Cours 7
3.2 PRODUIT
VECTORIEL
Au dernier cours, nous avons vu
2
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Le déterminant en dimension 3.
2
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Le déterminant en dimension 3.
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant.
2
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Le déterminant en dimension 3.
✓ Le calcul d’un volume à l’aide du déterminant.
✓ La façon de résoudre un système d’équations linéaires à trois équations et à trois inconnues à l’aide de la règle de Cramer.
2
Aujourd’hui, nous allons voir
3
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ La façon de trouver un vecteur dans l’espace qui est simultanément perpendiculaire à deux autres.
3
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ La façon de trouver un vecteur dans l’espace qui est simultanément perpendiculaire à deux autres.
✓ La définition du produit vectoriel.
3
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ La façon de trouver un vecteur dans l’espace qui est simultanément perpendiculaire à deux autres.
✓ La définition du produit vectoriel.
✓ La définition du produit mixte.
3
Question:
4
Question:
Étant donné deux vecteurs dans l’espace, comment en trouver un qui soit simultanément perpendiculaire
aux deux autres?
4
Réponse géométrique:
5
Réponse géométrique:
5
Réponse géométrique:
5
Réponse géométrique:
5
Réponse géométrique:
5
Réponse géométrique:
5
Réponse géométrique:
Hum... y en a trop!
5
Réponse algébrique:
6
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
6
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
6
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
6
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit On cherche
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit On cherche
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
réponse facile:
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
réponse facile:
6
et .
Réponse algébrique:
Celle qui vient le plus naturellement!
Soit
On cherche telle que et ,
c’est-à-dire et .
réponse facile:
6
et .
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
mais
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
mais
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
mais
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
mais d’où
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
donc, mais
d’où
7
Maintenant, il ne reste plus qu’à trouver x.
donc, mais
d’où
7
En résumant,
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
En résumant,
Ce qui motive la définition suivante.
Bizarrement, on peut réécrire ceci en termes de déterminants.
8
Définition:
9
Définition: Soit , et
9
Définition: Soit , et
9
.
Définition:
Le produit vectoriel de deux vecteurs est l’opération interne définie comme suit:
Soit , et
9
.
Définition:
Le produit vectoriel de deux vecteurs est l’opération interne définie comme suit:
Soit , et
9
.
Définition:
Le produit vectoriel de deux vecteurs est l’opération interne définie comme suit:
Soit , et
9
.
Définition:
Le produit vectoriel de deux vecteurs est l’opération interne définie comme suit:
Soit , et
9
.
Définition:
Le produit vectoriel de deux vecteurs est l’opération interne définie comme suit:
Soit , et
On a déjà vérifié que
9
.
Définition:
Le produit vectoriel de deux vecteurs est l’opération interne définie comme suit:
Soit , et
On a déjà vérifié que
9
.
et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Exemple:
10
Soient et
Faites les exercices suivants
11
p. 113, # 1 et 3
Propriétés du produit vectoriel
12
Propriétés du produit vectoriel PV1.
12
Propriétés du produit vectoriel PV1.
12
PV2.
Propriétés du produit vectoriel PV1.
PV3.
12
PV2.
Propriétés du produit vectoriel PV1.
PV3.
PV4.
12
PV2.
Propriétés du produit vectoriel PV1.
PV3.
PV4.
12
PV2.
PV5.
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Les quatre premières découlent directement des propriétés des déterminants.
13
Le sens de suit la règle de la main droite.
Non-propriétés du produit vectoriel
14
Non-propriétés du produit vectoriel
14
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif)
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Non-propriétés du produit vectoriel
(non associatif) Car
14
Car (anti commutatif)
(non commutatif)
Calculons sa norme.
15
Calculons sa norme.
Hum... pas facile!
15
Calculons sa norme.
Hum... pas facile!
Commençons par vérifier l’identité suivante:
15
Calculons sa norme.
Hum... pas facile!
Commençons par vérifier l’identité suivante:
15
Calculons sa norme.
Hum... pas facile!
Commençons par vérifier l’identité suivante:
15
Calculons sa norme.
Hum... pas facile!
Commençons par vérifier l’identité suivante:
15
Calculons sa norme.
Hum... pas facile!
Commençons par vérifier l’identité suivante:
15
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
17
Donc, on a bien
17
Donc, on a bien
17
Donc, on a bien d’où on tire
17
Donc, on a bien d’où on tire
17
Donc, on a bien d’où on tire
Mais
17
Donc, on a bien d’où on tire
Mais
17
Donc, on a bien d’où on tire
Mais
17
Donc, on a bien d’où on tire
Mais
17
Donc, on a bien d’où on tire
Mais
17
18
18
18
18
18
18
18
18
aire du parallélogramme
18
Faites les exercices suivants
19
p. 113, # 5 et 6.
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Exemple:
20
Théorème:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
21
Théorème:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
21
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
21
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
21
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
21
Si
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors
21
Si
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si , Si
Théorème:
Preuve:
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si , Si
Théorème:
Preuve:
mais
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si , Si
Théorème:
Preuve:
mais
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si , Si
Théorème:
Preuve:
mais
donc, et ,
Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors
, alors et donc,
21
Si , Si
