Feuille de TD n˚14

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Feuille de TD n˚14

MP Lyc´ ee Clemenceau Janvier 2021

Banque CCP

Exercice 1 : 95 banque CCINP

Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.

1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.

Pour chaque boule blanche tir´ee, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tir´ee, il perd 3 points.

On note X la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées.

On note Y le nombre de points obtenus par le joueur sur une partie.

(a) D´eterminer la loi deX, son esp´erance et sa variance.

(b) D´eterminer la loi deY, son esp´erance et sa variance.

2. Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans remise.

(a) D´eterminer la loi deX. (b) D´eterminer la loi deY. Exercice 2 : 96 banque CCINP

On admet, dans cet exercice, que :∀q∈N,X

k>q

k q

x^k−q converge et∀x∈]−1,1[,

+∞

X

k=q

k q

x^k−q = 1 (1−x)^q+1. Soitp∈]0,1[ etr∈N^∗.

On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instantt= 0 (le temps est exprimé en secondes).

On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte.

Le premier rayon laser est envoy´e `a l’instantt= 1.

La bactérie a la probabilitépd’être touchée par le rayon laser.

Les tirs de laser sont ind´ependants.

La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchéerfois par le rayon laser.

SoitX la variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie.

1. D´eterminer la loi deX.

2. Prouver queX admet une esp´erance et la calculer.

Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dansN²dont la loi est donnée par :

∀(j, k)∈N²,P((X, Y) = (j, k)) =

(j+k) 1

2 j+k

ej!k! . 1. D´eterminer les lois marginales deX et deY.

Les variablesX etY sont-elles ind´ependantes ? 2. Prouver queE

2^X+Y

existe et la calculer.

Une secrétaire effectue, une première fois, un appel téléphonique versncorrespondants distincts.

On admet que les n appels constituentn expériences indépendantes et que pour chaque appel, la probabilité d’obtenir le correspondant demandé estp(p∈]0,1[).

SoitX la variable al´eatoire repr´esentant le nombre de correspondants obtenus.

1. Donner la loi de X. Justifier.

(2)

2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun desn−Xcorrespondants qu’elle n’a pas pu joindre au cours de la première série d’appels. On noteY la variable aléatoire représentant le nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d’appels.

(a) Soiti∈[[0, n]]. D´eterminer, pourk∈N, P(Y =k|X=i).

(b) Prouver queZ=X+Y suit une loi binomiale dont on d´eterminera le param`etre.

Indication : on pourra utiliser, sans la prouver, l’´egalit´e suivante : n−i

k−i n

i

= k

i n

k

. (c) D´eterminer l’esp´erance et la variance de Z.

1. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

2. Soit (Yn) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettant un moment d’ordre 2. On pose Sn=

n

X

k=1

Yk. Prouver que :∀a∈]0,+∞[,P

S_n

n −E(Y₁) >a

6 V(Y₁) na² . 3. Application :

On effectue des tirages successifs, avec remise, d’une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3 boules noires.

A partir de quel nombre de tirages peut-on garantir `´ a plus de 95% que la proportion de boules rouges obtenues restera comprise entre 0,35 et 0,45 ?

Indication : Considérer la suite (Y_i) de variables aléatoires de Bernoulli où Y_i mesure l’issue du iî`ême tirage.

Exercice 6 : 100 banque CCINP Soitλ∈]0,+∞[.

SoitX une variable aléatoire discrète à valeurs dansN^∗. On suppose que∀n∈N^∗,P(X=n) = λ

n(n+ 1)(n+ 2).

1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelleRdéfinie parR(x) = 1

x(x+ 1)(x+ 2). 2. Calculerλ.

3. Prouver queX admet une esp´erance, puis la calculer.

4. X admet-elle une variance ? Justifier.

Dans une zone d´esertique, un animal erre entre trois points d’eauA,B et C.

A l’instant t=0, il se trouve au point A.

Quand il a épuisé l’eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux autres points d’eau.

L’eau du point qu’il vient de quitter se régénère alors.

Soitn∈N.

On noteAn l’événement” l’animal est en Aaprès sonnî`ême trajet”.

