Exercices sur les espaces normés

(1)

Espaces normés

Normes

Exercice 1 [ 00454 ][correction]

SoientN₁, N₂deux normes sur un R-espace vectoriel E.

a) On noteB₁={x∈E/N₁(x)61} etB₂={x∈E/N₂(x)61}.

Montrer

B₁=B₂⇒N₁=N₂ b) Même question avec les boules unités ouvertes.

On définit surE=C⁰([0,1],R) une norme par N(f) =

Z 1 0

|f(t)|dt a) Soienta, b>0 etu, v >0. Etablir que

√a+

√

b= 1⇒ 1 u+v 6 a

u+b v b) Soientf, g∈E telles quef, g >0. Montrer

N((f+g)⁻¹)6 N(f)²N(f⁻¹) +N(g)²N(g⁻¹) (N(f) +N(g))² c) En déduire que

N(f+g)N((f+g)⁻¹)6max(N(f)N(f⁻¹), N(g)N(g⁻¹)) Exercice 3 [ 02766 ][correction]

Soit (E,kk) un espace vectoriel normé surK(K=RouC).

a) Montrer que pour tousx, y∈E

kxk+kyk62 max{kx+yk,kx−yk}

b) Montrer que l’on peut avoir l’égalité avecx6= 0 ety6= 0.

Désormais la norme est euclidienne.

c) Montrer que pour tousx, y∈E kxk+kyk6√

2 max{kx+yk,kx−yk}

d) Peut-on améliorer la constante√ 2 ?

Soitn∈Navecn>2. Existe-t-il une normek.ksur Mn(C) invariante par conjugaison, c’est-à-dire telle que :

∀(A, P)∈ Mn(C)×GLn(C),kAk=

P⁻¹AP

Etude de normes

PourA= (ai,j)∈ Mn,p(K). On pose

kAk₁=

n

X

i=1 p

X

j=1

|ai,j|, kAk₂= v u u t

n

X

i=1 p

X

j=1

|ai,j|² et kAk_∞= max

16i6n,16j6p|ai,j| Montrer quek.k₁,k.k₂ etk.k_∞ définissent des normes surMn,p(K).

PourA= (ai,j)∈ Mn(R) on pose

kAk=





n

X

i,j=1

a²_i,j





1/2

Montrer quek.k est une norme matricielle i.e. que c’est une norme surMn(R) vérifiant

∀A, B∈ Mn(R), kABk6kAk kBk

PourA= (ai,j)∈ Mn(C), on pose kAk= sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|

a) Montrer quek.kdéfinit une norme sur Mn(C).

b) Vérifier

∀A, B ∈ Mn(C),kABk6kAk kBk

(2)

PourA= (ai,j)∈ Mn(C), on pose kAk= sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|

a) Montrer quek.kest une norme d’algèbre sur Mn(C).

b) Montrer que siλest valeur propre deAalors|λ|6kAk.

Soientp >1 etq >1 tel que 1/p+ 1/q= 1.

a) Montrer que poura, b>0

ab6 1 pa^p+1

qb^q

Pourx= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ ety= (y₁, . . . , y_n)∈Kⁿ, on pose :

kxk_p=

n

X

i=1

|xi|^p

!^1/p

et kyk_q =

n

X

i=1

|yi|^q

!^1/q

b) Soitxet y dansKⁿ non nuls. Établir

|x_iy_i| kxk_pkyk_q 6 1

p

|x_i|^p kxk^p_p +1

q

|y_i|^q kyk^q_q et en déduire

n

X

i=1

|x_iy_i|6kxk_pkyk_q

c) En écrivant

(|xi|+|yi|)^p=|xi|(|xi|+|yi|)^p−1+|yi|(|xi|+|yi|)^p−1 justifier

kx+yk_p6kxk_p+kyk_p d) Conclure quek.k_p définit une norme surKⁿ.

Pourx= (x1, . . . , xn)∈Kⁿ et p>1 on pose kxk_p =

n

X

i=1

|xi|^p

!^1/p

Montrer

kxk_∞= lim

p→+∞kxk_p

Soienta1, . . . , an des réels etN :Kⁿ→Rl’application définie par N(x1, . . . , xn) =a1|x1|+· · ·+an|xn|

A quelle condition sur lesa₁, . . . , a_n, l’applicationN définit-elle une norme sur Kⁿ?

Soientf1, . . . , fn: [0,1]→Rcontinues.

A quelle condition l’application

N : (x1, . . . , xn)7→ kx1f1+· · ·+xnfnk_∞ définit-elle une norme surRⁿ?

Montrer que l’applicationN :R²→Rdéfinie par N(x₁, x₂) = sup

t∈[0,1]

|x₁+tx₂| est une norme surR².

Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci àk.k_∞.

On note`¹(N,K) l’ensemble des suitesu= (un)∈K^Nsommable i.e.

