Benmoussa Mohammed

(1)

- 1 - 1. Bac 2014 session normale

On considère la suite

  u

n définie par :

0

n 1 n

u 13

u 1u 7 ; n

 2

 



   

 ^.

1. Démontrer par récurrence que :

u

_n

 14

pour tout n de . ………...…....…… ( 0,75 ) 2. On considère la suite

  v

v

_n

 14 u 

_n pour tout n de .

a. Montrer que : la suite

  v

n est géométrique de raison

1

2

puis écrire v_n en fonction de n . ….…. ( 1 ) b. En déduire que :

n n

u 14 1 2

       

pour tout n de puis calculer la limite de la suite

  u

n .… ( 0,75 ) c. Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle u_n13, 99. ………. ( 0,5 ) 2. Bac 2014 session de rattrapage

  u

1

n * n 1

n

u 5

5u 4

u ; n

 1 u

 

 

   

 



.

u

_n

 2

pour tout n de ^* . ………..………...…....…… ( 0,75 ) 2. On considère la suite

  v

n définie par : _n

n

v 3

u 2

 

pour tout n de ^* .

a. Montrer que : _{n 1} ⁿ

n

v 1 u

u 2



 



pour tout n de ^* , puis montrer que la suite

  v

n est arithmétique de raison 1 . ………...…....……….… ( 1 ) b. Ecrirev_nen fonction de n , puis en déduire que _n

3 u 2

  n

pour tout n de ^* . ………....…… ( 0,75 ) c. Déterminer : _n

nlim u

 . ………...………...…… ( 0,5 )

3. Bac 2015 session normale ( fuite هبيرست مت يذلا )

III. On considère la suite

  u

n définie par

u

0

 2 et u

n 1_

 f u  

n pour tout n de .

1. Montrer par récurrence que : 0u_n  pour tout n de . ……….……….…..……..…… ( 0,5 ) 2. Montrer que la suite

  u

n est décroissante ( on peut utiliser le résultat de la question II 2 ) c - ) ..( 0,5 ) 3. En déduire que

  u

n est convergente .et déterminer la limite de la suite

  u

n . ……….……… ( 0,75 )

Les résultats de quelques questions précédentes :



¹



f (x)

x 1 nx

  ^{. Et}2, 2  2, 3

 La fonction est décroissante sur

  ^0,1

et croissante sur

 ^{1, e} ^ 

^et

 ^e, ^ 

^.

 la question II 4) c- :

^{f x}   ^{ } ^x ⁰

pour tout x de

  ^1, ^

^.

(2)

- 2 -

 Tableau de variation de f est :

4. Bac 2015 session normale ( هتداعإ مت يذلا ) On considère la suite

  u

0

1 n

n

u 4

n : u 2u 3

 5

 



   

 ^.

u

_n

 5

pour tout n de . ……….………….………..… ( 0,5 ) 4. Vérifier que n 1 n



n



u u 3 5 u



  5 

pour tout n de puis en déduire que

  u

n est croissante . ..( 0,75 ) 5. En déduire que

  u

n est convergente . ……….……….………..… ( 0,25 )

6. On considère la suite

  v

n définie par : v_n  5 u_n pour tout n de . a. Montrer que : la suite

  v

2

5

puis écrirev_nen fonction de n . ….. ( 0,75 ) b. Montrer que :

n n

u 5 2 5

       

pour tout n de .et calculer la limite de la suite

  u

n . …….. ( 0,75 )

5. Bac 2015 session de rattrapage

  u

n définie par

u

0

  2 et u

n 1_

 h u  

1. Montrer par récurrence que :

u

_n

 0

pour tout n de . ……….……….………..… ( 0,5 ) 2. Montrer que la suite

  u

n est croissante ( on remarque graphiquement que

^{h x}   ^ ^x

pour tout x de

l’intervalle

 ^ ^{, 0} 

) . ……….… ( 0,75 )

3. En déduire que

  u

n . ……… ( 0,75 )

 

x

 

h x f (x) x sur , 0 e 2x

  



^.

0 1  e



x



 

f ' x

0





1 ^f

 

^{  }

1

 

f x

(3)

- 3 - 6. Bac 2016 session normale

  u

0

n n 1

n

u 2

u 3 u ; n

 5 u

 

 

   

 



.

