Évaluation 4 – Fonctions et vecteurs
Exercice I (3 points)
Sur la figure ci-dessous, ABCD est un carré. Les points I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]. De plus, O est le centre du carré.
A D
C B
•
•
• •
•
I
J
K L
O
Recopier le tableau suivant et compléter, sans justification, chaque case par « oui » ou
« non ».
Les vecteurs : ont même direction ont même sens ont même norme sont égaux
−→AL et−→
−→ JB AI et−→
−→ KC
AO et −→
−→ OK IB et −→
− DC
→IL et −→
−→ DB
AC et−→
DB Solution:
Les vecteurs : ont même direction ont même sens ont même norme sont égaux
−→AL et−→
JB oui non oui non
−→
AI et−→
KC oui oui oui oui
−→AO et −→
OK non non non non
−→
IB et −→
DC oui oui non non
−
→IL et −→
DB oui non non non
−→AC et−→
DB non non oui non
Exercice II (3 points)
Soient A, B, C et D quatre points du plan.
1. On considère la proposition suivante : (112 points)
(P) : « Si −→
AC =−→
BD, alors le quadrilatère ACDB est un rectangle ».
(a) La proposition (P) est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Solution:
D’après le cours, si −→
AC = −→
BD, on en déduit que le quadrilatère ACDB est un pa- rallélogramme mais pas nécessairement un rectangle. La proposition (P) est donc fausse.
(b) Énoncer la réciproque de la proposition (P). Cette réciproque est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Solution:
La réciproque est : « Si le quadrilatère ACDB est un rectangle, alors −→
AC =−→
BD ».
Cette proposition est vraie. En effet, si ACDB est un rectangle, alors c’est un paral- lélogramme. D’après le cours, on en déduit que −→
AC=−→
BD.
2. On considère la proposition suivante : (112 points)
(Q) : « Si−→
AC =−→
CD, alors les points A, C et D sont alignés ».
(a) La proposition (Q) est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Solution:
La proposition (Q) est vraie. En effet, −→
AC=−→
CD, on en déduit que C est le milieu de [AD]. C’est donc que les points A, C et D sont alignés.
(b) Énoncer la réciproque de la proposition (Q). Cette réciproque est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
Solution:
La réciproque est : « Si les points A, C et D sont alignés, alors −→
AC=−→
CD ».
Cette proposition est fausse. En effet, si C n’est pas le milieu de [AD], alors l’égalité
−→AC =−→
CD sera fausse.
Exercice III (4 points)
1. Construire un triangle ABC isocèle et rectangle en A tel que AB= 3cm. (1 point) Construire ensuite le point D tel que −→
AB=−→
BD.
Solution:
A B
C
D
2. Déterminer la nature du triangle ADC. Justifier. (1 point)
Solution:
On sait que k−→
ABk=k−→
BDk. On en déduit que B est le milieu de [AD].
Ainsi, les points A, B et D sont alignés donc on en déduit que DAC[ =BAC[ = 90◦. Finalement, on peut donc en déduire que ADC est rectangle en A.
3. Calculer k−→ (2 points)
CDk.
Solution:
Comme le triangle ADC est rectangle en A, on peut utiliser le théorème de Pythagore.
On a donc :
k−→
CDk2 =AC2+AD2
= 32+ 62
= 45
Ainsi, on en déduit quek−→
CDk=√
45 =√
9×5 = 3√ 5cm.
Exercice IV (6 points)
On considère un rectangle ABDC tel que AB= 4 et AC=x∈[0 ; +∞[.
1. On note P(x) le périmètre du rectangle ABDC. Justifier que pour tout x, (2 points) P(x) = 2x+ 8.
Solution:
Le périmètre du rectangle est donné par la formule suivante :
P(x) = 2×AC+ 2×AB= 2x+ 2×4 = 2x+ 8.
2. Dans cette question, on suppose que AC= 3. (2 points)
Quelle est la valeur du périmètre de ABDC ?
Solution:
On a x= 3. La question revient donc à calculer l’image de 3 par P. P(3) = 2×3 + 8 = 14.
3. Dans cette question, on suppose que le périmètre de ABDC est de 11. (2 points) Quelle est la longueur AC ?
Solution:
La question revient à calculer l’antécédent de 11 parP. On résout donc l’équationP(x) = 11:
2x+ 8 = 11 2x= 11−8 2x= 3
x= 3 2 Finalement, on a donc AC= 3
2 = 1,5.
Exercice V (4 points)
Un coureur à pied parcourt une distance d = 10km. La vitesse moyenne de course v (en
km.h−1) est liée au temps de courset (en heures) par la formule suivante : v = d
t.
1. Exprimer t en fonction de v. (1 point)
Solution:
On a v = d
t donc t= d v = 10
v .
2. Tracer la courbe det en fonction dev à l’aide de la calculatrice pour une vitessev comprise(1 point) entre 8km.h−1 et20km.h−1 puis recopier la courbe obtenue.
Solution:
3. Déterminer graphiquement quelle est la vitesse correspondant à un temps de 40min. (1 point)
Solution:
On sait que 40min = 2
3h. Ainsi, on lit graphiquement l’antécédent de 2
3 ' 0,66 par la
fonction. Cet antécédent est environ 15km/h.
4. Retrouver ce résultat par le calcul. (1 point)
Solution:
Par le calcul, on a v = d t = 10
t = 10
2 3
= 10×3
2 = 15km/h.
