TD 4 - Troisième Compléments : Calcul littéral
Les exercices suivants dont l’intitulé est suivi du symbole (c) sont corrigés intégralement en fin du présent TD.
Première partie
Identités remarquables
( a + b )
2= a
2+ 2 ab + b
2( a − b )
2= a
2− 2 ab + b
2( a + b )( a − b ) = a
2− b
2Exercice 1. Identités remarquables (c)
Compléter les égalités suivantes :
1. (x−. . . .)2=. . . .−2x+. . . ..
2. (x−. . . .)2=. . . .−4x+. . . ..
3. (x−. . . .)2=. . . .−8x+. . . ..
4. (2x+. . . .)2=. . . .+ 4x+. . . ..
5. (3x+. . . .)2=. . . .+ 12x+. . . ..
6. (x−. . . .)2=. . . .−10x+. . . ..
7. (x−. . . .)(x+. . . .) =. . . .−4.
8. (x−. . . .)(x+. . . .) =. . . .−49.
9. (. . . .−3)(. . . .+ 3) = 4x2−. . . ..
Exercice 2. Développer des identités remarquables(c)
Développer les expressions suivantes directement :
1. (x−1)2=. . . . 2. (x+ 7)2=. . . . 3. (x+ 5)(x−5) =. . . . 4. (1−3x)2=. . . . 5. (2x−3)(2x+ 3) =. . . .
6. (3x−2)2=. . . . 7. (8−x)(x+ 8) =. . . . 8. (−1 +x)2=. . . . 9. (−2 + 5x)2=. . . .
Exercice 3. Factoriser des identités remarquables (c)
Factoriser les expressions suivantes :
1. x2−2x+ 1 =. . . . 2. x2+ 12x+ 36 =. . . . 3. x2−16 =. . . . 4. 4x2−1 =. . . . 5. 25x2+ 20x+ 4 =. . . .
6. x2−1 =. . . . 7. x2−6x+ 9 =. . . . 8. 1−8x+ 16x2=. . . . 9. 9−100x2=. . . .
Deuxième partie
Quelques techniques algébriques
Exercice 4. Factorisations
Montrer avec une factorisation les égalités suivantes : 1. Montrer que :
(2x−3)(1−4x)−(2x−3)2= (2x−3)(−6x+ 4) 2. Montrer que :
(2x−3)2−(x+ 1)2= (x−4)(3x−2) 3. Montrer que :
(x+ 1)2−(x−1)2= 4x
Exercice 5. Équation après factorisation
Résoudre les équations suivantes après avoir factorisé l’expression initiale.
1. Résoudre l’équation(E1): x2−9 = 0
2. Résoudre l’équation(E2):
x2−2x+ 1 = 0
3. Résoudre l’équation(E3):
(2x+ 1)2= (x−3)2
4. Résoudre l’équation(E4): 4x2−8 = 0
S1={−2 ; 3},S2={1},S3 =
−4 ; 2 3
,S4=
−√ 2 ; √
2 .
Réponses
Exercice 6. D’après Brevet
On considère l’expression
B(x) = 5x+ 10−(x+ 2)2
1. Factoriser5x+ 10.
2. En déduire une factorisation deB(x).
3. DévelopperB(x).
4. CalculerB(−1),
c’est à direB(x)en remplaçantxpar−1.
Exercice 7. D’après Brevet
SoitABCun triangle rectangle enA. On désigne parxun nombre positif et on a :BC=x+ 7 ; AB = 5.
Prouver que :AC2=x2+ 14x+ 24.
Exercice 8. Développements délicats
Montrer par un développement les égalités suivantes : 1. Montrer que :
(2x−3)2−3(x+ 1)(2−5x) = 19x2−3x+ 3 2. Montrer que :
4
x−1 2
2
−3(x+ 1) 2−x
3
= 5x2−9x−5 3. Montrer que :
9
x−1 3
2
−
x−1
2 x+1 2
= 8x2−6x+5 4
Exercice 9. Astuces et fourberies ! (c)
• Ne pas confondre
(3x)2= 3x×3x= 9x2 et 3x2= 3×x×x= 3×(x2)
• Ne pas confondre
(−x)2= (−x)×(−x) =x2 et −x2=−(x×x) =−(x2)
• On a par ailleurs :
✓ (−a−b)2= (a+b)2 car(−a−b)2=
−1×(a+b)2
= (−1)2×(a+b)2= (a+b)2.