1. Vérifier que : n 1 n



n



u u 3 5 u



  5 

pour tout n de , puis démontrer par récurrence que :

u

_n

 3

pour tout n de . ……… ( 0,75 )

2. On considère la suite

  v

n définie par : _n

n

v 3

u 2

 

pour tout n de .

d. Montrer que : la suite

  v

1

2

puis en déduire que :

n n

v 1 2

      

pour tout n

de . ………....…… ( 0,75 )

e. Montrer que : _n ⁿ

n

u 1 3v 1 u

 



pour tout n de puis écrire u_nen fonction de n . ……… ( 0,5 ) f. calculer la limite de la suite

  u

n . ………..…… ( 0,5 ) 7. bac 2016 session de rattrapage

  u

n définie par : ₀ _n ₁ 1 _n 15

u 2 et u u

16 16

    pour tout n de .

1. ..

a. Démontrer par récurrence que : u_n1 pour tout n de . ……….……… ( 0,5 ) b. Vérifier que : n 1 n



n



u u 15 1 u



  16 

pour tout n de . ……….…….………..… ( 0,5 )

c. Montrer que

  u

n est décroissante et en déduire que

  u

n est convergente . ………...……… ( 0,25 ) 2. On considère la suite

  v

n définie par : v_n u_n16 pour tout n de .

a. Calculer u et u₁ ₂. ……….……….……… ( 0,5 )

b. Montrer que : la suite

  v

1

16

puis écrire v_n en fonction de n . …… ( 1 ) c. Montrer que :

n n

u 1 1 16

 

   

 

pour tout n de , puis calculer la limite de la suite

  u

n . .… ( 0,75 ) 8. Bac 2017 session normale

  u

n définie par

u

0

 3 et u

n 1_

 f u  

1. Montrer par récurrence que : 1u_n2 pour tout n de . ……….……….……… ( 0,5 ) 2. Montrer que la suite

  u

n est décroissante ( on peut utiliser le résultat de la question II 4) c- ) …( 0,5 ) 3. En déduire que

  u

n . ……… ( 0,75 ) Les résultats de quelques questions précédentes :

2 f (x) x 1 ln x x

 

    

 

^.

(4)

- 4 -

  ^0,1

 ^1, ^ 

^.

^{f x}   ^ ^x

pour tout x de

  ^{1, 2}

, position relative de la courbe

  ^C

et la droite

  ^D

d’équation yx sur

  ^{1, 2}

^.

Tableau de variation de f est :

9. Bac 2017 session de rattrapage

  u

n définie par : ₀ _n ₁ 1 _n

u 17 et u u 12

 4

   pour tout n de .

1. ..

a. Démontrer par récurrence que :

u

_n

 16

pour tout n de . ………....……… ( 0,5 ) b. Montrer que

  u

n est décroissante et en déduire que la suite

  u

n est convergente . ………… ( 0,5 ) 2. Soit

  v

n la suite numérique telle que : v_n u_n16 pour tout n de .

a. Montrer que

  v

n est une suite géométrique de raison

1

16

puis écrire v_n en fonction de n . .… ( 0,5 ) b. En déduire que :

n n

u 16 1 4

       

pour tout n de . , puis déterminer la limite de la suite

  u

n ( 0,5 ) c. Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel n pour laquelle u_n 16, 0001 . ………. ( 0,5 ) 10. Bac 2018 session normale

IV. On considère la suite

  u

n définie par 0 n 1

 

n

u 1 et u f u

2

^

 

pour tout n de .

4. Montrer par récurrence que : 0u_n1 pour tout n de . ……….……….…..………… ( 0,75 ) 5. Montrer que la suite

  u

n est décroissante ( on peut utiliser le résultat de la question II 3 ) b- ) ..( 0,5 ) 6. En déduire que

  u

n . ……… ( 0,75 )

2

x x

f (x) x

e e

  

.

 ^ ^{, 0} 

 ^0, ^ 

^.