`¹(N,K) =n

u∈K^N/X

|un|<+∞o

(3)

Montrer que`¹(N,K) est unK-espace vectoriel et que l’application donnée par kuk₁=

+∞

X

n=0

|un|

y définit une norme

SoitIun intervalle d’intérieur non vide deR. On note L¹(I,K) l’ensemble des fonctionsf :I→Kcontinues et intégrables i.e.

L¹(I,K) =

f ∈ C(I,K)/

Z

I

|f|<+∞

Montrer queL¹(I,K) est unK-espace vectoriel et que kfk₁=

Z

I

|f(t)|dt y définit une norme.

SoitIun intervalle d’intérieur non vide deR. On note L²(I,K) l’ensemble des fonctionsf :I→Kcontinue et de carré intégrable i.e.

L²(I,K) =

f ∈ C(I,K)/

Z

I

|f|²<+∞

Montrer queL²(I,K) est unK-espace vectoriel et que kfk₂=

Z

I

|f(t)|² dt 1/2

y définit une norme.

On note`²(N,K) l’ensemble des suitesu= (u_n)∈K^Nde carré sommable i.e.

`²(N,K) =n

u∈K^N/X

|un|²<+∞o

Montrer que`²(N,K) est unK-espace vectoriel et que l’application donnée par kuk₂=

+∞

X

n=0

|un|²

!^1/2

y définit une norme.

On introduit une normek.k sur l’espace des colonnesMn,1(R) en posant Non défin

et noteS l’ensemble formé des colonnes deMn,1(R) de norme égale à 1.

a) SoitA∈ Mn(R). Montrer l’existence de sup

X∈S

kAXk b) On pose

N(A) = sup

X∈S

kAXk

Justifier que pour toutX ∈ Mn,1(R),kAXk6N(A)kXk.

c) Vérifier queN définit une norme surM_n(R).

d) Montrer

N(A) = sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|

Distance

On norme l’espaceB(N,R) des suites bornées par la norme infinie notéek.k_∞. Déterminer la distance de la suiteeconstante égale à 1 au sous-espace vectorielC0

des suites réelles convergeant vers 0.

On norme l’espaceB(N,R) des suites bornées par la norme infini notéek.k_∞. Déterminer la distance de la suiteu= ((−1)ⁿ)n∈Nau sous-espace vectorielC des suites réelles convergentes.

(4)

On norme l’espaceB(N,R) des suites bornées par la norme infini notéek.k_∞. Pourx∈ B(N,R), on note ∆xla suite de terme général

∆x(n) =x(n+ 1)−x(n) puis on formeF ={∆x/x∈ B(N,R)}.

Déterminer la distance de la suiteeconstante égale à 1 au sous-espace vectorielF.

SoitE l’espace des fonctions bornées de [−1,1] vers Rnormé par kfk_∞= sup

x∈[−1,1]

|f(x)|

Déterminer la distance de la fonction f :x7→







1 six∈]0,1]

0 six= 0

−1 six∈[−1,0[

au sous-espace vectorielF deE formé des fonctions continues de [−1,1] vers R.

Comparaison de normes

SoitE=C⁰([0,1],R). On définit les normesk.k₁,k.k₂ etk.k_∞ par : kfk₁=

Z 1 0

|f(t)|dt, kfk₂= Z 1

0

f(t)²dt ^1/2

et kfk_∞= sup

[0,1]

|f| a) Montrer quek.k_∞ est plus fine quek.k₁ etk.k₂ mais qu’elle n’équivaut ni à l’une, ni à l’autre.

b) Comparerk.k₁ etk.k₂.

SoitE=C¹([−1,1],R). On définit N₁, N₂ etN₃ par N1(f) = sup

[−1,1]

|f|, N2(f) =|f(0)|+ sup

[−1,1]

|f⁰| etN3(f) = Z 1

−1

|f| a) Montrer queN₁, N₂et N₃sont des normes surE.

b) ComparerN1 etN2 d’une part,N1 etN3 d’autre part.

Soient l’espaceE=

f ∈ C¹([0,1],R)/f(0) = 0 et N l’application définie surE par

N(f) =N∞(3f+f⁰)

a) Montrer que (E, N) est un espace vectoriel normé puis qu’il existeα >0 tel queN∞(f)6αN(f).

b) Les normesN∞ et N sont-elles équivalentes ?

SoientE=C¹([0,1],R) etN :E→R⁺ définie par N(f) =

s f²(0) +

Z 1 0

f⁰²(t)dt a) Montrer queN définit une norme surE.

b) ComparerN et k.k_∞.

SurR[X] on définit N₁et N₂ par : N1(P) =

+∞

X

k=0

P^(k)(0)

etN2(P) = sup

t∈[−1,1]

|P(t)|

a) Montrer queN₁ etN₂ sont deux normes surR[X].

b) Etudier la convergence pour l’une et l’autre norme de la suite de terme général Pn= 1

nXⁿ c) Les normesN1et N2 sont-elles équivalentes ?

