Dynamique d’un ensemble de particules

Mécanique Physique (S2) 5^ème partie – page 1

5

partie

Dynamique d’un ensemble de particules

Notes de cours de Licence

de A. Colin de Verdière

On a surtout discuté dans les parties précédentes de la dynamique d’un seul corps.

L’interaction de ce corps avec les autres corps était prise en compte par une force ou une énergie potentielle (fonction de la position de la seule particule considérée). L’hypothèse sous jacente était donc que le mouvement du corps étudié ne modifiait pas vraiment les autres corps avec lequel il interagissait. Mais c’est l’objet de ce chapitre de considérer le cas plus réaliste de la dynamique d’un ensemble de N particules en interaction. Comme on peut le concevoir, des difficultés calculatoires assez considérables apparaissent et la plupart des applications considéreront le cas N = 2. Nous allons voir qu’il y a un point particulier, le centre de masse, dont la dynamique se ramène à celle d’une particule affectée de la masse totale du système.

Si on considère les mouvements relatifs de deux particules, on voit qu’elles peuvent s’approcher/s’éloigner l’une de l’autre mais aussi tourner l’une autour de l’autre. Pour analyser cette rotation, une quantité nouvelle va être introduite : le moment cinétique (angulaire).

Une application particulière importante concerne la dynamique des corps rigides dont les particules constitutives ne peuvent subir que des translations ou des rotations mais ne s’éloignent pas ni ne se rapprochent (la distance entre deux points du corps est constante).

Mouvement du centre de masse d’un ensemble de particules

Soit un ensemble de N particules de masse mi et de vitesse vi observées depuis un référentiel inertiel.

La quantité de mouvement totale de ces N particules s’écrit : P = _!

i pi =

!

"i mi vi

et la masse totale M : M = _!

i mi

Considérons maintenant le mouvement d’une particule fictive affectée de la quantité de mouvement totale P et de la masse totale M. Sa vitesse vc obéit à :

M vc = P

ou encore: vc = Σ mi vi/Σmi

Cette particule est le centre de masse du système puisque vc n’est pas autre chose que la vitesse du centre de masse rc = Σ mi ri/Σ mi (déjà rencontré en Statique).

(i) Si le système des N particules est isolé, il n’y a pas de forces extérieures. Chaque particule en interaction obéit à la 2^ème loi de Newton et ainsi la quantité de mouvement de la particule i évolue comme :

!

d

dtp_i= F_ik

k

"

ou Fik est la force exercée par la particule k sur la particule i et la somme est effectuée sur l’ensemble des particules k. Si maintenant on somme la relation précédente sur l’ensemble des particules i on obtient le taux de changement de la quantité de mouvement totale :

!

d dtP =

i

"

k

"

Cette double somme est assez impressionnante mais elle s’estime très facilement avec la 3^ème loi. En effet, chaque fois que l’on rencontre le terme Fik , on peut lui associer le terme Fki qui vaut - Fik d’apres la 3^ème loi. Ainsi la double somme estimée en groupant les paires en interaction est nulle. La contribution des forces intérieures est nulle. On en déduit que la quantité de mouvement totale P est constante et que le centre de masse se déplace à vitesse uniforme dans un référentiel inertiel. On peut alors choisir ce centre de masse d’un système isolé comme référentiel inertiel et dans ce repère P = 0 (puisque vc = 0). Ce repère lié au centre de masse va être d’une grande utilité.

(ii) Considérons maintenant le cas d’un système non isolé. Soit le système S que nous considérons et un autre système S’ avec lequel les particules de S peuvent aussi interagir. Supposons que la réunion de S et S’ soit isolée.

S pourrait être par exemple le système solaire et S’

le reste de l’univers. Comme la quantité de mouvement totale de S + S’est conservée, on a :

P =

!

"p_i PS { +

!

"p_j PS'

{ = cste Soit en dérivant par rapport au temps :

!

d

dtP_S= " d dtP_S'

L’interaction entre les deux systèmes S et S’ est donc caractérisée par un échange de quantité de mouvement.

S’

S

Mécanique Physique (S2) 5^ème partie – page 3

On va écrire : _{S ext}

dt

d P =F (5.1)

où Fext est par définition la résultante des forces « extérieures » exercée sur S par les

particules de S’. Comme précédemment les forces « intérieures » entre deux particules i et k du système S obéissent au principe d’action et reaction de sorte que la somme de ces forces intérieures sur toutes les particules du système S est identiquement nulle et ne peuvent donc changer la quantité de mouvement totale PS.

Si on ne s’intéresse qu’au mouvement d’ensemble d’un objet constitué de différentes parties, (5.1) nous fournit l’équation d’évolution du centre de masse de l’objet qui se résume à l’équation du mouvement d’une particule mais affectée de la masse totale :

!