On noteBn l’événement” l’animal est en B après sonnî`ême trajet”.

On noteCn l’événement” l’animal est enC après sonnî`ême trajet”.

On poseP(An) =an,P(Bn) =bn etP(Cn) =cn.

1. (a) Exprimer, en le justifiant,a_n+1 en fonction dea_n, b_n et c_n. (b) Exprimer, de mˆeme,b_n+1 etc_n+1 en fonction dea_n,b_n etc_n. 2. On consid`ere la matriceA=





0 ¹₂ ¹₂

1 2 0 ¹₂

1 2

1 2 0



.

(a) Justifier, sans calculs, que la matriceA est diagonalisable.

(b) Prouver que−1

2 est valeur propre de Aet d´eterminer le sous-espace propre associ´e.

(3)

(c) D´eterminer une matriceP inversible et une matriceD diagonale deM3(R) telles queD=P⁻¹AP. Remarque: Le calcul de P⁻¹n’est pas demand´e.

3. Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour calculeran,bnetcnen fonction den.

Remarque: Aucune expression finalis´ee dean, bn et cn n’est demand´ee.

Exercice 8 : 102 banque CCINP SoitN ∈N^∗.

Soitp∈]0,1[. On poseq= 1−p.

On considèreN variables aléatoiresX1, X2,· · ·, XN définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P), mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètrep.

1. Soiti∈[[1, N]]. Soitn∈IN^∗.

D´eterminerP(Xi6n), puisP(Xi> n).

2. On considère la variable aléatoireY définie parY = min

16i6N(Xi).

c’est à dire∀ω∈Ω,Y(ω) = min (X₁(ω),· · ·, X_n(ω)), min désignantle plus petit élément de . (a) Soitn∈N^∗. CalculerP(Y > n).

En d´eduireP(Y 6n), puisP(Y =n).

(b) Reconnaˆıtre la loi deY. En d´eduireE(Y).

Remarque: les questions 1. et 2. sont ind´ependantes.

Soit (Ω,A, P) un espace probabilis´e.

1. (a) SoitX1 etX2 deux variables al´eatoires d´efinies sur (Ω,A, P).

On suppose queX1etX2 sont ind´ependantes et suivent une loi de Poisson, de param`etres respectifs λ1 etλ2.

D´eterminer la loi deX1+X2.

(b) En déduire l’espérance et la variance deX1+X2. 2. SoitX etY deux variables aléatoires définies sur (Ω,A, P).

On suppose queY suit une loi de Poisson de param`etreλ.

On suppose que X(Ω) =Net que, pour toutm∈N, la loi conditionnelle deX sachant (Y =m) est une loi binomiale de param`etre (m, p).

D´eterminer la loi deX.

Soitnun entier naturel supérieur ou égal à 3.

On dispose denboules numérotées de 1 ànet d’une boˆıte formée de trois compartiments identiques également numérotés de 1 à 3.

On lance simultan´ement lesnboules .

Elles viennent se ranger al´eatoirement dans les 3 compartiments.

Chaque compartiment peut ´eventuellement contenir lesnboules.

On noteX la variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments restés vides.

1. Pr´eciser les valeurs prises par X.

2. (a) D´eterminer la probabilit´eP(X= 2).

(b) Finir de d´eterminer la loi de probabilit´e deX.

3. (a) CalculerE(X).

(b) D´eterminer lim

n→+∞E(X). Interpr´eter ce r´esultat.

1. Énoncer et démontrer la formule de Bayes pour un système complet d’événements..

2. On dispose de 100 d´es dont 25 sont pip´es.

Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut ¹₂.

(a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6.

Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?

(4)

(b) Soitn∈N^∗.

On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dénfois et on obtientnfois le chiffre 6.

Quelle est la probabilitép_n que ce dé soit pipé ? (c) Déterminer lim

n→+∞p_n. Interpr´eter ce r´esultat.

X etY sont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dansN.

Elles suivent la même loi définie par :∀k∈N,P(X =k) =P(Y =k) =pq^k oùp∈]0,1[ etq= 1−p.

On consid`ere alors les variablesU et V d´efinies parU = sup(X, Y) etV = inf(X, Y).