On noteR⁽^N⁾l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.

On définit des normesk.k₁, k.k₂et k.k_∞ surR⁽^N⁾en posant kuk₁=

+∞

X

n=0

|un|, kuk₂=

+∞

X

n=0

u²_n

!^1/2

et kuk_∞= sup

n∈N

|un| a) Comparerk.k₁ etk.k_∞.

b) Comparerk.k₁ etk.k₂.

(5)

On note`¹(N,R) l’espace des suites réelles sommables. Cet espace est normé par kuk₁=

+∞

X

n=0

|un| a) Soitu∈`¹(N,R). Montrer queuest bornée.

Cela permet d’introduire la normek.k_∞définie par kuk_∞= sup

n∈N

|un| Comparerk.k₁ etk.k_∞.

b) Soitu∈`¹(N,R). Montrer queuest de carré sommable Cela permet d’introduire la normek.k₂définie par

kuk₂=

+∞

X

n=0

u²_n

!^1/2

Comparerk.k₁ etk.k₂.

On noteB(N,R) l’espace des suites réelles bornées normé park.k_∞.

a) Soita= (an) une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suiteapour que l’application

N_a:x7→

+∞

X

n=0

a_n|x_n| définit une norme surB(N,R).

b) ComparerN_a et k.k_∞. Exercice 31 [ 00039 ][correction]

a) Montrer que

N_∞(u) = sup

n∈N

|un| et N(u) = sup

n∈N

|un+1−un|

définissent des normes sur l’espaceE des suites réelles bornéesu= (un)_n∈Ntelles queu0= 0.

b) Montrer que

∀u∈E, N(u)62N_∞(u) Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.

c) Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Comparaison de normes équivalentes

On noteE=C¹([0,1],R).

a) Pourf ∈E, on pose

N(f) =|f(0)|+kf⁰k_∞ Montrer queN est une norme sur E.

b) Pourf ∈E, on pose

N⁰(f) =kfk_∞+kf⁰k_∞

On vérifie aisément queN⁰ est une norme surE. Montrer qu’elle est équivalente à N.

c) Les normesN et N⁰ sont elles équivalentes àk.k_∞?

Soient l’espaceE=

f ∈ C¹([0,1],R)/f(0) = 0 et N1, N2 les applications définies surE par

N1(f) =kf⁰k_∞ et N2(f) =kf +f⁰k_∞ a) Montrer queN₁ etN₂ définissent des normes surE.

b) Montrer queN₂ est dominée parN₁. c) En exploitant l’identité

f(x) = e^−x Z x

0

(f(t) +f⁰(t)) e^tdt montrer queN1est dominée parN2.

On noteE leR-espace vectoriel des fonctionsf : [0,1]→Rde classeC¹ vérifiant f(0) = 0. Pourf ∈E, on pose

N1(f) = sup

x∈[0,1]

|f(x)|+ sup

x∈[0,1]

|f⁰(x)| etN2(f) = sup

x∈[0,1]

|f(x) +f⁰(x)|

Montrer queN1 etN2 sont deux normes surE et qu’elles sont équivalentes.

(6)

Soit

E=

f ∈ C²([0, π],R)/f(0) =f⁰(0) = 0 a) Montrer que

N :f 7→ kf+f⁰⁰k_∞ est une norme surE.

b) Montrer queN est équivalente à

ν :f 7→ kfk_∞+kf⁰⁰k_∞

SoientE=C([0,1],R) etE⁺ l’ensemble des fonctions deE qui sont positives et ne s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonctionϕ∈E⁺ et pour toute fonctionf ∈E on pose

kfk_ϕ= sup

t∈[0,1]

{|f(t)|ϕ(t)}

a) Montrer quek.k_ϕ est une norme surE

b) Montrer que siϕ₁ etϕ₂sont deux applications strictement positives deE⁺ alors les normes associées sont équivalentes.

c) Les normesk.k_xet k.k_x2 sont elles équivalentes ?

SoientE=C([0,1],R) etE⁺ l’ensemble des fonctions deE qui sont positives et ne s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonctionϕ∈E⁺ et pour toute fonctionf ∈E on pose

kfk_ϕ= Z 1

0

|f(t)|ϕ(t) dt a) Montrer quek.k_ϕ est une norme surE

b) Montrer que siϕ₁ etϕ₂sont deux applications strictement positives deE⁺ alors les normes associées sont équivalentes.

c) Les normesk.k_xet k.k_x2 sont elles équivalentes ?

Equivalence de normes en dimension finie

SoitN une norme surMn(R). Montrer qu’il existec >0 tel que N(AB)6cN(A)N(B)

Soientn∈Net El’espace des polynômes réels de degrés inférieurs à n.