M d

dt v_c=F_ext (5.2)

Cette forme de la 2 eme loi a été de fait utilisée précédemment. Est ce que toute la dynamique du système S est contenue dans 5.1 ? Evidemment non. Ici on lance en l’air une raquette de tennis. Le mouvement du centre de masse C est donc celui d’une particule dans un champ de gravité supposé constant soit une parabole. Dans la plupart des

exemples la gravité g est supposée constante et le poids est aussi égal à celui d’une particule de masse M située au centre de masse C qui se confond alors avec le centre de gravité. Lorsque ce n’est pas le cas, centre de masse et centre de gravité diffèrent. Voir partie « Gravitation ».

Sur le dessin on voit que tous les points de la raquette ne se

déplacent pas comme le centre de masse, car il y a aussi une rotation de la raquette autour de C. Mais si on ne s’intéresse pas à cette rotation, le mouvement du centre de masse est identique avec celui d’une particule de taille infinitésimale. Les sauts périlleux d’un plongeur et autres vrilles du ski acrobatique ne doivent pas nous faire oublier que le centre de masse du skieur est toujours contraint à se déplacer sur la parabole déterminée par son vecteur vitesse initiale au moment précis où il quitte le tremplin.

On peut aussi considérer la situation d’une promenade à bicyclette à vitesse constante. Le centre de masse décrit bien une droite mais pour autant le mouvement de certaines parties du système sont bien différentes de celle du centre de masse. Regardez la trajectoire dans l’espace d’un point de la roue pour vous en convaincre.

Le cas de deux particules

Considérons le cas particulier dit « à deux corps » pour N = 2. Supposons qu’il n’y ait pas de forces extérieures de sorte que le système constitué de ces deux particules est

isolé. 0

m2

m1 F12

F21

r2

r1

Pour chaque particule 1 et 2, on a :

!

dv₁ dt =F₁₂

m₁ dv₂

dt =F₂₁ m₂ En soustrayant et en utilisant le fait que F21 = - F12 :

dt

d (v12) = ) m

1 m ( 1

2 1

+ F12

où v12 = v1 – v2 est la vitesse relative de 1 par rapport à 2.

On appelle µ la masse réduite telle que :

2

1 m

1 m

1 1 = + µ

l’expression précédente donne : ¹² ₁₂ dt dv F

=

µ (5.3)

Mais il y a aussi conservation de la quantité de mouvement totale P=m1v1+m2v2. Si on choisit comme repère inertiel le centre de masse C des deux particules alors P=0. On peut alors calculer v1 et v2 en fonction de v12 :

!

v₁= m₂ m₁+m₂v₁₂ v₂ =" m₁

m₁+m₂v₁₂

(5.4)

Note : supposons que la particule 1 (un morceau de craie, un satellite, la lune) soit très petite devant l’autre (par exemple la terre), alors m1/m2<<1 et on voit que 2 ne bouge quasiment pas

|v2| << |v1| et d’autre part v1 ≈ v12 et µ ≈ m1. Le mouvement de la grosse masse est négligeable et c’est finalement la limite que l’on a utilisé dans toutes les applications jusqu'à présent.

Mais le cas général avec 5.1 montre que « le mouvement relatif des deux particules (par rapport au référentiel inertiel du centre de masse) est équivalent à celui d’une seule particule soumise à la force d’interaction dont la masse est la masse réduite. » Une fois ce problème résolu on détermine les vitesses de chaque corps avec 5.4 et donc leur positions.

Les applications importantes de ce résultat concernent notamment l’interaction de deux corps en interaction gravitationnelle.

.

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Applications de la conservation de la quantité de mouvement

Collisions

Une application majeure des résultats précédents concerne les collisions. Une collision arrive quand deux objets se rentrent dedans : boules de billards, marteau-clou, automobiles, balles de tennis sur une raquette, météores qui s’écrasent sur la terre. Par ailleurs toute la compréhension du monde des particules sous-atomiques provient d’expériences de collisions entre particules élémentaires (électrons, protons, neutrons, etc...).

On se rend compte dans tous ces exemples qu’une collision est associée avec des forces importantes entre deux objets mais qui durent très peu de temps. Considérons 2 particules G et D en collision :

La particule G crée une force F(t) sur D et D une force –F(t) sur G en vertu de la 3^ème loi. Ces forces vont changer la quantité de mouvement de chaque objet mais sans changer la somme puisque ce sont des forces intérieures lorsque l’on considère le système des deux particules.