2

1 x

0

–

0  

f x  x

  ^C

est au dessous de

  ^D

    ^{C et D}

se coupent

    ^{C et D}

se coupent Position relative de

    ^{C et D}



1

0 x



0

 

–

f ' x



 

f 1  1

 

f x

(5)

- 5 -

^{f x}   ^ ^x

pour tout x de

  ^{1, 2}

  ^C

et la droite

  ^D

  ^{1, 2}

^.

11. bac 2018 session de rattrapage

  u

n définie par

u

0

 e et u

n 1_

 f u  

1. Montrer par récurrence que :

1  u

_n

 e

pour tout n de . ……….……….…….…..…… ( 0,75 ) 2. Montrer que la suite

  u

n est décroissante ( on pourra utiliser le résultat de la question III 1) b- ) .

……….……… ( 0,75 ) 3. En déduire que

  u

n est convergente .et déterminer sa limite . ……… ( 0,75 ) Les résultats de quelques questions précédentes :

2 2

1 1 ln x f (x) x

2 2x x

 

      ^.

  ^0,1

 ^1, ^ 

^.

 la question III 1 ) b -

^{h 1}   ^ ⁰

^avec

^{h x}     ^ ^{f x} ^ ^x

d’près la figure ci-contre qui la représentation graphique de la fonction h on détermine le de h et en déduire pour tout x de

 ^1, ^ 

^{on a}

^{f x}   ^ ^x

12. bac 2019 session normale DEUXIÈME. partie

  u

n définie par

u

0

 1 et u

n 1_

 f u  



1

0



x



0 –

0



 

f x  x

est au dessus de

  ^C

  ^D

  ^C

au dessous de

  ^D

est au dessus

  ^C

  ^D

de Position relative de

    ^{C et D}

se coupent

    ^{C et D}

se coupent



1

0 x



0 

   

h x  f x  x



0 

x



0

 

–

f ' x



 

f 0  0

 

f x



1

0 x



0

 

–

f ' x



 

f 1  1

 

f x

(6)

- 6 - 1. ..

a. Montrer par récurrence que : 0u_n e pour tout n de . ……….….…..……… ( 0,5 ) b. Montrer que la suite

  u

n est croissante . ………....… ( 0,5 ) c. En déduire que

  u

n est convergente . ………....… ( 0,5 ) 2. Calculer la limite de la suite

  u

n . ………...….………… ( 0,75 ) Les résultats de quelques questions précédentes :

^{f (x)} ^x ¹ ^{ln x} ¹   ^{ln x}

²

2 2

   

.

 ^ ^{, 0} 

 ^0, ^ 

^.

^{f x}   ^ ^x

pour tout x de

  ^{1, 2}

  ^C

et la droite

  ^D

  ^{1, 2}

^.

.

13. bac 2019 session de rattrapage DEUXIÈME. partie

  u

n définie par

u

0

 3 et u

n 1_

 f u  

n pour tout n de . 3. ..

a. Montrer par récurrence que : 2u_n 4 pour tout n de . ……….….…..……… ( 0,5 ) b. Montrer que la suite

  u

n est croissante puis En déduire que

  u

n est convergente . .…. ( 0,5 ) c. Calculer la limite de la suite

  u

n . ………...………… ( 0,75 ) Les résultats de quelques questions précédentes :

Benmoussa Mohammed

  u

u

 14

  v

v

 14 u 

  v

1

2

u 14 1 2

       

  u

  u

u

 2

  v

v 3

u 2

 

v 1 u

u 2

 



  v

3

u 2

  n

  u

u

 2 et u

 f u  

  u

  u

  u





  0,1

 1, e  

 e,  

f x     x 0

  1, 

  u

u

 5





u u 3 5 u

  5 

  u

  u

  v

  v

2

5

u 5 2 5

       

  u

  u

u

  2 et u

 h u  

u

 0

  u

h x    x

  , 0 

  u

  u

 

 

h x f (x) x sur , 0 e 2x

  





x



 

f ' x

0

  ^0,1

 ^{1, e} ^ 

 ^e, ^ 

^{f x}   ^{ } ^x ⁰

  ^1, ^

^{h x}   ^ ^x

 ^ ^{, 0} 

  ^0,1

 ^1, ^ 

^{f x}   ^ ^x

  ^{1, 2}

  ^C

  ^D

  ^{1, 2}