Montrer qu’il existeλ >0 vérifiant

∀P ∈E, Z 1

0

|P(t)|dt>λ sup

t∈[0,1]

|P(t)|

Pourd∈N, on poseE=Rd[X] l’espace des polynômes réels en l’indéterminéeX de degrés inférieurs ou égaux àd.

a) Pourξ= (ξ0, . . . , ξd) famille de d+ 1 nombres réels distincts etP ∈E, on pose Nξ(P) =

d

X

k=0

|P(ξk)|

Montrer queNξ définit une norme sur E.

b) Soit (Pn) une suite de polynômes éléments deE. Pour toutn∈N, on écrit Pn=

d

X

k=0

ak,nX^k

Etablir que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) la suite de fonctions (Pn) converge simplement surR;

(ii) la suite de fonctions (Pn) converge uniformément sur tout segment deR; (iii) pour toutk∈ {0, . . . , d}, la suite (ak,n) converge.

SoitEun sous-espace vectoriel de dimension finied>1 de l’espaceC([0,1],R) de fonctions continues.

a) Etablir l’existence de (a1, . . . , ad)∈[0,1]^d tel que l’application N :f ∈E7→

d

X

i=1

|f(ai)|

soit une norme.

b) Soit (fn) une suite de fonctions deE qui converge simplement vers une fonctionf : [0,1]→R.

Montrer quef est élément deE et que la convergence est uniforme.

(7)

Montrer que si (Pn) est une suite de fonctions polynomiales de degré inférieur àN convergeant simplement vers une fonctionf surRalorsf est une fonction polynomiale.

a) Quelles sont les valeurs dea∈Rpour lesquelles l’application (x, y)7→Na(x, y) =p

x²+ 2axy+y² définit une norme surR².

b) SiNa etNb sont des normes, calculer inf

(x,y)6=0

Na(x, y)

Nb(x, y) et sup

(x,y)6=0

Na(x, y) Nb(x, y)

Suites de vecteurs

SoientA, B∈ Mp(R). On suppose

(AB)ⁿ→Op

Montrer que

(BA)ⁿ→Op

SoientA, B∈ Mn(R) telles que A^k−−−−−→

k→+∞ P et B^k−−−−−→

k→+∞ Q

On suppose que les matricesA etB commutent. Montrer que les matricesP etQ commutent.

Soit (A_n) une suite de matrices inversibles deM_p(K).

On suppose

A_n→Aet A⁻¹_n →B Montrer queAest inversible et déterminer son inverse.

A quelle condition surA∈ Mp(K) existe-t-ilM ∈ Mp(K) telle que Mⁿ−−−−−→

n→+∞ A?

SoitA∈ Mp(C). On suppose que la suite (Aⁿ)n∈Nconverge versB.

Montrer queB est semblable à une matrice diagonale n’ayant que des 0 et des 1.

a) SoitA∈ Mp(R) diagonalisable vérifiant Sp(A)⊂]−1,1[. MontrerAⁿ→Op. b) Même question avec trigonalisable au lieu de diagonalisable.

Soit (A_n) une suite convergente d’éléments deM_n(K) et de limiteA_∞. Montrer que pournassez grand

rg(An)>rg(A∞) Exercice 51 [ 03475 ][correction]

Soit (Ak) une suite de matrice deMn(C) convergeant versA∈ Mn(C).

On suppose que lesAk sont tous de rangpdonné. Montrer que rgA6p.

Soitq∈N^?. On noteE_q l’ensemble desA∈GL_n(C) telles que A^q =In

a) Que dire deA∈E_q telle que 1 est seule valeur propre deA? b) Montrer queIn est un point isolé deEq.

Soita∈R. Déterminer lim

n→+∞Aⁿ_n avec An =

1 −a/n a/n 1

SoitA∈ M_n(R) une matrice antisymétrique telle que la suite (A^k)_k∈_Nconverge versB dansM_n(R).

Que dire deB?

(8)

Séries de vecteurs

SoitM ∈ Mn(C). Montrer l’équivalence de :

(i) toute valeur propre deM est de module strictement inférieur à 1 ; (ii) la suite (M^k) tend vers 0 ;

(iii) la série de terme généralM^k converge.

SoientE un espace de dimension finie de normek.k etf une application de E versE.

On dit quef est contractante si

∃k∈[0,1[,∀x, y∈E,kf(y)−f(x)k6kky−xk

a) On suppose quef est contractante et l’on introduit la suite (xn)n∈Ndéterminée par

x₀∈E et∀n∈N, x_n+1=f(x_n) Montrer que la convergence de la sériePx_n+1−x_n. En déduire quef admet un unique point fixe.

b) Montrer que s’il existep∈N^? tel quef^p soit contractante alorsf admet un unique point fixe.

