Chapitre 10

Chapitre 10

Structures algébriques

Notations.

E désigne un ensemble non vide.

Exercice 1.Illustrer chacune des dénitions présentées dans ce chapitre par des exemples rencon- trés dans les chapitres précédents.

I - Préliminaires I.1 - Lois

Définition 1 (Loi de composition interne, Associativité, Commutativité).

Une loi de composition interne surE est une application de E×E dansE. La loi de composition interne (l.c.i.) ∗est souvent notée

∗ : E×E →E,(x, y)7→x∗y

(i). Une l.c.i. ∗ est associative si∀ x, y, z∈E, x∗(y∗z) = (x∗y)∗z. (ii). Une l.c.i. ∗ est commutative si∀ x, y∈E, x∗y=y∗x.

Notations.

Soient n ∈ N^?, x₁, . . . , x_n ∈ E. Étant données deux l.c.i. associatives ∗ (multiplicative) et + (additive), on note

x1+· · ·+xn=

n

X

k=1

x_k, x1∗ · · · ∗xn=

n

Y

k=1

x_k. x+· · ·+x=n·x, x∗ · · · ∗x=xⁿ.

Proposition 1.

Soit E un ensemble muni d'une l.c.i., notée+, associative et commutative.

∀ n∈N^?, x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_n∈E,

n

X

k=1

(x_k+y_k) =

n

X

k=1

x_k+

n

X

k=1

y_k.

∀ n, p∈N^?,(x_ij)_16i6n,16j6p ∈E^np,

n

X

k=1





p

X

j=1

x_kj



=

p

X

j=1 n

X

k=1

x_kj

! .

Définition 2 (Stabilité).

Soit E un ensemble muni d'une l.c.i. ∗ etF ⊂E. L'ensemble F est stable par ∗ si pour tout (x, y)∈F²,x∗y∈F.

I.2 - Éléments Définition 3 (Neutre).

Soit E un ensemble muni d'une l.c.i.∗ ete∈E. L'élémenteest neutre pour ∗ si

∀ x∈E, e∗x=x∗e=x.

Proposition 2 (Unicité de l’élément neutre).

Soit E un ensemble muni d'une l.c.i.∗. S'il existe, l'élément neutre pour∗ est unique.

Définition 4 (Symétrique).

SoientE un ensemble muni d'une l.c.i.∗, d'un neutreeetx∈E. L'élémentx est symétrisable (ou inversible) pour∗ s'il existe un élémenty∈E tel quex∗y=y∗x=e. L'élémenty est le symétrique de x.

Exercice 2.Montrer que, six est symétrisable, alors son symétrique est symétrisable.

Proposition 3 (Unicité du symétrique).

SoientE un ensemble muni d'une l.c.i. associative et d'un neutre. Soitx∈E. Sixpossède un symétrique, celui-ci est unique.

Notations.

Lorsque la l.c.i. est notée multiplicativement, le symétrique de x est noté x⁻¹. Lorsque la l.c.i.

est notée additivement, le symétrique dex est noté −x. Proposition 4 (Symétrique & Loi).

Soient E un ensemble muni d'une l.c.i. associative ∗ et d'un neutre e. Soientx, y ∈ E deux éléments qui possèdent un symétrique. Alors, x∗y est symétrisable et (x∗y)⁻¹ =y⁻¹∗x⁻¹. Définition 5 (Distributivité).

Soit E un ensemble muni de deux l.c.i.∗ et+. La loi +est distributive par rapport à∗ si

∀ x, y, z∈E, (x∗y) +z = (x+z)∗(y+z), z+ (x∗y) = (z+x)∗(z+y).

II - Groupes, Anneaux, Corps II.1 - Groupes

Définition 6 (Groupe).

Un ensemble Gmuni d'une l.c.i. ∗ est un groupe si (i). ∗ est associative,

(ii). Gadmet un neutre pour ∗,

(iii). tout élément de Gadmet un symétrique pour ∗.

Si∗ est commutative,Gest un groupe commutatif (ou abélien).

Notations.

(G,∗) désigne un groupe d'élément neutre e.

H est un ensemble muni de la l.c.i.∗.

Exercice 3.Parmi les ensembles que vous avez déjà rencontrés, lesquels sont munis d'une structure de groupe naturelle ?

Définition 7 (Sous-groupe).

(H,∗) est un sous-groupe de (G,∗) si (i). H⊂G,

(ii). H6=∅,

(iii). (H,∗) est un groupe.

Théorème 1 (Caractérisation des sous-groupes).

(H,∗) est un sous-groupe de (G,∗) si et seulement si (i). H⊂G,

(ii). e∈H,

(iii). ∀ x, y∈H, x∗y⁻¹ ∈H.

Exercice 4.Montrer que (H,∗) est un sous-groupe de(G,∗) si et seulement si H ⊂G,H6=∅ et

∀x, y ∈H, x∗y⁻¹∈H.

Corollaire 2 (Intersection de sous-groupes).