1. D´eterminer la loi du couple (U, V).

2. D´eterminer la loi marginale deU.

On admet que V(Ω) =Net que,∀n∈N, P(V =n) =pq²ⁿ(1 +q).

3. Prouver queW =V + 1 suit une loi g´eom´etrique.

En déduire l’espérance de V. 4. U et V sont-elles indépendantes ? Exercice 13 : 107 banque CCINP On dispose de deux urnesU1 etU2.

L’urneU1contient deux boules blanches et trois boules noires.

L’urneU₂contient quatre boules blanches et trois boules noires.

On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes : on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie.

On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’o`u elle provient.

Si la boule tir´ee ´etait blanche, le tirage suivant se fait dans l’urneU₁. Sinon le tirage suivant se fait dans l’urneU₂.

Pour toutn∈N^∗, on noteBn l’événementla boule tirée aunî`ême tirage est blancheet on posepn=P(Bn).

1. Calculerp1.

2. Prouver que :∀n∈N^∗,pn+1=− 6 35pn+4

7.

3. En d´eduire, pour tout entier naturelnnon nul, la valeur depn. Exercice 14 : 108 banque CCINP

SoientX etY deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (Ω,A, P) et à valeurs dansN. On suppose que la loi du couple (X, Y) est donnée par :

∀(i, j)∈N²,P((X =i)∩(Y =j)) = 1 e 2ⁱ⁺¹j!

1. D´eterminer les lois deX et deY.

2. (a) Prouver que 1 +X suit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance deX. (b) Déterminer l’espérance et la variance de Y.

3. Les variablesX etY sont-elles ind´ependantes ? 4. CalculerP(X =Y).

Soitn∈N^∗. Une urne contientnboules blanches numérotées de 1 ànet deux boules noires numérotées 1 et 2.

On effectue le tirage une `a une, sans remise, de toutes les boules de l’urne.

On noteX la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule blanche.

On noteY la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule numérotée 1.

1. D´eterminer la loi deX. 2. D´eterminer la loi deY.

Exercice 16 : 110 banque CCINP Soit (Ω,A, P) un espace probabilis´e.

1. SoitX une variable aléatoire définie sur (Ω,A, P) et à valeurs dansN. On considère la série entière X

tⁿP(X=n) de variable r´eellet.

On note R_X son rayon de convergence.

(5)

(a) Prouver queR>1.

On pose alors G_X(t) =

+∞

X

n=0

tⁿP(X=n) et note D_G_X l’ensemble de d´efinition deG_X. Justifier que [−1,1]⊂DG_X.

Pour tout réelt fixé, exprimerGX sous forme d’une espérance.

(b) Soitk∈N. Exprimer, en justifiant votre r´eponse,P(X =k) en fonction deG^(k)_X (0).

2. (a) On suppose queX suit une loi de Poisson de param`etreλ.

D´eterminerDG_X et, pour toutt∈DG_X, calculerGX(t).

(b) Soit X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes et suivant des lois de Poisson de paramètres respectifsλ1 etλ2.

Déterminer, en utilisant les questions précédentes, la loi deX+Y. Exercice 17 : 111 banque CCINP

On admet, dans cet exercice, que :∀q∈N,X

k>q

k q

x^k−q converge et∀x∈]−1,1[,

+∞

X

k=q

k q

x^k−q = 1 (1−x)^q+1. Soitp∈]0,1[.

Soit (Ω,A, P) un espace probabilis´e.

SoitX et Y deux variables aléatoires définies sur (Ω,A, P) et à valeurs dansN. On suppose que la loi de probabilité du couple (X, Y) est donnée par :

∀(k, n)∈N², P((X =k)∩(Y =n)) =





 n

k 1 2

ⁿ

p(1−p)ⁿsik6n 0 sinon

1. V´erifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilit´e.

2. (a) D´eterminer la loi deY.

(b) Prouver que 1 +Y suit une loi g´eom´etrique.

(c) Déterminer l’espérance de Y. 3. Déterminer la loi deX.

Soitn∈N^∗ etE un ensemble possédantnéléments.

On d´esigne parP(E) l’ensemble des parties deE.