(9)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a) Soitx∈E. Six= 0 alorsN1(x) =N2(x) = 0. Sinon : Posonsy=_N^x

1(x). On ay∈B1⊂B2 doncN2(y)61 d’oùN2(x)6N1(x).

De manière symétriqueN₁(x)6N₂(x) puis l’égalité.

b) On reprend la démarche ci-dessus à partir de

y= x

N₁(x) +ε

avecε >0 pour obtenirN2(x)< N1(x) +εavant de faire tendreεvers 0.

a) Par réduction au même dénominateur a

u+b v − 1

u+v =av(u+v) +bu(u+v)−uv uv(u+v)

qu’on peut réécrire a u+b

v − 1

u+v =(√ av−√

bu)²+ (a+b+ 2√

ab−1)uv uv(u+v)

et si√ a+√

b= 1 alors a u+b

v− 1

u+v =(√ av−√

bu)² uv(u+v) >0 b)

N((f +g)⁻¹) = Z 1

0

dt

f(t) +g(t) 6a Z 1

0

dt f(t)+b

Z 1 0

dt

g(t) =aN(f⁻¹) +bN(g⁻¹) qui donne l’inégalité voulue avec

a= N(f)²

(N(f) +N(g))² etb= N(g)² (N(f) +N(g))² qui sont tels que√

a+√ b= 1.

c) Par l’inégalité triangulaire

N(f+g)N((f+g)⁻¹)6(N(f) +N(g))N((f+g)⁻¹)

et en vertu de ce qui précède

N(f+g)N((f+g)⁻¹)6 N(f)²N(f⁻¹)

N(f) +N(g) +N(g)²N(g⁻¹) N(f) +N(g) qui donne

N(f+g)N((f+g)⁻¹)6 N(f)

N(f) +N(g)M + N(g)

N(f) +N(g)M =M avec

M = max(N(f)N(f⁻¹), N(g)N(g⁻¹)) Document3

a)x=¹₂(x+y) +¹₂(x−y) donc

kxk6max{kx+yk,kx−yk}

Aussikyk6max{kx+yk,kx−yk}donc

kxk+kyk62 max{kx+yk,kx−yk}

b) SurR² aveckk=kk_∞, il y a égalité pour x= (1,0) ety= (0,1).

c) On a déjà

(kxk+kyk)²62kxk²+ 2kyk² Orx= ¹₂(x+y) +¹₂(x−y) donne

kxk²=1 4

kx+yk²+kx−yk²+ 2kxk²−2kyk² aussi

kyk²=1 4

kx+yk²+kx−yk²−2kxk²+ 2kyk² donc

kxk²+kyk²61 2

kx+yk²+kx−yk² puis

(kxk+kyk)²62 max{kx+yk,kx−yk}² qui permet de conclure.

d) Non, surR², il y a égalité pourx= (1,0) ety= (0,1).

(10)

Casn= 2

Par l’absurde supposons qu’une telle norme existe.

PosonsA=

0 1 0 0

etB=

0 2 0 0

.

Les matricesAetB sont semblables (viaP = diag(1/2,1)) donckAk=kBk. Or B= 2A donckBk= 2kAkpuiskAk= 0.

C’est absurde carA6=O₂. Cas général : semblable.

Ce sont les normes usuelles associées à la base canonique surMn,p(K).

k.kest une norme surMn(R) car c’est la norme 2 associée à la base canonique de Mn(R).

On a

kABk²=

n

X

i,j=1 n

X

k=1

a_i,kb_k,j

!²

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

n

X

k=1

ai,kbk,j

!² 6

n

X

k=1

a²_i,k

n

X

`=1

b²_`,j

donc

kABk²6

n

X

i,k=1

a²_i,k

n

X

j,`=1

b²_`,j =kAk²kBk² puis

kABk6kAk kBk

a) L’applicationk.kest bien définie deMn(C) dansR⁺. SikAk= 0 alors

∀16i6n,

n

X

j=1

|ai,j|= 0

et donc

∀16i, j6n, ai,j= 0 ainsi la matriceA est nulle.

De plus

kλAk= sup

16i6n n

X

j=1

|λai,j|= sup

16i6n

|λ|

n

X

j=1

|ai,j|=|λ| sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|=|λ| kAk et

kA+Bk= sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j+bi,j|6 sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|+|bi,j| donc

kA+Bk6 sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|+ sup

16i6n n

X

j=1

|bi,j|=kAk+kBk b) On a

kABk= sup

16i6n n

X

j=1

n

X

k=1

ai,kbk,j

6 sup

16i6n n

X

j=1 n

X

k=1

|ai,kbk,j| Or

n

X

j=1 n

X

k=1

|a_i,kb_k,j|6

n

X

k=1 n

X

j=1

|a_i,k| |b_k,j|=

n

X

k=1

|a_i,k|

n

X

j=1

|b_k,j|6

n

X

k=1

|a_i,k| kBk6kAk kBk

donc

kABk6kAk kBk

a) L’applicationk.k est bien définie deMn(C) dansR⁺. SikAk= 0 alors

∀16i6n,

n

X

j=1

|ai,j|= 0 et donc

∀16i, j6n, ai,j= 0 ainsi la matriceA est nulle.