Ainsi :

pG + pD |AVANT = pG + pD |APRES

Cette conservation de la quantité de mouvement est le concept central dans l’étude des collisions. Si on considère le changement de quantité de mouvement de D lors de la collision, la 2^ème loi nous dit :

dp = F(t) dt pfinal – pinitial =

!

tf

ti

F(t) dt

L’intégrale à droite définit l’impulsion I : I =

!

tf

ti

F(t) dt

Si F(t) varie comme sur la figure, on voit que l’impulsion est l’aire sous la courbe. Si Δt est la durée de collision, la force moyenne est :

Fmoyenne ⋅ Δt = I. Ainsi la variation de quantité de mouvement est elle égale à l’impulsion :

!

"p=I F(t) -F(t)

G

D

F

I

Δt t

relation vectorielle qui est juste l’intégrale de la 2^ème loi sur le temps de collision.

Example : Considérons une raquette de tennis frappant une balle au service. Si la balle de masse m (= 0.058 kg) part à v ( = 50 m s^-1 soit 180 km h^-1) et que le temps de collision Δt est estimé à 4 10^-3 s, on peut estimer la force moyenne comme mv/Δt. Si la courbe ci dessus est représentée par un triangle de sommet Fmax et de base Δt, vous pouvez obtenir une estimation de la force maximale lors de la frappe Fmax = 2 mv/Δt (= 1.45 10³ N) soit deux fois la force moyenne. On a négligé ici le poids de la balle. Pourquoi ?

Nous allons considérer des collisions pour des systèmes isolés (pas de forces extérieures¹) et clos (pour lesquels la masse est conservée). On ne traite pas de la collision proprement dite du fait de l’ignorance des forces de contact lors du choc (notamment la durée du contact). Mais en vertu du Principe d’action et de la réaction, les forces exercées sur un corps sont égales et opposées aux forces exercées sur l’autre corps et le premier élément dont on peut se servir est donc la conservation de la quantité de mouvement totale du système en interaction avant et après la collision. Bien sûr l’énergie totale est aussi conservée puisque c’est un des principes de base de la Physique. Mais cette énergie change de forme au cours du choc. L’expérience de collisions entre deux voitures montre clairement que des formes d’énergie autres que cinétiques sont produites (énergie sonore, énergie potentielle élastique, énergie interne, énergie chimique). Lorsqu’une balle en caoutchouc frappe un mur, on s’aperçoit que la direction de la vitesse a changé avant et après le choc mais que le module lui n’a pas beaucoup varié, ce qui semble indiquer que l’énergie cinétique soit conservée. Pendant le choc, elle s’annule et se transforme en énergie potentielle élastique (comme celle du ressort) mais elle est restituée après le choc. Si donc l’énergie cinétique totale des corps en interaction est conservée, on parlera alors de collision élastique. Si vous faites tomber une balle de ping-pong sur une plaque de marbre, elle remonte presque à sa hauteur initiale, ce qui indique qu’il y a conservation d’énergie cinétique avant et après contact sur le sol et que la collision est élastique. Si vous faites la même chose avec un bout de mastic, le mastic colle à la plaque sans rebonds et on parlera d’une collision complètement inélastique. L’énergie cinétique a alors été transformée intégralement en énergie interne. Si on considère des billes se déplaçant sans frottement appréciable sur un plan horizontal, il y a des forces extérieures, le poids et la réaction du plan mais ces forces sont équilibrées dans la direction verticale de sorte que la collision entre deux billes peut être analysée avec les concepts développés ici. Le cas des collisions à une dimension est assez simple à traiter car on regarde ce qui se passe dans une seule direction.

Exemple 1: collisions inélastiques à une dimension:

La conservation de la quantité de mouvement selon x donne : m1 v1i + m2 v2i = m1 v1f + m2 v2f

m1 v1i m2 v2i

Avant x

m1 v1f m2 v2f

Après

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Si on ne connaît que l’état initial, cette relation ne suffit pas à déterminer l’état final. Si la collision est complètement inélastique, les deux corps sont collés après la collision et v1f=v2f:

m1 v1i + m2 v2i = (m1 + m2) vf

Note: Connaissant vf, vous pouvez estimer l’énergie cinétique qui est perdue dans la collision.

On trouve:

!

