Algèbre
Corps des nombres complexes
Denis Vekemans∗
Exercice 1 Pour chacun des nombres complexes suivants, donner les parties réelles et imaginaires, le module et l’argument.
(a) 3 + 4ı; (b) 12(1 +ı)(1 +ı−8); (c) 1ı ; (d) ı+1ı
−1; (e) (ı+1)ı−12 ; (f) 3e8ı;
(g) 3ı+ 2eıπ.
Exercice 2 Calculer l’inverse et le carré des nombres complexes1 + 5ı et 1+ı√ 2. Exercice 3 Montrer que, pour toutz∈C,
(a) exp(¯z) = (expz); (b) |expz|= exp(ℜ(z)).
Exercice 4 Linéariser
sin3(2t) cos2(t).
Exercice 5 (a) Trouver les racines cubiques de−ı; (b) Trouver les racines quatrièmes de −16; (c) Trouver les racinesnèmes de2n.
Exercice 6 Résoudre dansC les équations : (a) z2 = 1+ı√
2 ; (b) z3 = 1+ı√3
1−ı√
3; (c) z2−(3 + 4ı)z−1 + 5ı= 0; (d) 27(z−1)6+ (z+ 1)6= 0.
Exercice 7 Indiquer sur un dessin les parties du plan contenant les points représentatifs des complexes qui satisfont aux conditions suivantes
(a) |z−3ı|= 5; (b) z+ ¯z= 1; (c) z+ ¯z=|z|2;
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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(d) zz¯ =i; (e) z−z¯z=z¯z−z; (f)
z−1 z−2
<1; Exercice 8 SoitP un polynôme à coefficients réels.
(a) Montrer que pour un complexe quelconque zon aP(z) =P(¯z).
(b) Déduisez-en que siP admet z comme racine, il admet aussiz¯comme racine.
(c) Sachant que√
3−ıest racine dex3+ (3−2√
3)x2+ (4−6√
3)x+ 12, trouver les autres racines.
Exercice 9 (Partiel 2005) Soit(C,+,·) le corps des nombres complexes.
On appelle automorphisme de corps un automorphisme d’anneau unitaire d’un corps dans lui-même.
Les questions suivantes sont indépendantes ...
(a) Résoudre dansCl’équation x6 =−1.
(b) Calculer dansC le nombre complexe(1+ı√3
1−ı√ 3)10.
(c) L’applicationf :C→Cdéfinie parf(a+ıb) =a−ıb est-elle un automorphisme de corps ? (d) L’applicationg:C→Cdéfinie par g(a+ıb) = 2(a−ıb) est-elle un automorphisme de corps ?
Exercice 10 Soita∈R. Résoudre dans Cl’équation
(z+ 1)n=e2ına. En déduire, pour tout entiernnaturel non nul, la valeur de
Pn=
n−1
Y
k=0
sin
a+ kπ n
.
Exercice 11 Soitθ∈R. Calculer pour θ6= 0,
n
X
k=0
ekıθ. En déduire que pourθ6= 0,
n
X
k=0
cos(kθ) = cos(nθ
2 )sin((n+1)θ2 ) sin(θ2) ,
et n
X
k=1
sin(kθ) = sin(nθ
2 )sin((n+1)θ2 ) sin(θ2) . Prolonger ces formules pour θ= 0.
Exercice 12 Soient(p, q)∈R. On se propose de résoudre l’équation du troisième degré(E) : x3+px+q= 0 par la méthode de Cardan (1501-1576).
L’idée est de chercherx sous la formex=u+v en imposant la condition (C) : 3uv+p= 0.
1. Démontrer queu vérifieu6+qu3− p273 = 0.
2. Résoudre cette équation.
3. En déduire les trois racines de(E) dansC.
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Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
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