De plus

kλAk= sup

16i6n n

X

j=1

|λai,j|= sup

16i6n

|λ|

n

X

j=1

|ai,j|=|λ| sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|=|λ| kAk

(11)

et

kA+Bk= sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j+bi,j|6 sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|+|bi,j| donc

kA+Bk6 sup

16i6n n

X

j=1

|ai,j|+ sup

16i6n n

X

j=1

|bi,j|=kAk+kBk Enfin

kABk= sup

16i6n n

X

j=1

n

X

k=1

a_i,kb_k,j

6 sup

16i6n n

X

j=1 n

X

k=1

|a_i,kb_k,j|

Or

n

X

j=1 n

X

k=1

|ai,kbk,j|6

n

X

k=1 n

X

j=1

|ai,k| |bk,j|=

n

X

k=1

|ai,k|

n

X

j=1

|bk,j|6

n

X

k=1

|ai,k| kBk6kAk kBk

donc

kABk6kAk kBk b) Soitλ∈Sp(A), il existe X6= 0, AX=λX.

En notantx₁, . . . , xn les éléments de la colonne X (non tous nuls) on a

∀i∈ {1, . . . , n},λxi=

n

X

j=1

ai,jxj

Considéronsi∈ {1, . . . , n}tel que|x_i|= max

16j6n|x_j| 6= 0.

La relation précédente donne :

|λ| |xi|6

n

X

j=1

|ai,j| |xj|6

n

X

j=1

|ai,j| |xi|

donc

|λ|6

n

X

j=1

|ai,j|6kAk

a) L’inégalité vaut poura= 0 oub= 0. Poura, b >0.

La fonction ln est concave :

∀λ∈[0,1] ,∀x, y >0,λln(x) + (1−λ) ln(y)6ln(λx+ (1−λ)y)

Appliquée àx=a^p,y=b^q et λ= 1/pcela donne : 1

pln(a^p) +1

qln(b^q)6ln 1

pa^p+1 qb^q

puis

ab6 1 pa^p+1

qb^q b) On applique le résultat précédent àa= _kxk^|xⁱ^|

p

etb=_kyk^|yⁱ^|

q

pour obtenir

|xiyi| kxk_pkyk_q 6 1

p

|xi|^p kxk^p_p +1

q

|yi|^q kyk^q_q En sommant pouri∈ {1, . . . , n}, on obtient

n

X

i=1

|xiyi| kxk_pkyk_q 6 1

p+1 q = 1 puis

n

X

i=1

|xiyi|6kxk_pkyk_q

c) Par l’inégalité triangulaire kx+yk^p_p=

n

X

i=1

|xi+yi|^p6

n

X

i=1

(|xi|+|yi|)^p Or par l’identité proposée

n

X

i=1

(|xi|+|yi|)^p6

n

X

i=1

|xi|(|xi|+|yi|)^p−1+

n

X

i=1

|yi|(|xi|+|yi|)^p−1 Par l’inégalité du b)

n

X

i=1

(|xi|+|yi|)^p6kxk_p

n

X

i=1

(|xi|+|yi|)^(p−1)q

!^1/q +kyk_p

n

X

i=1

(|xi|+|yi|)^(p−1)q

!^1/q

donc

n

X

i=1

(|xi|+|yi|)^p 6

kxk_p+kyk_p Xⁿ

i=1

(|xi|+|yi|)^p

!1/q

car (p−1)q=pq−q=p

(12)

puis

n

X

i=1

(|xi|+|yi|)^p

!^1/p

6kxk_p+kyk_p car 1−1/q= 1/p(et l’inégalité vaut que

n

P

i=1

(|xi|^p+|yi|^p)6= 0 ou non) Finalement

kx+yk_p6kxk_p+kyk_p

d) Les propriétéskxk_p= 0⇒x= 0 etkλxk_p =|λ| kxk_p sont immédiates.

Sikxk_∞= 0 alorsx= 0 etkxk_p= 0 donc kxk_∞= lim

p→+∞kxk_p Sikxk_∞6= 0. Pour toutp>1,

kxk_∞6kxk_p6(nkxk^p_∞)^1/p =n^1/pkxk_∞−−−−−→

p→+∞ kxk_∞ donc

p→+∞lim kxk_p=kxk_∞

Notons (e1, . . . , en) la base canonique deKⁿ. SiN est une norme alors

N(ei) =ai>0

Il est donc nécessaire que lesa₁, . . . , a_n soient tous strictement positifs pour que N soit une norme.