"E_c=#1 2

m₁m₂

m₁+m₂

(

)

Exemple 2 : collisions élastiques à une dimension :

Dans ce cas en plus de la relation précédente de conservation de la quantité de mouvement, on peut également écrire la conservation de l’énergie cinétique :

2 f 2 2 2

f 1 1 2

i 2 2 2

i 1

1 m v

2 v 1 2m v 1 2m v 1 2m

1 + = +

On peut re-écrire la conservation de la quantité de mouvement : m1 (v1i – v1f) = - m2 (v2i – v2f)

et la conservation de EC devient: m1 (v1i – v1f)(v1i + v1f) = - m2 (v2i – v2f) (v2i + v2f) En divisant la deuxième par la première, on obtient le résultat assez remarquable :

v1i – v2i = v2f – v1f

qui signifie que la vitesse relative des deux particules après le choc est égale et opposée à la vitesse des deux particules avant le choc. À partir de cette relation et de la conservation de la quantité de mouvement, on peut en déduire facilement v1f et v2f :

!

v_1f =m₁"m₂

m₁+m₂v_1i+ 2m₂ m₁+m₂ v_2i v_2f = 2m₁

m₁+m₂v_1i+ m₂"m₁ m₁+m₂v_2i

#

$

% %

&

% %

Note : le cas où la bille 2 est au repos et fait office de cible est très intéressant, donc v2i = 0.

-Supposons deux billes d’égale masse et la bille 2 au repos. On voit immédiatement que les billes échangent leur vitesse.

-Si maintenant m1 << m2 (le cas d’une balle qui rebondit sur un mur), les relations ci dessus montrent que la balle 1 rebondit avec une vitesse égale et opposée (alors que la cible 2 ne bouge pas).

-Si encore m1 >> m2 (un projectile « bras + raquette de tennis » massif frappant une balle légère quasi-immobile), on voit que v1f ~ v1i et que v2f ~ 2 v1i indiquant que la balle part à deux fois la vitesse de la raquette (+ bras).

Le cas de collision à deux dimensions se traite de façon similaire sauf que la conservation de la quantité de mouvement donne maintenant deux équations selon les axes orthogonaux x et y.

On a donc une relation de plus mais deux inconnues de plus, les deux composantes des

vitesses finales selon l’axe y. Des données supplémentaires sur l’observation de la collision sont nécessaires pour calculer l’état final. Les calculs sont plus complexes, mais la physique est exactement la même. Par contre la richesse des trajectoires des boules de billard, de tennis ou de ping-pong est due aux effets, les rotations propres des boules qu’il faut également prendre en compte et ça devient très complexe.

Propulsion d’une fusée interplanétaire

Si la fusée est loin de toutes planètes, les forces gravitationnelles sont négligeables (ainsi que toutes autres forces de frottement dues à une atmosphère). Comme il n’y a pas de corps externe sur lequel s’appuyer pour créer une force, la fusée éjecte des gaz brûlés à l’arrière avec une grande vitesse qui vont permettre la propulsion vers l’avant. La question posée par Feynman (Feynman’s tips for Physics) : la fusée peut elle atteindre une vitesse supérieure à la vitesse d’éjection du gaz ?

On choisit un repère inertiel, le soleil par exemple. A l’instant t, la fusée de masse m va a la vitesse v. Pendant l’intervalle de temps dt, une masse de gaz -dm est éjectée à une vitesse v’ . La vitesse acquise par la fusée est v+dv et sa masse est m+dm (avec dm<0). Comme il n’y a pas de force extérieure, la quantité de mouvement est conservée.

A l’instant t, la quantité de mouvement du système vaut p(t)=mv et à t+dt, la quantité de mouvement du système de même masse doit comprendre celle de la fusée et celle du gaz éjecté :

p(t+dt)=(m+dm)(v+dv) – dmv’

En écrivant p(t)=p(t+dt) on obtient :

dm (v+dv-v’)+m dv=0

C’est intéressant de faire apparaître la vitesse relative du gaz dans le référentiel de la fusée à t+dt soit vR = v’ - (v+dv) et on obtient l’équation des fusées :

m dv = vR dm

Et si on projette cette relation vectorielle sur un axe x dans la direction du mouvement de la fusée (vR est dirigée vers l’arrière quand la fusée accélère vers l’avant):

m dv = -vR dm (5.5) gaz

éjectés

-dm v+dv

m+dm v’

m v

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et si on divise par dt on obtient la 2 eme loi de Newton pour la fusée :

!

mdv

dt ="v_R dm

dt =F (5.6) A droite on a donc la force positive F accélérant la fusée, produit de la vitesse du gaz par le débit de masse –dm/dt. Si ce débit est constant (=µ) alors m(t)=m0 - µt et on peut obtenir v(t) en intégrant 5.6.

Mais en fait 5.5 permet d’avoir directement la vitesse en fonction de la masse car:

!

dv= "v_Rdm m

La vitesse de la fusée entre un instant initial (où v=0) et final est donc:

!

v="v_R dm m =

I F

# v_R ln(m_I m_F)

On voit que v ne dépend que de la vitesse d’éjection des gaz et augmente au fur et à mesure que m diminue puisque la fusée perd régulièrement de la masse par éjection des gaz brûlés. La fusée peut alors atteindre une vitesse supérieure à la vitesse des gaz éjectés. Lorsque la masse finale n’atteint plus que le dixième de la masse initiale, v = vR ln(10)=2.3025 x vR , un peu plus de 2 fois la vitesse des gaz, aussi surprenant que cela paraisse.

