ouvertes à tout élève curieux des mathématiques.

D’où sortent les critères de divisibilités par 3 et par 9 ?

1. Décomposition d’un nombre entier.

Tout nombre entier naturel m≠0possède une décomposition unique de la forme :

1 2 2 1 0

1 2 2 1 0

10ⁿ 10ⁿ 10ⁿ ... 10 10 10

n n n

m=a +a ₋ ⁻ +a ₋ ⁻ + +a +a +a

avec a a_n^; _n−^{1;... ; ;}a a a^{2 1 0}∈

{

}

Nous supposerons mdifférent de zéro. En conséquence, au moins un chiffre a sera différent de _i zéro. C’est forcement le chiffre de la puissance de 10 la plus grande, car si on suppose a = 0, _n alors :

1 2 2 1 0

1 2 2 1 0

1 2 2 1 0

1 2 2 1 0

1 2 2 1 0

1 2 2 1 0

10 10 10 ... 10 10 10

0 10 10 10 ... 10 10 10

10 10 ... 10 10 10

n n n

n n n

n n n

n n

n n

n n

m a a a a a a

m a a a a a

m a a a a a

− −

− −

− −

− −

− −

− −

= + + + + + +

= × + + + + + +

= + + + + +

Ce qui signifierait que a = 0 serait un zéro inutile. _n

Exemple : 320.784= ×3 10⁵+ ×2 10⁴+ ×0 10³+ ×7 10²+ ×8 10¹+ ×4 10⁰

2. Démontrons que pour tout entier natureln≥1 : 10ⁿ−1est un multiple de 3. En effet :

1 2 3

10 − = − = = ×1 10 1 9 3 3...10 − =1 100 1 99− = = ×3 33...10 − =1 1000 1 999− = = ×3 333 Pour cela, nous allons faire ce que l’on appelle une démonstration par récurrence, c'est-à-dire que nous allons démontré que si 10ⁿ−1est un multiple de 3, alors obligatoirement 10ⁿ⁺¹−1est un multiple de 3.

( )

1 1 1

10 1 10 10 10 9 10 1 10 10 10 1 9

10 1 10 10 1 9

n n

n n

n n

+ + +

− = × − +

− = × − × +

− = × − +

Si 10ⁿ −1 est un multiple de 3 : alors il existe un nombre entier naturel k tel que 10ⁿ− =1 3k, et

( )

( )

1

1 1

10 1 10 10 1 9

10 1 3 3 3

10 1 3 3

n n

n n

k k

+

+ +

− = × − +

− = + ×

− = +

Nous venons de démontrer que si10ⁿ−1 est un multiple de 3, alors il existe un nombre entier 3

K = +ktel que 10ⁿ⁺¹− =1 3K. Autrement dit, 10ⁿ⁺¹−1est un multiple de 3.

Comme nous avons vu que notre hypothèse de divisibilité par trois était vérifiée pour10¹−1, elle l’est forcement pour tout exposant n

Conclusion : pour tout nombre entier naturel n≥1 : 10ⁿ−1 est un multiple de 3.

3. Retour àm=a_n10ⁿ+a_n−110ⁿ⁻¹+a_n−210ⁿ⁻² +...+a₂10²+a₁10¹+a₀10⁰.

Amusons-nous à transformer l’écriture de chaque terme de la somme de la décomposition de m.

( )

( )

( )

( )

( )

1 1 1

1 1 1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

10 10 1 10 1

10 10 1 10 1

10 10 1 10 1

:

10 10 1 10 1

10 10 1

n n n

n n n n n n

n n n

n n n n n n

n n n

n n n n n n

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a

− − −

− − − − − −

− − −

− − − − − −

= × − × + = − +

= × − × + = − +

= × − × + = − +

× = × − × + = − +

× = × − + Ainsi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 1

1 1 2 2 2 2 1 1 0

1 1 2 1

1 2 2 1 1 2 1 0

10 1 10 1 10 1 ... 10 1 10 1

10 1 10 1 10 1 .... 10 1 10 1 ...

n n n

n n n n n n

n n n

n n n n n n

m a a a a a a a a a a a

m a a a a a a a a a a

− −

− − − −

− −

− − − −

= − + + − + + − + + + × − + + − + +

= − + − + − + + × − + − + + + + + +

Or : Tous les

(

)

Si on multiplie un multiple de 3 par un nombre entier, on a toujours un multiple de 3.

Donc tous les ^ai

(

)

Si on additionne des multiples de 3, une factorisation par 3 permet d’affirmer que la somme est toujours un multiple de 3.

Donc :

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

n n n

a − +a ₋ ⁻ − +a ₋ ⁻ − + + ×a − +a − est un multiple de 3.

Il existe donc un nombre entier naturel K tel que ^'

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

n n n

a − +a ₋ ⁻ − +a ₋ ⁻ − + + ×a − +a − = K

Notre nombre m peut donc s’écrire sous la forme : m=3K^'+ +a_n a_n−1+a_n−2+ + +... a₁ a₀ 4. Somme des chiffres qui composent le nombre m.

Cette somme vaut : s=a_n+a_n−1+a_n−2+ + +... a₁ a₀

Si cette somme est un multiple de 3, alors il existe un nombre entier naturel q tel que

1 2 ... 1 0 3

n n n

s=a +a₋ +a₋ + + +a a = q

Donc si cette somme est un multiple de 3, m peut s’écrire sous la forme :

( )

'

1 2 1 0

3 ...

3 ' 3

3 '

n n n

m K a a a a a

m K q

m K q

− −

= + + + + + +

= +

= +

où K'+qest un nombre entier.

Conclusion : Si la somme des chiffres qui

composent un nombre est un multiple de 3, le nombre en question est lui- même un multiple de trois. C.Q.F.D.

5. Pour le critère de divisibilité par 9 : La démonstration est identique. Il suffit de démontrer que 10ⁿ−1est un multiple de 9 pour toute valeur den≥1.

Supposons 10ⁿ −1 est un multiple de 9 : alors il existe un nombre entier naturel k tel que 10ⁿ− =1 9k

On aurait donc 10ⁿ =9k+1. En conséquence, on aurait :

( )

( )

1 1 1

10 1 10 9 1 1

10 1 90 10 1

10 1 90 9 9 10 9 1 9 10 1

n n n

k k

k k k

+ + +

− = × + −

− = + −

− = + = × + × = +

10ⁿ⁺1−1serait d’office un multiple de 9.

Comme 10¹− =1 9est un multiple de 9, 10ⁿ −1est un multiple de 9 pour tout n∈ et n≥1. La suite de la démonstration est rigoureusement identique :

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

n n n

a − +a₋ ⁻ − +a₋ ⁻ − + + ×a − +a − est un multiple de 9.

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

n n n

a − +a₋ ⁻ − +a₋ ⁻ − + + ×a − +a − = K

Notre nombre m peut donc s’écrire sous la forme : m=9K^'+ +a_n a_n−1+a_n−2+ + +... a₁ a₀

1 2 ... 1 0 3

n n n

s=a +a₋ +a₋ + + +a a = q

Si cette somme est un multiple de 9, m peut s’écrire sous la forme:

( )

'

1 2 1 0

9 ...

9 ' 9

9 '

n n n

m K a a a a a

m K q

m K q

− −

= + + + + + +

= +

= +

Quod erat demonstrandum !