Soient I un ensemble non vide et (H_i)i∈I une famille de sous-groupes de (G,∗). Alors,

T

i∈I

Hi,∗

est un sous-groupe de (G,∗).

Exercice 5.Montrer que la réunion de deux sous-groupes n'est pas nécessairement un groupe.

II.2 - Anneaux Définition 8 (Anneau).

Un ensemble A muni de deux l.c.i. notées+,×est un anneau si (i). (A,+)est un groupe abélien,

(ii). ×est associative,

(iii). A admet un neutre pour×,

(iv). × est distributive par rapport à+. Si×est commutative,(A,+,×) est un anneau commutatif (ou abélien).

Notations.

Le neutre deApour+est noté0, ou0A, et le neutre deApour×est noté1, ou1A. Pour tout n∈N^?, on note

n a=

n

X

k=1

a, 0a= 0_A, aⁿ=

n

Y

k=1

a, a⁰ = 1_A.

Nous supposerons dans la suite que0_A6= 1_A. Propriété 5.

Soit (A,+,×) un anneau.

(i). ∀x∈A,0×x=x×0 = 0.

(ii). ∀x∈A,(−1)×x=x×(−1) =−x.

(iii). ∀x, y ∈A, (−x)×y=x×(−y) =−(x×y). (iv). ∀x, y ∈A, (−x)×(−y) =x×y.

(v). ∀x, y, z∈A,(x−y)×z=x×z−y×z. (vi). ∀n∈N^?, x₁, . . . , x_n, a∈A,

n

X

k=1

(a×x_k) =a×

n

X

k=1

x_k,

n

X

k=1

(x_k×a) =

n

X

k=1

x_k

!

×a.

(vii). ∀n, p∈N^?, x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_p ∈A,

n

X

i=1





p

X

j=1

(xi×yj)



=

p

X

j=1 n

X

i=1

(xi×yj)

!

=

n

X

i=1

xi

!

×





p

X

j=1

yj



.

(viii). ∀n∈N^?, a∈A,(1−a)×

n−1

X

k=0

a^k=

n−1

X

k=0

a^k

!

×(1−a) = 1−aⁿ.

Exercice 6.Soientn∈N^? eta, b∈A tels quea×b=b×a. Montrer que aⁿ−bⁿ= (a−b)

n−1

X

k=0

a^k×b^n−1−k.

Théorème 3 (Formule du binôme de Newton).

Soient(A,+,×) un anneau,n∈Netx, y∈A tels quex×y=y×x. Alors,

(x+y)ⁿ=

n

X

k=0

n k

x^k×y^n−k.

Exercice 7.SoitA= 1 1

1 1

etB =

1 −1 1 −1

. Déterminer(A+B)² puisA²+ 2AB+B². Définition 9 (Anneau intègre).

Soit (A,+,×) un anneau. L'anneau (A,+,×) est intègre si tous ses éléments sont réguliers, i.e. pour tousa, b∈A, sia×b= 0_A, alors (a= 0_A oub= 0_A).

Propriété 6 (Groupe des inversibles).

Soit (A,+,×) un anneau. Posons A^? l'ensemble des éléments inversibles de A. Alors, (A^?,×) est un groupe.

II.3 - Corps

Définition 10 (Corps).

L'ensemble K muni de deux l.c.i. + (d'élément neutre noté 0) et × (d'élément neutre 1) est un corps si

(i). K6={0},

(ii). (K,+,×) est un anneau commutatif,

(iii). tout élément de Ksauf0 possède un symétrique pour×. Exercice 8.

1. Montrer que pour touta∈K, a6= 1 etn∈N, Pⁿ

k=0

a^k = 1−aⁿ⁺¹

×(1−a)⁻¹. 2. Montrer queQ[√

3] = a+b√

3,(a, b)∈Q² est un corps.

III - Matrices

Dans cette partie, K désigne soit le corps R soit le corps C. Les lettres n et p désignent deux entiers naturels non nuls.

III.1 - Ensemble Mn,p(K) Définition 11 (Matrice).

Une matrice d'éléments de Kà nlignes et p colonnes est une suite nie à np éléments de K.

On note M = (a_ij)16i6n

16j6p. On écrit les éléments deM sous forme d'un tableau den lignes etp colonnes.

M =











a₁₁ a₁₂ · · · a_1p a21 a22 · · · a2p

... ... ... ...

an1 an2 · · · anp









 .

Pour tousi∈J1, nKetj∈J1, pK,aij est l'élément situé à la ligneiet à la colonnej. L'ensemble des matrices d'éléments de Kà nlignes et p colonnes se note Mn,p(K). Lorsque p =n, on le noteMn(K).

Notations.

On munitMn,p(K)des lois suivantes : pour (aij)16i6n

16j6p,(bij)16i6n 16j6p

∈Mn,p(K) etλ∈K,

Addition.(a_ij)16i6n 16j6p

+ (b_ij)16i6n 16j6p

= (a_ij+b_ij)16i6n 16j6p.

Multiplication externe.λ·(aij)16i6n 16j6p

= (λaij)16i6n 16j6p. Théorème 4.