En pratique, cette propulsion n’est utilisée que brièvement, la plupart du temps la fusée se déplaçant à vitesse constante en ligne droite en application de la 1 ère loi.

Le moment cinétique (ou angulaire)

Nous avons déjà vu le moment d’une force par rapport à un point. Ici nous définissons le moment angulaire d’une particule située en M par le moment de sa quantité de mouvement par rapport à O:

J = r × p (5.7)

où le point O est l’origine du repère inertiel et donc le vecteur position r = OM. Ainsi J se calcule en utilisant les propriétés du produit vectoriel déjà vues. En particulier J=0 si r//p de sorte qu’un moment cinétique non nul signifie que la particule tourne autour de O. La direction de J est perpendiculaire au plan défini par r et p et son module vaut |J|=|p|.|r|.sinθ avec θ l’angle entre r et p. Si la particule est soumise à une force F appliquée en M, le moment τ de cette force par rapport à O est :

τ = r × F

et la question est évidemment : Existe-t-il un lien entre J et τ ? En dérivant (5.2) par rapport au temps :

O J p M r

J& =

!

r^. × p + r × p& (dérivée d’un produit) mais le premier terme est nul car r& c’est v et v // p. La 2^ème loi peut s’écrire : p&= F, de sorte que :

J& = τ (5.8)

La dérivée du moment cinétique (on dit aussi angulaire) est égale au moment de la force. Pour changer le moment cinétique, il faut un moment de force. En l’absence d’un tel moment de force, le moment angulaire de la particule est conservé. Ce sera le cas si la force F est dirigée selon le vecteur position r.

Note : particule se déplaçant sur un cercle : v ⊥ r et donc le module de J = m r v = mr² ω.

C’est le produit de ce qu’on appeler le moment d’inertie mr² et de la vitesse angulaire ω. Si la seule force est centripète, alors J = constante. Cette idee se généralisera au cas d’un solide de forme arbitraire.

Si on considère maintenant un nombre arbitraire de N particules, le moment cinétique total s’écrit :

J = !

i mi ri × vi

La valeur de J dépend du point O que l’on prend comme origine pour faire les produits vectoriels mais il est intéressant de faire apparaître le centre de masse rc :

J =

!

"i m_i(r_i#r_c)$v_i+ mi rc × vi

où ri - rc = r’i est la position de la particule i par rapport au centre de masse et donc :

!

J=J_c+r_c"P (5.9)

J est ainsi la somme du moment cinétique calculé par rapport au centre de masse et du moment cinétique (par rapport au point O choisi) du centre de masse affectée de la quantité de mouvement totale P.

Maintenant si on somme une équation comme (5.6) valable pour chaque particule on aura l’évolution du moment cinétique total en réponse à la somme des moments. Ici encore il est important de faire la distinction entre couple de forces intérieures et extérieures. Prenons juste un système isolé de deux particules 1 et 2 pour simplifier. Alors la somme des moments des forces intérieures s’écrit :

r1 × F12 + r2 × F21 = (r1 - r2) × F12

en vertu de la 3^ème loi. Sous une hypothèse de forces centrales (cad dirigées selon la direction joignant les positions 1 et 2), on voit que le moment résultant est nul. Si on a un nombre arbitraire de particules, on peut les grouper par paires et :

J ˙ = 0 ou J = const.

Mécanique Physique (S2) 5^ème partie – page 11

Seul le moment des forces extérieures au système peut changer le moment angulaire total :

!

J & =

Note : Si on choisit l’origine O au centre de masse C, (5.7) et (5.8) indique que :

!ext c =

J& (avec les moments maintenant calculés par rapport au centre de masse C)

Si la somme des forces extérieures détermine le mouvement du centre de masse, la somme des moments de ces forces calculées par rapport à C déterminera la rotation autour de C.

Cette relation sera très utile pour analyser les rotations des corps solides rigides.

Si la somme des moments des forces extérieures est nulle alors le moment angulaire total est conservé. Ce sera le cas en particulier pour un système isolé lorsque les forces sont centrales : si on néglige les forces exercées par le reste de la galaxie sur le système solaire, les forces gravitationnelles entre soleil et planètes sont centrales et le moment angulaire total (soleil + planètes) est donc constant :

!

J_c=constant

On sait que les orbites des planètes changent un peu sur des dizaines de milliers d’années mais pour autant le moment angulaire total Jc du système lui reste constant.