1. D´eterminer le nombreade couples (A, B)∈(P(E))² tels queA⊂B.

2. D´eterminer le nombrebde couples (A, B)∈(P(E))²tels que A∩B=∅.

3. Déterminer le nombrec de triplets (A, B, C)∈(P(E))³ tels queA, B et C soient deux à deux disjoints et vérifientA∪B∪C=E.

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1 Exercices

Exercice 19 :On consid`ere l’ensemble Ω ={a, b, c}.

1) Donner la plus petite tribu contenant{a}

2) Donner la plus petite tribu contenant{a} et{b}.

Exercice 20 :Soientf : Ω→Ω⁰ une application etA⁰ une tribu sur Ω⁰. V´erifier queA =

f⁻¹(A⁰)/A⁰ ∈A⁰ d´efinit une tribu sur Ω.

Exercice 21 :

1) Soit (Ai)i∈I une famille de tribu sur un mˆeme ensemble Ω.

Montrer queA = T

i∈IAi est une tribu sur Ω.

2) SoitBune partie deP(Ω) et (Ai)_i∈I la famille de toutes les tribus de Ω contenant les éléments deB. Vérifier que

A =\

i∈I

Ai

est une tribu contenant les éléments de Bet que c’est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) vérifiant cette propriété.

Exercice 22 :Soit (A_n)_n∈IN une suite d’´ev`enements de l’espace probabilisable (Ω,A).

1) V´erifier que

A= [

p∈IN

\

n>p

A_n

est un évènement. A quelle condition simple sur la suite d’évènements (A_n)_n∈IN l’évènement A sera-t-il réalisé ?

2) Mˆeme question avec

A⁰= \

p∈IN

[

n>p

A_n

Exercice 23 :SoitP une probabilit´e sur (IN,P(IN)).

Montrer que

P({n})−−−−−→

n→+∞ 0

Exercice 24 :Soit (a_n)_n∈IN une suite strictement d´ecroissante de r´eels positifs de limite nulle.

Déterminer λ∈IR tel qu’il existe une probabilitéP sur IN vérifiant P({n, n+ 1, . . .}) =λan

Exercice 25 :Soit (Ω,A, P) un espace probabilis´e.

Pour A, B ∈ A, on pose d(A, B) = P(A∆B) avec A∆B la différence symétrique de A et B définie par A∆B= (A∪B)\(A∩B)

1) V´erifierd(A, C)6d(A, B) +d(B, C) 2) En d´eduire|P(A)−P(B)|6P(A∆B)

Exercice 26 :Chaque jour du lundi au vendredi, le professeur Zinzin a la probabilit´ep∈]0,1[ d’oublier ses notes de cours en classe. Peu lui importe car il improvise `a chaque cours, mais ce vendredi soir il ne les retrouve plus et ¸ca le contrarie. Il est cependant certain de les avoir eu en sa possession lundi matin.

1) Quelle est probabilité que le professeur Zinzin ait perdu ses notes de cours dans la journée de Lundi ? 2) Quel est le jour le plus probable où eu lieu cette perte ?

Exercice 27 :Trois joueursA,B etC s’affrontent à un jeu selon les règles suivantes : - à chaque partie deux joueurs s’affrontent et chacun peut gagner avec la même probabilité ;

- le gagnant de la partie précédente et le joueur n’ayant pas participé s’affrontent à la partie suivante.

Est déclaré vainqueur celui qui gagne deux parties consécutives.

1) Etablir que le jeu s’arrˆete presque sˆurement.

2) AetB s’affrontent en premier. Quelles sont les probabilit´es de gain de chaque joueur ?

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Exercice 28 :Soit (An)_n∈IN une suite d’événements presque sûrs dans un espace probabilisé (Ω,T, P).

Montrer que les ´ev´enements , [

n∈IN

An et, \

n∈IN

An sont presque sˆurs.

Exercice 29 :On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilit´e d’obtenir nvaut ₂¹n.

Pourk∈IN^∗ on noteA_k l’événement nest un multiple dek. 1) Vérifier que ceci définit bien une probabilité sur (IN^∗,P(IN^∗)) 2) Donner la probabilité de l’événementAk, pourk∈IN^∗. 3) Donner la probabilité de l’événementA2∪A3.