✓ (−a+b)2= (a−b)2= (b−a)2 car(−a+b)2=
−1×(a−b)2
= (−1)2×(a−b)2= (a−b)2.
Astuces
• (−3x+ 1)2= (3x−1)2= 9x2−6x+ 1
• (−3x−1)2= (3x+ 1)2= 9x2+ 6x+ 1
• ∀x∈R, (−4x)2= (4x)2= 16x2>0
• ∀x∈R, −x2=−(x)2=− x2
60
• ∀x∈R, (−x)2=x2>0
Exemple
1. Développer les expressions suivantes : 1. a. A1(x) = (−x−3)2
1. b. A2(x) =x−(−2x+ 5)2 1. c. A3(x) = (−x−1)2−(−x+ 2)2 1. d. A4(x) =−(−x+ 1)2
2. Factoriser les expressions suivantes : 2. a. B1(x) = (2x+ 4)2−(x+ 2)(x+ 3) 2. b. B2(x) =x2+ 2x+ 1−(2x+ 2)(x+ 3) 2. c. B3(x) = 4x2+ 4x+ 1−(6x+ 3)(x+ 1) 2. d. B4(x) =x2+ 2x−3
Astuce :x2+ 2x−3 = (x2+ 2x+ 1)−4
Troisième partie
Choisir une forme adaptée
Ces exercices sont à la base des compétences attendues en classe de seconde.
Exercice 10. Choisir une forme adaptée de B(x)
On considère l’expression
B(x) = (2x+ 1)2−(1−x)2
1. Montrer que :
B(x) = 3x2+ 6x 2. En factorisant, montrer que :
B(x) = 3x(x+ 2)
Pour la suite, vous pourrez utiliser la forme deB(x)la plus adaptée.
3. CalculerB(2), c’est à direB(x)en remplaçantxpar2.
4. CalculerB(−1)etB
−2 3
.
5. Équations
5. a. Résoudre en utilisant la forme factorisée l’équa- tion :B(x) = 0.
5. b. Résoudre l’équationB(x) =−3. 5. c. Résoudre l’équationB(x) = 6x. 5. d. Résoudre l’équationB(x) = 3x2.
5. e. Résoudre l’équationB(x) = 6x+ 3.
B(2) = 24,B(−1) =−3etB
−2 3
=−8
3 ,B(x) = 0⇐⇒x= 0 ou x=−2,B(x) = 6x⇐⇒
x= 0,B(x) =−3⇐⇒x=−1,B(x) = 3x2⇐⇒x= 0,B(x) = 6x+ 3⇐⇒x=−1 ou x= 1.
Réponses
Exercice 11. Choisir une forme adaptée de A ( x )
On considère l’expression
A(x) = (x+ 1)(2−x)−2(x+ 1)(2x+ 3)
1. Montrer que :
A(x) =−5x2−9x−4 2. En factorisant, montrer que :
A(x) = (x+ 1)(−5x−4)
Pour la suite, vous pourrez utiliser la forme deA(x)la plus adaptée.
3. CalculerA(2), c’est à direA(x)en remplaçantxpar2.
4. CalculerA(−1)etA
−2 3
.
5. Équations
5. a. Résoudre en utilisant la forme factorisée l’équa- tion :A(x) = 0.
5. b. Résoudre l’équationA(x) =−4. 5. c. Résoudre l’équationA(x) =−9x−4. 5. d. Résoudre l’équationA(x) =−5x2.
5. e. Résoudre l’équationA(x) =−9x−9.
A(2) =−42,A(−1) = 0etA
−2 3
=−2
9,A(x) = 0⇐⇒x=−1 ou x=−4
5,A(x) =−4⇐⇒
x= 0 ou x=−9 5,
A(x) =−9x−4⇐⇒x= 0,A(x) =−5x2⇐⇒x=−4
9,A(x) =−9x−9⇐⇒x=−1 ou x= 1.