L’énergie du système est plus délicate à analyser car les forces intérieures ont en général un travail non nul². On montre que ce travail des forces intérieures (lorsqu’elles sont conservatives) s’exprime au moyen de la somme Uint des énergies potentielles des paires individuelles :

Wint= - Δ Uint

et sous l’effet d’un travail de forces extérieures, on écrira : Wext = ΔEc + ΔUint

où Ec = 2 1

!i m | vi |2 est l’énergie cinétique totale.

Le cas particulier d’un corps rigide

Les résultats précédents qui gouvernent la dynamique d’un ensemble de particules en interaction s’appliquent évidemment aussi au cas d’un corps rigide. La seule modification est que les distances relatives entre les différentes particules du solide rigide sont constantes. Les possibilités de mouvement sont beaucoup plus restreintes. En plus de la translation capturée par le mouvement du centre de masse, le solide peut tourner sur lui-même. On va se limiter dans cette introduction au cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe.

2 L’hypothèse pour un corps rigide est de dire que le travail des forces intérieures est nul. On ne peut pas le démontrer proprement mais l’observation est en accord avec cette hypothèse.

La figure montre un solide tournant à la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe Δ (selon Oz). On va trouver le moment angulaire total J en sommant les moments angulaires élémentaires de petites masses Δmi. Celles-ci se déplacent sur un cercle de rayon Ri. Ici le vecteur rotation ω est selon Oz. Comme la vitesse vi = ω × ri, l’angle entre pi (ou vi) et ri vaut π/2.

Ainsi le module du moment cinétique Ji de la particule de masse Δmi vaut-il :

Ji = ri pi = ri Δmi vi

La composante selon Oz de Ji est : Jiz = Ji sin θ = ri sin θ Δmi vi

Mais ri sin θ = Ri est le rayon du cercle décrit par Δmi et donc :

Jiz = RiΔmi vi.

Mais comme vi = ω Ri, on peut encore écrire : Jiz = Δmi 2

Ri ω

et si on fait la somme sur toutes les masses Δmi composant le solide : Jz = ω _i²

i

iR

!

i

iR

!

une quantité qui ne dépend que de la distribution géométrique des masses ; on écrit alors le moment cinétique d’un corps rigide autour de l’axe Oz :

Jz = Izω

en se rappelant que Jz est la composante du vecteur moment angulaire le long de l’axe de rotation et que Iz est le moment d’inertie par rapport à cet axe de rotation.

Notes :

1. La démonstration faite là est indépendante du point O sur l’axe et le résultat une propriété associée au seul choix de l’axe de rotation.

2. Si l’axe de rotation Δ est un axe de symétrie du solide, le vecteur moment cinétique est dirigé le long de Δ. (Faire la somme des moments cinétiques de deux particules placées symétriquement par rapport à Δ).

ri

ri Ji

pi

pi

Ri

Δmi

θ

O y

x z

z

θ O

π/2-θ

Mécanique Physique (S2) 5^ème partie – page 13

!

J ˙ _z=I_zd"

dt =#_{z ext} (5.11)

(5.11) est l’analogue de la 2^ème loi de Newton pour un corps rigide tournant autour d’un axe fixe. Voici les correspondances entre la vision translation et rotation de la 2 ème loi:

m → Iz

v → ω F →τ

Elles sont utiles pour comprendre physiquement comment on met en rotation un corps solide.

La résistance à la mise en rotation est associée au moment d’inertie. Il est facile (difficile) de mettre en mouvement un corps dont les masses sont situées près (loin) de l’axe de rotation.

Notes :

1. Cette relation 5.11 a une hypothèse sous-jacente qui est que le moment des forces intérieures au solide est nul. On a vu que c’est vrai si les forces intérieures sont centrales mais c’est donc une hypothèse supplémentaire. Mais les conséquences de 5.11 sont en accord avec les observations…

2. On comprend tout de suite l’exigence de l’équilibre des moments vu en statique. Si un moment resultant persiste, (5.11) nous dit que le corps se met immédiatement à tourner.

De la même façon qu’il existe un théorème de l’énergie cinétique pour une particule en translation, on peut se demander s’il existe un théorème comparable pour un corps en rotation ?

Soit une force extérieure F agissant sur le corps. Le travail de cette force lorsque la particule se déplace de ds est :

δW = F ⋅ ds = Ft ⋅ R dθ

où Ft est la composante tangentielle et Rdθ le déplacement de la particule associé avec la variation dθ. Mais notez que τz = Ft R de sorte que le travail δW s’écrit :

δW = τz dθ [Note : Ainsi la puissance P est-elle : P =

!

