Benmoussa Mohammed

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Benmoussa Mohammed

Fonctions logarithmes La fonction logarithme

népérienne

^{f x}   ^{ ln x}

a0 et b0 et r Signe de ln(x)



1 0

x

 0 ln x





D

f

  0,  

, continue et dérivable sur

D

f

  0,  

avec



^{ln x '}



¹

 x

 ln10 , ln e1 avec e2, 718...e est un nombre irrationnel .

 lnablnalnb,

1

ln ln a

    a

   

^,

lna ln a ln b

b   , lna^r r lna



^{ a,b }  ^{0, }  ^{, ln a}  

⁼

^{ln b}   ^{  a b}



^{ a,b }  ^{0, }  ^{,a   b ln a}   ^{ ln b}  



^{f x}   ^{ ln u x}    

^,

x  D

f

  x  D et u x

u

^{ }   



     

 

' u' x

f ' x ln u x

u x

 

   donc primitives de

 

 

u ' x

u x sont

^{F x}   ^{ ln u x}   ^{ c}

x

lim ln x  



   

x 0

lim ln x

_



   

xlim x ln x0 0^

  

 

x

lim ln x 0



x   

x n

lim ln x 0



x   

x 0

lim x_ n ln x 0^

  

 

x 1

limln x 1 x 1

 



 

x 0

ln x 1

lim 1

 x

 

Logarithmes de base a Logarithmes de base a :

   

a  0,1  1,  r 

^

 

a

     

f x log x ln x , a 0,1 1,

  ln a   

;

   

   

e

log x ln x ln x

 ln e 



a  10

donc

log

10

  x  Log x  

( logarithme décimale )



log

a

 x y    log

a

  x  log

a

  y

et ^loga

 

^{xr =r log a}

^{ }

^x

 a a

 

log 1 log y

y

  

   et a a

 

a

 

log x log x log y y

  

  

 

^x

f x a La fonction exponentielle népérienne ^{f x}

 

^ex

Les fonctions exponentielles de base a

est : ^x xlna

f (x)



a



e

   

a  0,1  1,  r 

x, y

x y x y

a a a ^ ;

 

^{ax y ax y}

x x

1 a

a



 ;

x x y y

a a

a







0   a 1

, x, y

x y

a  a   x y



a  1

, x, y

x y

a  a   x y

 

^{ax '}

^

^{ln a}

^{  }

^ax

Rq :

f (x)



a

^x 

e

xlna

 La fonction réciproque de

x ln x

est la fonction x e^xdéfinie de

 ^0, 

 

.donc  x , e^x 0 .



D

_f



, continue et dérivable sur

D

_f



avec

  ^e

^x

^{'  e}

^x



^{f x}   ^{ e}

^{u x  ,} xDf  x Du

 ^{f ' x}

 

^_^{eu x }_^{'u' x e}

 

^{u x } donc primitives de

^{u' x e}  

^{u x sont}

^{F x}   ^{ e}

^{u x }

^{ c}

x x ln y

e y

y 0 x



  

 

   ^{ x , ln e}

 

^{x x  }

^{x  0,}

^

^{ , e}

^{ln x }

^x

a b a b

e ^  e e ^b

1

_b ^{a b}

e

^a_b

e , e

e e







  

^{ex r =e , erx xex e2x}

x

lim ex 0^

 

x

lim ex

  

 

x x x x n nx

n

e    e e e e

x

lim x ex 0^

  

x

n x

lim x e 0



 

; n ^*

x

ex

lim^ x  

x x n

lim e

x  

; n ^*

x 0

ex 1

lim 1

 x

 