Réponses
Exercice 12. Choisir une forme adaptée (c)
Soit une fonctionf définie surRpar
f(x) = (−1 + 2x)2−(3−6x)(1−x)
Partie A : Écrire et transformer
1. Montrer en développant que :f(x) =−2x2+ 5x−2.
2. Montrer à l’aide d’une factorisation que :f(x) = (1−2x) (x−2). 3. Montrer que pour tout réelx:f(x) =−2
x−5
4 2
+9 8.
Partie B : Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes
1. Calculerf 1
2
etf 5
4
. 2. Montrer quef √
2
= 5√ 2−6.
3. Résoudre dansRles équations :
3. a. (E1) :f(x) = 0; 3. b. (E2) :f(x) = 9
8; 3. c. (E3) :f(x) = (x−2).
4. Déterminer le maximum de la fonctionf surRet le réel pour lequel il est atteint.
Exercice 13. Choisir une forme adaptée (c)
Soit une fonctionf définie surRpar
f(x) = (x+ 2)(3−5x)−(6x−4)(−x−2)
Partie A : Écrire et transformer
1. Montrer que :f(x) =x2+x−2.
2. Montrer que :f(x) = (x−1)(x+ 2).
3. Montrer que pour tout réelx:
f(x) =
x+1 2
2
−9 4
Partie B : Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes
1. Calculerf(0);f
−1 2
etf(1).
2. Montrer quef √ 2
=√ 2.
3. Résoudre dansRles équations : 3. a. (E1) :f(x) = 0;
3. b. (E2) :f(x) =−9 4; 3. c. (E3) :f(x) =−2.
4. Déterminer le minimum de la fonctionfsurRet le réel pour lequel il est atteint.
Exercice 14. Choisir une forme adaptée (c)
On définie une fonctionfdéfinie surRpar :
f(x) = (x−3)(2 + 3x)−(2x−5)(x−3) 1. Écrire et transformer:
1. a. Par un développement, montrer que :
f(x) =x2+ 4x−21 1. b. Par une factorisation, montrer que :
f(x) = (x−3)(x+ 7) 1. c. Montrer que pour tout réelx:
f(x) = (x+ 2)2−25
1. d. Astuce : développer les expressions obtenues aux questions 1b) et 1c) pour vérifier que vous obtenez bien le résultat du développement du 1a).
2. Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes: 2. a. Montrer quef(0) =−21,f(−2) =−25,f(3) = 0;
2. b. Résoudre dansR:
• (E1)l’équation :f(x) = 0;
• (E2)l’équation :f(x) =−21;
• (E3)l’équation :f(x) =−25.
2. c. Déterminer le minimum de la fonctionfsurRet le réel pour lequel il est atteint ; 2. d. Résoudre dansR
• (E4)l’équation :f(x) = 4x;
• (E5)l’équation :f(x) =x2. 2. e. Calculer les images de√
2puis de−2 3 parf. 2. f. Calculer les antécédents de−9parf.
Quatrième partie
Correction
Correction de l’exercice 1 page1
(x−1)2=x2−2x+1,(x−2)2=x2−4x+4,(x−4)2=x2−8x+16,(2x+1)2= 4x2+4x+1,(3x+2)2= 9x2+12x+4 (x−5)2=x2−10x+ 25,(x−2)(x+ 2) =x2−4,(x−7)(x+ 7) =x2−49,(2x−3)(2x+ 3) = 4x2−9.
Réponses
Correction de l’exercice 2 page1
x2−2x+ 1 = (x−1)2,(x+ 7)2 =x2+ 14x+ 49,(x+ 5)(x+ 5) =x2−25,(1−3x)2= 1−6x+ 9x2 (2x−3)(2x+ 3) = 4x2−9,(3x−2)2 = 9x2−12x+ 4,(8−x)(x+ 8) = 64−x2,(−1 +x)2=x2−2x+ 1, (−2 + 5x)2= 25x2−20x+ 4.
Réponses
Correction de l’exercice 3 page1
x2−2x+ 1 = (x−1)2,(x+ 6)2 =x2+ 12x+ 36,(x−4)(x+ 4) =x2−16,(2x+ 1)(2x−1) = 4x2−1 (5x+ 2)2 = 25x2+ 20x+ 4,(x−1)(x+ 1) =x2−1,(x−3)2=x2−6x+ 9,(1−4x)2= 1−8x+ 16x2, (3−10x)(3 + 10x) = 9−100x2.