"W

"t = τz ω]

Le travail net effectué lorsque θ passe de θi à θf est :

W =

!

i z dθ

Si on multiplie 5.11 par dθ et que l’on intègre entre l’état initial et l’état final, on obtient :

dt I d

f

i z !

"

!

I_z"d"

"_i

"f

#

2 i z 2 f

z I

2 I 1

2

1 ! " ! =W=

!

i z dθ (5.12) Voilà le théorème de l’énergie cinétique pour un corps solide en rotation autour d’un axe fixe.

Le travail fait par le moment de F sur le corps en rotation est égal à la variation de l’énergie cinétique du corps qui s’exprime comme ½ Izω².

Notes

1. Cette forme particulière de l’énergie cinétique d’un corps en rotation se retrouve facilement car si on fait la somme des énergies cinétiques des masses Δmi animées de vitesse vi on obtient :

Ec =

!

1

i 2

"

i

"

2. La mécanique du point est le vocable utilisé parfois pour désigner l’introduction à la mécanique lorsque que l’on ne s’intéresse qu’à des particules infinitésimales (on néglige alors leur rotations). Ce serait assez réducteur que tout ce qu’on a fait jusqu'à présent ne s’applique qu’à un grain de sable et vous avez remarqué qu’assez souvent on a appliqué la 2^ème loi à des corps assez gros qui ne sont pas des grains de sable… De fait on ne s’est intéressé qu’aux mouvements de translation du centre de masse du corps et on ne s’est pas préoccupé des rotations autour de ce centre de masse. Le mouvement d’une particule de taille quelconque peut se décomposer en une translation du centre de masse et des rotations autour de ce centre de masse. Une façon objective de juger de leurs importances relatives est de comparer l’énergie cinétique de translation à l’énergie cinétique de rotation, ce qui revient à comparer la vitesse de translation v à ωd la vitesse de rotation avec d la taille d’un corps et ω sa rotation.

Si une boule roule sans glisser sur un plan, les deux vitesses sont égales et le mouvement de rotation de la boule est couplé au mouvement de translation de son centre de masse (voir plus loin).

Connaissance des moments d’inertie Iz.

Si le corps rigide est continu, on fait l’hypothèse d’homogénéité, c'est-à-dire que la masse volumique ρ est constante en tout point et il faut calculer une intégrale de volume du type :

Iz =

!

!

où dv est l’élément de volume. Lorsque les corps présentent des symétries, ces intégrales de volume ne sont pas trop difficiles à calculer mais ce n’est pas l’objectif de ce cours. On va simplement lister quelques moments d’inertie de corps possédant des axes de symétrie :

Mécanique Physique (S2) 5^ème partie – page 15

Anneau mince circulaire

I = MR²

Cylindre circulaire

I = 1/2 MR²

Tige mince

I = 1/12 ML²

Sphère pleine

I = 2/5 MR²

Anneau mince circulaire

I = 1/2 MR² R Axe

R

Axe

Axe L

R Axe

Axe

Lorsqu’on connaît le moment d’inertie pour un axe passant par le centre de masse, on peut facilement obtenir le moment d’inertie par rapport à un autre axe parallèle au premier.

L’axe est perpendiculaire à la figure. On prend un repère dont l’origine O est au centre de masse. Alors le moment d’inertie par rapport à un point P de coordonnées a et b s’écrit :

!

I=

"

"

=

"

"

"

"

Mais les deux intégrales

!

!

I = ICM + M h² (5.13)

où h est la distance OP et ICM le moment d’inertie par rapport au centre de masse.

Exemple 1 : La boule qui roule sur un plan incliné.

C’est l’expérience de Galilée et il s’agit de déterminer l’accélération de la sphère. On voit que le mouvement de celle-ci est composée d’une translation vers les x > 0 du centre de masse et d’une rotation autour de ce centre de masse. La translation du centre de masse est gouvernée par la 2^ème loi :

Soit sur l’axe des x : mg sin θ - F = ma et sur l’axe des y : N – mg cos θ = 0

Pour la rotation autour du centre de masse on utilise 5.11 appliquée au centre de masse : F r =

5

2 m r² ⋅ dt d!

car la force de frottement F est la seule dont le moment par rapport au centre de la sphère soit non nul. Si la boule roule sans glisser sur le plan incliné, il y a évidemment une relation cinématique entre la vitesse v d’un point sur la circonférence de la sphère et la vitesse angulaire :

v = ωr

relation qui restera vraie tant que la sphère ne glisse pas. En dérivant par rapport au temps, on déduit :

P

y dm

h r

a b x

O

N y F

x α mg

Mécanique Physique (S2) 5^ème partie – page 17

a = r dt d!

et donc : F =

5 2 ma

Avec l’aide de la 2^ème loi (sur Ox), on en déduit : a =

!