4) On noteB l’´ev´enementnest un nombre premier. Montrer que ¹³₃₂ < P(B)< ²⁰⁹₅₀₄.

5) Montrer que, siqet ksont des entiers strictement supérieurs à 2 alorsAq et Ak ne sont pas indépendants.

Exercice 30 :On considère 2 pièces truquées A et B. La pièceA donne ”pile” avec la probabilité a∈[0,1], et la pièceB donne ”pile” avec la probabilité b∈[0,1]. On choisit une pièce au hasard et on la lance. Si l’on obtient ”pile”, on relance la même pièce, sinon on lance l’autre pièce. On poursuit ce processus indéfiniment.

1) Déterminer la probabilitép_k de lancer la pièceAauk-ème lancer.

2) Déterminer la probabilitéq_k d’obtenir ”pile” auk-ème lancer.

3) Déterminer la limite de la suite (qk). Interpréter le résultat obtenu sia= 1 et 0< b <1.

Exercice 31 :On considère une particule se déposant à chaque seconde sur l’un des trois sommetsA,B etC d’un triangle suivant le procédé suivant :

– si la particule se trouve surB elle y reste.

– si la particule est surA, elle se trouve la seconde suivante sur l’un des trois sommets de fa¸con ´equiprobable.

– si la particule est surC, `a la seconde d’apr`es elle y reste une fois sur 3, elle va enB sept fois plus souvent qu’en A.

A la premi`ere seconde elle se pose au hasard (de fa¸con ´equiprobable) sur l’un des trois sommets.

Pour n∈IN^∗, on noteAn (resp.Bn, Cn) l’événement :lanième seconde la particule se trouve en A. On notean,bn etcn les probabilités deAn, Bn etCn.

1) Que valenta1,b1 et c1?

2) Donner une relation de r´ecurrence entrean+1 (resp.bn+1, cn+1) etan,bn,cn. 3) Montrer que, pour toutn∈IN^∗,cn= ₂¹n−₆¹n.

En d´eduirean et bn en fonction den.

4) Etudier la convergence des suites (an)_n∈IN∗, (bn)_n∈IN∗ et (cn)_n∈IN∗.

Exercice 32 :Soitp∈]0,1[ et soitn∈IN^∗. Un promeneur se d´eplace sur un axe d’origineO. Il part deO et,

`

a chaque pas, il lance une pi`ece de monnaie. S’il obtient pile (et ce avec une probabilit´ep), il avance d’un pas.

Sinon, il recule d’un pas. SoitX la variable aléatoire égale à l’abscisse du promeneur après sonn-ième pas. Soit X₁ (resp.X₂) le nombre de pas effectué vers l’avant (resp. vers l’arrière).

1) Déterminer les lois deX, X₁, X₂, et en déduire l’espérance deX. 2) Calculer la variance deX.

Exercice 33 :On suppose qu’`a la roulette d’un Casino, on obtient la couleur noire avec la probabilit´e 1/2, la couleur rouge sinon (bref, on ne suppose pas de 0 vert. . . ).

Un joueur fortun´e joue selon le protocole suivant : - il mise initialement 1 brouzouf sur la couleur noire ;

- s’il gagne, il arrˆete de jouer et empoche le double de sa mise.

- s’il perd, il double sa mise et rejoue.

1) On suppose la fortune du joueur infinie.

Montrer que le jeu s’arrête presque sûrement. Déterminer l’espérance de gain du joueur.

2) On suppose toujours la fortune du joueur infinie.

Que se passe-t-il si au lieu de doubler, il d´ecide de tripler sa mise lorsqu’il rejoue ?

3) Le joueur n’est en fait pas si fortuné qu’il le prétend : il ne possède que 2ⁿ?1 brouzoufs ce qui l’autorise à ne pouvoir jouer que n parties.

Que devient son esp´erance de gain ?

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Exercice 34 :SoitX une variable aléatoire discrète à valeurs dans [a, b].

1) Montrer queX admet une espérancemet que celle-ci est élément de [a, b].

La variableX admet aussi une varianceσ² que l’on se propose de majorer.