Réponses
Correction de l’exercice 9 page3 : astuces et fourberies
1. Développer les expressions suivantes :
1. a. A1(x) = (−x−3)2= (x+ 3)2=x2+ 6x+ 9
1. b. A2(x) =x−(−2x+ 5)2=x−(2x−5)2=−4x2+ 21x−25 1. c. A3(x) = (−x−1)2−(−x+ 2)2= 6x−3
1. d. A4(x) =−(−x+ 1)2=−(x−1)2=−x2+ 2x−1 2. Factoriser les expressions suivantes :
2. a. B1(x) = (2x+ 4)2−(x+ 2)(x+ 3) = (x+ 2)(3x+ 5) 2. b. B2(x) =x2+ 2x+ 1−(2x+ 2)(x+ 3) = (x+ 1)(−x−5) 2. c. B3(x) = 4x2+ 4x+ 1−(6x+ 3)(x+ 1) = (−x−2)(2x+ 1)
2. d. B4(x) =x2+ 2x−3 = (x2+ 2x+ 1)−4 = (x+ 1)2−22= (x+ 3)(x−1)
Correction de l’exercice 12 page5
Soit une fonctionf définie surRpar :f(x) = (−1 + 2x)2−(3−6x)(1−x).
Partie A : Écrire et transformer (3 points)
1. Montrer en développant que :f(x) =−2x2+ 5x−2.
f(x) = (−1 + 2x)2−(3−6x)(1−x)
= 1−4x+ 4x2−
3−3x−6x+ 6x2
= 1−4x+ 4x2−3 + 3x+ 6x−6x2 f(x) =−2x2+ 5x−2
2. Montrer à l’aide d’une factorisation que :f(x) = (1−2x) (x−2).
f(x) = (−1 + 2x)2−(3−6x)(1−x)
= (1−2x)2−3(1−2x)(1−x)
= (1−2x)h
(1−2x)−3(1−x)i
= (1−2x)h
1−2x−3 + 3xi f(x) = (1−2x)(−2 +x)
3. Montrer que pour tout réelx:f(x) =−2
x− 5 4
2 + 9
8. Pour tout réelx:
−2
x−5 4
2
+9 8 =−2
x2−5
2 x+25 16
+9
8
=−2x2+ 5x−25 8 +9
8
=−2x2+ 5x−2
=f(x)
Partie B : Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes (11 points)
1. [1 point] Calculerf 1
2
etf 5
4
. En utilisant la forme factorisée :
f 1
2
=
1−2 ×1 2
| {z }
0
× 1
2 −2
f 1
2
= 0
En utilisant la forme (3.) f
5 4
=−2 5
4 −5 4
2
| {z }
0
+9 8
f 5
4
=9 8
2. [1 point] Montrer quef√ 2
= 5√ 2−6.
En utilisant la forme développée : f√
2
=−2 √ 22
+ 5 √ 2
−2 =−4 + 5 √ 2
−2 = 5√ 2−6
3. [6 points] Résoudre dansRles équations:
f(x) = 0
⇐⇒(1−2x) (x−2) = 0
⇐⇒
1−2x= 0
ou
x−2 = 0
⇐⇒
x= 1
2
ou
x= 2
Les solutions de(E1)sont1 2 et 2 .
f(x) =9 8
⇐⇒ −2
x−5 4
2
+9 8 = 9
8
⇐⇒ −2
x−5 4
2
= 0
⇐⇒
x−5
4
= 0
⇐⇒x= 5 4
La solution de(E2)est5 4 .
f(x) = (x−2)
⇐⇒(1−2x) (x−2) = (x−2)
⇐⇒(1−2x) (x−2)−(x−2) = 0
⇐⇒(x−2)
(1−2x)−1
= 0
⇐⇒(x−2)(−2x) = 0
⇐⇒
x−2 = 0
ou
−2x= 0
⇐⇒
x= 2
ou
x= 0
Les solutions de(E3)sont0et 2 . 4. [3 points] Déterminer le maximum de la fonctionf surRet le réel pour lequel il est atteint.