5

7 g sin θ

Soit significativement moins que l’accélération g sinθ d’un objet glissant sans frottement. La rotation de la boule vient modifier l’accélération vers le bas. Ici le mouvement de translation du centre de masse et le mouvement de rotation autour de ce centre sont couplés. Galilée ne pouvait pas déterminer la valeur de g par une expérience de ce type sans faire l’analyse de la rotation autour du centre de masse. S’il avait fait l’expérience avec un cylindre il aurait obtenu encore une valeur différente… Sa contribution a été de montrer comment vitesse et déplacement varient dans le temps dans un mouvement à accélération constante, ce qui reste le cas ici. Notez ici l’importance de la force de frottement F pour créer l’accélération angulaire de la sphère. Elle vaut 2/7 mg sin θ et doit donc rester inférieure à µS N pour qu’il n’y ait pas glissement (µS est le coefficient de friction statique).

Exemple 2 : L’équilibrage des roues de voiture.

Imaginons un système de 2 masses disposées comme sur la figure ; J est le moment cinétique, somme des moments cinétiques des deux masses m1 et m2. A cet instant il est dans le plan de la page. Après un temps dt, le système a tourné de dθ = ω dt. Le moment cinétique a le même module mais sa direction a tourné de dθ. Il s’est créé une composante de J perpendiculaire à la page. D’après 5.10 ceci n’est possible que si un moment de forces extérieures non nul s’exerce. Il ne peut venir que de la réaction des supports de l’axe (voir dessin). Ce sont ces réactions qui permettent au système de tourner :

dJ = τext ⋅ dt

Comme dJ, est perpendiculaire à la page il en est de même de τ et le couple de forces dessiné sur la figure en résulte. En vertu de la 3^ème loi, l’axe se déplace dans les directions de F et va vibrer en tournant. C’est l’origine des vibrations ressenties dans une voiture dont les roues ne sont pas équilibrées. Pour équilibrer des roues, il faut donc que le moment cinétique J soit dirigé selon l’axe de rotation (en vert). Pour ça on se sert de petites masses additionnelles que l’on positionne sur la jante de la roue.

Exemple 3 : Rotation induite par le mouvement du corps

J F

r1

r2 m2

m1

ω

-F

La conservation du moment cinétique est le fond de commerce de la danse sur glace, du ski ou du plongeon acrobatique. On s’intéresse ici à des corps déformables car c’est beaucoup plus démonstratif.

Pour introduire le sujet, asseyez-vous sur un tabouret (tournant) avec 2 haltères au bout des bras. Lorsque vous ramenez les haltères le long de votre corps, votre rotation augmente. Si le tabouret tourne sans frottement et s’il n’y a aucun couple agissant sur vous (poids et réaction passant par l’axe de rotation) alors le moment cinétique le long de l’axe de rotation est-il conservé :

Ii ωi = If ωf et ωf =

f i

I

I ωI > ωf

Par contre l’énergie cinétique n’est pas conservée comme vous pouvez le réaliser en calculant

½ Iω². Comme l’énergie augmente, il faut admettre que vous avez effectué un travail d’origine musculaire pour ramener les haltères. Ainsi le travail des forces intérieures au système n’est-il pas nul ici.

Exactement la même physique se retrouve lorsque le patineur tourne de plus en plus vite lorsqu’il ramène bras et jambe le long du corps. Le moment des forces extérieures est très faible si ses pieds sont rapprochés. Inversement pour sortir d’une rotation rapide il lui suffit d’écarter les bras. Ca devient très technique pour la compréhension physique et sportivement lorsque des rotations autour de deux axes différents sont possibles (sauts périlleux et vrilles en ski, plongeon acrobatique).

Example 4 : le gyrocompas

Si on arrivait à construire un système mécanique pour lesquels les moments des forces extérieures soient négligeables, la conservation du moment cinétique permettrait de donner une direction constante dans l’espace, celle du vecteur rotation ω. Ceci a été fait: le disque tournant rapidement sur la figure est maintenu par un système très ingénieux de pivots qui permet au disque de prendre n’importe quelle orientation dans l’espace. Il faut aussi minimiser les moments extérieurs dues aux frottements sur les pivots. Sur la figure de droite, vous voyez ce disque qui conserve sa direction alors que dessous la terre tourne tranquillement. Cet objet donne une direction fixe indépendamment de la rotation de la terre.

C’est le principe physique du gyrocompas (on parle aussi de centrale à inertie) et c’est une aide fondamentale à la navigation. Feynman a tout une section la dessus dans Feynman‘s tips on Physics.

Mécanique Physique (S2) 5^ème partie – page 19