Chapitre 11 – Pour reprendre contact – Réponse exercice 6
1. Voir la figure ci-contre ou ouvrir le fichier C11_contact6.ggb.
2.La hauteur issue de D du tétraèdre ABCD est AD car les triangles ABD et ACD sont rectangles en A.
De plus, ABC est aussi un triangle rectangle en A donc l’aire de ABC est 12× AB × AC = 8.
On en déduit que le volume V du tétraèdre ABCD est : V = 1
3× 8 × 4 =32
3.
3.Soit h la hauteur issue de A ; la base associée à cette hauteur est BCD donc le volume V du tétraèdre ABCD est aussi donné par :
𝑉 = 1
3Aire(BCD) × ℎ .
Les trois triangles ABC, ABD et ACD sont rectangles et isocèles en A donc le triangle BCD est équilatéral de côté a et avec a²= CD² = AD² + AC² = 16 + 16 = 32, d’où a = 4√2.
Donc Aire(BCD) = 12CD × CB × sin(BCD̂)
= 1
2(4√2)2× sin 60°
= 1
2× 32 ×√3
2 = 8√3.
Comme V =32
3 , on a :
32 3 = 1
3× 8√3 × ℎ et donc ℎ =√34.
Math’x Terminale S © Éditions Didier 2016