D’après la question A3 on a que pour tout réelx: f(x) =−2
x−5
4 2
+9 8
Pour tout réelx, l’expression
x−5 4
2
est positive ou nul donc :
∀x∈R ;
x−5 4
2
>0 En multipliant par(−2)<0on a :
∀x∈R ; −2
x−5 4
2
60
Et donc en ajoutant9
8 de chaque côté :
∀x∈R ; −2
x−5 4
2
+9 8
| {z }
f(x)
6 9
8
Soit
∀x∈R ; f(x)6 9 8 Le nombre 9
8 est donc un majorant de f sur R, or d’après la question B1, il est atteint pourx = 5
4, c’est donc le maximum defsurR.
Correction de l’exercice 13 page 5
Soit une fonctionf définie surRpar
f(x) = (x+ 2)(3−5x)−(−4 + 6x)(−x−2)
Partie A : Écrire et transformer
1. [1 point]Développement : f(x) =x2+x−2 . 2. [1 point]Factorisation : f(x) = (x−1)(x+ 2). 3. [1 point]Pour tout réelx:
x+1
2 2
−9
4 =x2+x+1 4 −9
4
=x2+x−8 4
=x2+x−2
=f(x) d’après la forme développée de la question 1a)
Et donc
∀x∈R , f(x) =
x+1 2
2
−9 4
Partie B : Choisir l’expression la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes
1. [2 points] Calculs de valeurs.
• [0,5 point]Pour calculerf(0)utilisons la forme développée de la question 1a) : f(0) =−2 ;
• [1 point]Pour calculerf
−1 2
utilisons la forme de la question 1c) :
f
−1 2
=
−1 2+1
2 2
−9
4 = 0−9 4 donc
f
−1 2
=−9 4
• [0,5 point]Pour calculerf(1)utilisons la forme factorisée de la question 1b) : f(1) = 0. 2. [1 point] Montrer quef√
2
=√ 2.
f√ 2
=√ 22
+√ 2
−2 =√ 2
3. Résoudre dansRles équations: 3. a. [1 point](E1) :f(x) = 0:
On utilise la forme factorisée pour résoudre(E1)
f(x) = 0⇐⇒(x−1)(x+ 2) = 0
C’est une équation produit, or par théorème, un produit de facteurs est nul, si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul donc
f(x) = 0⇐⇒
(x−1) = 0 ou (x+ 2) = 0 S(E1)={−2 ; 1}
3. b. [2 points](E2) :f(x) =−9 4 :
On utilise la forme de la question 1c) pour résoudre(E2) f(x) =−9
4 ⇐⇒
x+1
2 2
−9 4 =−9
4
f(x) =−9 4 ⇐⇒
x+1
2 2
= 0
f(x) =−9 4 ⇐⇒
x+1
2
= 0
S(E2)=
−1 2
3. c. [2 points](E3) :f(x) =−2:
On utilise la forme forme développée de la question 1a) pour résoudre(E3) f(x) =−2⇐⇒x2+x−2 =−2
⇐⇒x2+x= 0
⇐⇒x(x+ 1) = 0
C’est une équation produit, or par théorème, un produit de facteurs est nul, si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul donc
f(x) =−2⇐⇒
x= 0 ou (x+ 1) = 0 S(E3)={0 ; −1}
4. [2 points] Déterminons le minimum de la fonctionf surRet le réel pour lequel il est atteint.
On va utiliser la forme de la question 1c) pour cela.
∀x∈R ,
x+1 2
2
>0
et donc
∀x∈R ,
x+1 2
2
−9
4 >0−9 4 soit
∀x∈R , f(x)>−9 4
En outre d’après la question 2a), ce minorant est atteint pourx= −1 2 carf
−1 2
=−9
4, c’est donc le minimum def.
Le minimum def est−9
4, il est atteint pourx=−1 2
Correction de l’exercice 14 page 6
(2.b.)S(E1)={−7 ; 3}/S(E2)={0 ;−4}/S(E3)={−2} (2.c.) min−25, atteint pourx=−2.
(2.d.)S(E4)=√ 21 ; −√
21 etS(E5)= 21
4
(2.e.)f √ 2
= 4√
2−19etf −2
3
= −209 9 (2.f.)(f(x) =−9)⇔(x=−6 ou x= 2)