Inversement, supposons que lesa₁, . . . , a_n sont tous strictement positifs.

L’applicationN est alors à valeurs dansR⁺. La relationN(λx) =|λ|N(x) est immédiate.

Puisque lesai sont positifs, on aN(x+y)6N(x) +N(y) car ai|xi+yi|6ai|xi|+ai|yi|.

Enfin, siN(x) = 0 alors par nullité d’une somme de quantités positives

∀i∈ {1, . . . , n}, a_i|x_i|= 0 donc

∀i∈ {1, . . . , n}, x_i= 0 i.e.x= 0

L’applicationN:Rⁿ →R⁺ est bien définie car toute fonction continue sur le segment [0,1] y est bornée

La liberté de la famille (f1, . . . , fn) est une condition nécessaire car, sinon, une relation linéaire sur la famille (f1, . . . , fn) détermine unn-uplet (x1, . . . , xn) non nul tel queN(x₁, . . . , x_n) = 0.

Inversement, supposons la famille (f₁, . . . , f_n) libre.

Soientλ∈R,x= (x₁, . . . , x_n)∈Rⁿ et y= (y₁, . . . , y_n)∈Rⁿ.

SiN(x) = 0 alorsx₁f₁+· · ·+x_nf_n= 0 et donc (x₁, . . . , x_n) = (0, . . . ,0) car (f₁, . . . , f_n) libre.

N(λx) =kλx₁f₁+· · ·+λxnfnk_∞=kλ(x₁f₁+· · ·+xnfn)k_∞=|λ|N(x).

N(x+y) =k(x1+y1)f1+· · ·+ (xn+yn)fnk_∞=

k(x1f1+· · ·+xnfn) + (y1f1+· · ·+ynfn)k_∞6N(x) +N(y).

FinalementN est une norme surRⁿ

Quandtvarie de 0 à 1, l’expression|x1+tx2| varie de|x1|à |x1+x2| Par suite, on peut exprimer plus simplement l’action deN :

N(x1, x2) = max{|x1|,|x1+x2|}

Soientx= (x1, x2) ety= (y1, y2) deux vecteurs deR².

N(x+y) = max{|x1+y1|,|x1+y1+x2+y2|}6max{|x1|+|y1|,|x1+x2|+|y1+y2|}6N(x)+N(y) Pourλ∈R,

N(λ.x) = max{|λ| |x1|,|λ| |x1+x2|}=|λ|N(x)

Enfin siN(x) = 0 alors|x1|=|x1+x₂|= 0 et doncx₁=x₁+x₂= 0 puisx= 0.

AinsiN définie bien une norme surR². Six₁>0, x₂>0 alorsN(x) =x₁+x₂.

Six₁60, x₂>0 alorsN(x) = max(−x₁,|x₁+x₂|).

Six₁>0, x₂60 alorsN(x) = max(x₁,|x₁+x₂|).

Six₁60, x₂60 alorsN(x) =−(x₁+x₂).

Ces considérations permettent de représenter la boule unité fermée.

(13)

La boule unité fermée pour la norme N De manière immédiate :N(x)62kxk_∞. Aussi|x1|62N(x) et puisque|x2|6|x1+x2|+|x1|on a aussi|x2|62N(x).

On en déduitkxk_∞62N(x).

`¹(N,K)⊂K^Net K^Nest unK-espace vectoriel.

(0)_n∈N∈`¹(K).

Pourλ, µ∈Ketu, v∈`¹(N,K),

|(λu+µv)n|6|λ| |un|+|µ| |vn| Par comparaison de séries à termes positifs

λu+µv∈`¹(N,K)

`¹(N,K) est un sous-espace vectoriel deK^N, c’est donc unK-espace vectoriel.

L’applicationk.k₁:`¹(N,K)→R⁺est bien définie.

Soitu∈`¹(N,K). Sikuk₁= 0 alors

+∞

P

n=0

|un|= 0 donc pour toutn∈N,|un|= 0 et par suiteu= 0.

Soitλ∈Ket u∈`¹(N,K) kλuk₁=

+∞

X

n=0

|λun|=

+∞

X

n=0

|λ| |un|=|λ|

+∞

X

n=0

|un|=|λ| kuk₁ Soitu, v∈`¹(N,K)

ku+vk₁=

+∞

X

n=0

|un+vn|6

+∞

X

n=0

(|un|+|vn|) =

+∞

X

n=0

|un|+

+∞

X

n=0

|vn|=kuk₁+kvk₁

L¹(I,K)⊂ C(I,K) etC(I,K) est unK-espace vectoriel.

˜0∈L¹(I,K).

Soitλ, µ∈Ketf, g∈L¹(I,K).

Pour toutt∈I,

|(λf+µg)(t)|6|λ| |f(t)|+|µ| |g(t)|

donc par comparaison de fonctions positivesλf+µg∈L¹(I,K).

