Correction du DS 1
èreES1. A : chapitre 3 - second degré - le 24/11/2006 Exercice 1 : Résous les équations suivantes ( écrire les calculs intermédiaires ) :
1. 5x2 – 4x – 1 = 0 : ∆ = (-4)² - 4 x5x (-1) = 36 = 6² ;( ∆>0) donc l’équation a deux solutions : x1 = 4 – 6 2x5 = -1
5 et x2 = 4+6 2x5 = 1 2. 4x2 – 4x – 1 = 0 : ∆ = (-4) ² - 4 x 4 x ( -1) = 32 ;( ∆>0) donc l’équation a deux solutions
x1 = 4 - 32 2x4 = 1- 2
2 et x2 = 4 + 32
2x4 = 1 + 2 2 3. x2 + 3x + 3 = 0 : ∆ = 3² - 4 x1 x 3 = - 3 ;( ∆<0) donc l’équation n’admet aucune solution.
Exercice 2 : Résous les inéquations suivantes ( écrire les calculs intermédiaires ) :
1°) x2 - 6x + 9 ≥ 0∆
∆
∆
∆ = (-6)² - 4 x1x9 = 0 Donc le polynôme ax² + bx+c = x2 - 6x + 9 = ( x – b
2a ) ² = ( x – 3 )² est du signe de a : positif donc tous les nombres réels sont solutions de l’inéquation : S = IR
2°) 4x2 + 5x + 1 > 0
∆
∆
∆
∆ = 5² - 4 x4x1 = 9 = 3² >0 donc le polynôme ax² + bx+c = 4x2 + 5x + 1 a deux racines : x1 = -5-3
2x4 = -1 et x2 = -5+3 2x4 = - 1
4 et il est du signe de a : 4 soit positif, à l’extérieur des racines. Donc S = ] - ∞ ; -1 [ ∪ ]-1
4 ; + ∞ [ 3°) -2 (- x – 2) ( + 2x – 3) < 0
On peut faire un tableau de signe :
x −∞ -2 3
2 +∞
-2 - - -
(- x – 2) + 0 – -
( + 2x – 3) + – 0 +
-2 (- x – 2) ( + 2x – 3) + 0 – 0 +
Donc S = ] –2 ; 3 2 [
Exercice 3 :
1.b ; 2.a ; 3.b ; 4.b; 5.b; 6.c; 7.b
Exercice 4 : Résoudre le système suivant en se ramenant à une équation du second degré :
x + y = 100 x
2+ y
2= 5968 y = 100 – x donc x² + ( 100-x)² = 5968 soit x² + 100² - 200x + x² = 5968
2 x² - 200x + 4032 = 0
∆ = (-200)² - 4x2 x4032 = 7744=88²
Donc l’équation
2 x² - 200x + 4032 = 0 admet deux solutions : x
1= 200 – 88
2 x 2 = 28 et x
2= 200+88 2 x 2 = 72.
Les solutions du systèmes sont donc : x = 28 avec y = 72 et x = 72 avec y = 28.
-1<0 2>0