On introduit la variable al´eatoireY =X−met les quantit´es t=X

y>0

yP(Y =y),s=X

y>0

y²P(Y =y) et u=P(Y >0)

2) V´erifier quet²6su

3) Calculer espérance et variance deY. En déduire quet²6(σ²−s)(1−u) 4) En exploitant les deux majorations précédentes, obtenirt²6σ²/4 5) Conclureσ²6(b−a)²/4

Exercice 35 :SoitX une variable aléatoire réelle à valeurs dans IN.

1) Montrer que, pour toutn∈IN^∗, on a :

n

X

k=1

kP((X =k)) =

n−1

X

k=0

P((X > k))−nP((X > n)).

2) En d´eduire que, siX admet une esp´erance, alors :E(X) =

+∞

X

k=0

P((X > k)).

3) Montrer de mˆeme que, siX admet une variance, alors :E(X²) =

+∞

X

k=0

(2k+ 1)P((X > k)).

4) Dans cette question, on suppose que l’on dispose d’une urne contenantN boules numérotées de 1 àN. On y effectuentirages successifs d’une boule avec remise, et on noteX le plus grand numéro obtenu.

(a) Calculer l’esp´erance deX et pr´eciser la loi deX.

(b) Déterminer un équivalent deE(X) ànfixé quandN tend vers +∞.

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Avec Python

Exercice 36 :

Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et (U_n)_n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [[1, N]]. Pour nentier non nul, on note

Sn=

n

P

i=1

Ui etVn= Sn−nm σ√

n avecm=E(U1) etσ=p V(U1) SoitX une variable al´eatoire avecX(Ω) fini. On pose∀t∈R M_X(t) =E(e^tX).

Pour les simulations informatiques sous python, on importera les biblioth`eques scientifiques avec les alias suivants :

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from numpy.polynomial import Polynomial

1) PréciserE(U1),V(U1) et une expression de la fonction génératriceGU₁. 2) Exprimer la fonction génératriceGS_n en fonction deGU₁.

3) L’exemple suivant construit le polynˆome (

4

P

k=1

X^k)³ : P=[0]+[1]*4

P=Polynomial(P)**3 #P=(X+...+X^4)^3 Tester ces instructions.

Dans ce qui suit, on fixeN = 10.

4) Pourt r´eel, donner une expression sommatoire (qu’on ne cherchera pas `a simplifier) deMV_n(t) en fonction de la loi deSn.

5) Pourt∈ {1/3,1/2,7/8}, repr´esenter les termes de la suite (MV_10n(t))_n∈[1,10]. Que peut-on conjecturer ?

6) Démontrer la conjecture faite à la question précédente.

7) Illustrer ce résultat en représentant le graphe det 7→MV₁₀₀(t) pourt∈[0,1] simultanément avec un autre graphe à préciser.

Exercice 37 :Soit (Ω,A,P) un espace probabilisé et (Xn)_n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de même loiB ¹₂

. On noteS_n=

n

X

i=1

X_i pournentier non nul.

Pour les simulations informatiques, on importera les biblioth`eques scientifiques avec les alias suivants : import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

1) Pr´eciser la loi deSn, son esp´erance et sa variance.

2) D´eterminer une expression sommatoire (que l’on ne cherchera pas `a simplifier) deP Sn< ⁿ₂ . 3) Ecrire en langage python une fonction´ binom(n,k) qui calcule le coefficient binomial ⁿ_k

aveck∈[[0, n]].

4) Ecrire en langage python une fonction´ sn2(n)qui calcule P Sn <ⁿ₂ . 5) Pour n ≥ 1, on note u_n = P S_n< ⁿ₂

. R´epresenter les termes de la suite (u_20k)_∈[[1,100]]. Que peut-on conjecturer ?

6) Pourn≥1, on notev_n=P S_n>ⁿ₂

. Établir l’égalité

∀n≥1 vn=un+P

Sn =n 2

7) En déduire une démonstration du résultat observé à la question 5.

8) On note wn = P(S2n =n) pour n ≥ 1. En consid´erant ln wn+1

wn

, retrouver le résultat précédent sans utiliser l’équivalent de Stirling.