FinalementL¹(I,K) est un sous-espace vectoriel deC(I,K) et c’est donc un K-espace vectoriel.

L’applicationk.k₁:L¹(I,K)→R⁺ est bien définie.

Soitf ∈L¹(I,K). Si kfk₁= 0 alorsR

I|f(t)|dt= 0 or|f|est continue et positive surI d’intérieur non vide doncf = ˜0.

Soitλ∈Ket f ∈L¹(I,K).

kλfk₁= Z

I

|λ| |f(t)|dt=|λ| kfk₁ Soientf, g∈L¹(I,K)

kf+gk₁6 Z

I

|f(t)|+|g(t)|dt=kfk₁+kgk₁ k.k₁ définit bien une norme surL¹(I,K)

L²(I,K)⊂ C(I,K) etC(I,K) est unK-espace vectoriel.

0∈L²(I,K).

Soitλ∈Ket f ∈L²(I,K). Pour toutt∈I.

|(λf)(t)|²=|λ|²|f(t)|² donc par comparaisonλf∈L²(I,K).

Soitf, g∈L²(I,K). Pour toutt∈I

|(f+g)(t)|²6(|f(t)|+|g(t)|)²=|f(t)|²+2|f(t)| |g(t)|+|g(t)|²62

|f(t)|²+|g(t)|² car 2ab6a²+b²

Par comparaison de fonctions positivesf+g∈L²(I,K).

FinalementL²(I,K) est un sous-espace vectoriel deC(I,K) et c’est donc un K-espace vectoriel.

L’applicationk.k₂:L²(I,K)→R⁺ est bien définie.

(14)

Soitf ∈L²(I,K). Sikfk₂= 0 alorsR

I|f(t)|² dt= 0 or|f|²est continue et positive surI d’intérieur non vide donc

∀t∈I,|f(t)|²= 0 puisf = ˜0.

Soitλ∈Ket f ∈L²(I,K).

kλfk₂= Z

I

|λ|²|f(t)|²dt ²

=|λ| kfk₂ Soitf, g∈L²(I,K).

kf+gk²₂6 Z

I

(|f(t)|+|g(t)|)² dt=kfk²₂+ 2 Z

I

|f(t)| |g(t)|dt+kgk²₂ Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pourf, g: [a, b]→Rcontinue par morceaux,

Z b a

f(t)g(t) dt

6 Z b

a

f(t)²dt

!1/2

Z b a

g(t)²dt

!1/2

Ici Z b

a

|f(t)| |g(t)|dt6 Z b

a

|f(t)|² dt

!^1/2 Z b

a

|g(t)|² dt

!^1/2

6kfk₂kgk₂

Or pourf :I→R⁺ continue par morceaux intégrable

∀[a, b]⊂I, Z b

a

f(t) dt6 Z

I

f donc ici

Z

I

|f(t)| |g(t)|dt6kfk₂kgk₂ et enfin

kf+gk²₂6(kfk₂+kgk₂)² ce qui permet de conclure.

`²(N,K)⊂K^Net K^Nest unK-espace vectoriel.

0∈`²(K).

Pourλ∈Ketu∈`²(N,K),λu∈`²(N,K).

Pouru, v∈`²(N,K),

|(u+v)n|²6|un|²+ 2|un| |vn|+|vn|²62

|un|²+|vn|² car 2ab6a²+b².

Par comparaison de séries à termes positifs,u+v∈`²(N,K).

`²(N,K) est un sous-espace vectoriel deK^N, c’est donc unK-espace vectoriel.

L’applicationk.k₂:`²(N,K)→R⁺ est bien définie.

Soitu∈`²(N,K). Si kuk₂= 0 alors

+∞

P

n=0

|un|²= 0 donc pour toutn∈N,|un|²= 0 puisu= 0.

Soitλ∈Ket u∈`²(N,K)

kλuk= v u u t

+∞

X

n=0

|λun|²= v u u t

+∞

X

n=0

|λ|²|un|²=|λ|

v u u t

+∞

X

n=0

|un|²=|λ| kuk₂

Soitu, v∈`²(N,K) ku+vk²₂=

+∞

X

n=0

|un+vn|²6

+∞

X

n=0

|un|²+ 2

+∞

X

n=0

|un| |vn|+

+∞

X

n=0

|vn|²

Or par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

N

X

n=0

|un| |vn|6 v u u t

N

X

n=0

|un|² v u u t

N

X

n=0

|vn|

En passant à la limite quandN→+∞

+∞

X

n=0

|un| |vn|6 v u u t

+∞

X

n=0

|un|² v u u t

+∞

X

n=0

|vn|

Ainsi

ku+vk²₂6(kuk₂+kvk₂)² puis

ku+vk₂6kuk₂+kvk₂