(Mn,p(K),+) est un groupe abélien.

III.2 - Matrices particulières Définition 12 (Transposée).

Soit M = (aij)16i6n 16j6p

∈Mn,p(K). La transposée de M, notée^tM, est la matrice à p lignes etn colonnes dénie par ^tM = (ea_ji)16j6p

16i6n, où pour toutj ∈J1, pKeti∈J1, nK,ea_ji =a_ij. Propriété 7.

Soient(A, B)∈Mn,p(K) etλ∈K. Alors,

tA+λB=^tA+λ^tB.

Exercice 9.SoitM ∈Mn(K). Montrer que^t(^tM) =M.

Définition 13 (Matrices carrée, diagonale, scalaire, triangulaire, symétrique).

Soit A∈Mn(K), la matrice A est carrée.

(i). La matrice Aest diagonale sia_ij = 0dès quei6=j. On noteraA= Diag(a₁₁, . . . , a_nn). Cet ensemble sera noté Dn(K).

(ii). La matrice Aest scalaire s'il existe λ∈Ktel que aij =λδij pour tousi, j ∈J1, nK. On noteCn(K)l'ensemble des matrices scalaires etI_n= Diag(1, . . . ,1).

(iii). La matrice A est triangulaire supérieure si aij = 0 dès que i > j. Cet ensemble sera notéTn(K).

(iv). La matriceAest triangulaire inférieure sia_ij = 0dès quei < j. Cet ensemble sera noté In(K).

(v). La matriceA est symétrique si ^tA=A. Cet ensemble sera notéSn(K).

(vi). La matriceA est antisymétrique si ^tA=−A. Cet ensemble sera noté An(K).

Exercice 10.Montrer que pour toute matrice M ∈ Mn(K), il existe un unique couple (A, S) ∈ An(K)×Sn(K)tel que M =A+S.

III.3 - Produit matriciel Définition 14 (Produit matriciel).

Soient A= (a_ij)16i6p 16j6q

∈Mp,q(K) etB = (b_ij)16i6q 16j6r

∈Mq,r(K). Le produit matriciel, notéAB, est la matriceC = (cij)16i6p

16j6r

∈Mp,r(K) dénie parcij =

q

P

k=1

aikbkj.

Exercice 11.

1. SoitA= 2 0

3 1

etB =

4 2 1 3 4 5

. Calculer le produit AB.

2. SoitDune matrice diagonale et nun entier naturel. Déterminer Dⁿ.

3. δ· désigne le symbole de Kronecker. Soit Ei,j = (δi,rδj,s)_16r6n,16s6p ∈ Mn,p(K) et Ek,` = (δi,rδj,s)<sub>16r6p,16s6q</sub>∈Mp,q(K). Montrer queEi,jE<sub>k,`</sub>=δ_j,kE_i,`.

Propriétés 8.

SoientA, A⁰ ∈Mp,q(K), B, B⁰ ∈Mq,r(K), C ∈Mr,s(K) etλ∈K.

(i). A(λB) =λ(AB).

(ii). Distributivité. (A+λA⁰)B=AB+λA⁰B etA(B+λB⁰) =AB+λAB⁰. (iii). Associativité.(AB)C=A(BC).

Exercice 12.Montrer qu'il existe A, B∈M2(R) non nulles telles queAB= 0_M2(R). Propriété 9 (Produit & Transposée).

SoientA∈Mp,q(K) etB ∈Mq,r(K). Alors,^t(AB) =^tB·^tA.

III.4 - Étude de Mn(K)

Exercice 13.Sin= 1, montrer queM1(K) est isomorphe à K.

Théorème 5 (Structure).

Sin>2,(Mn(K),+,×) est un anneau non commutatif et non intègre.

Exercice 14.SoientA=

1 2

−1 0

etB =

1 1 0 −1

. Calculer(A+B)² puis A²+ 2AB+B².- Définition 15 (Matrices inversibles).

Soit A∈Mn(K). La matriceA est inversible s'il existe B ∈Mn(K) tel queAB =BA=I_n. La matrice B est appelée l'inverse deA et est notée A⁻¹. L'ensemble des matrices inversibles est noté G`_n(K).

Exercice 15.

1. Soit A ∈ Mn(K) une matrice diagonales de coecients diagonaux (λ1, . . . , λn). Déterminer une condition nécessaire et susante pour queA soit inversible.

2.SoitA= a b

c d

∈M2(K). Déterminer une condition nécessaire et susante pour que Asoit inversible, puis déterminer son inverse.

Théorème 6 (Structure).

(G`n(K),×) est un groupe (non abélien si n>2).

Propriété 10 (Inverse & Transposée).

Soit A∈G`n(K). Alors,<sup>t</sup>A∈G`n(K) et(^tA)⁻¹=^t(A⁻¹). III.5 - Opérations élémentaires

Notations.

SoitA∈Mn,p(K). On notera A=





 L1

...

Ln





=

C₁ · · · C_p .

SiB ∈Mq,n(K), alors BA=

BC₁ · · · BC_p .

Plus généralement, on peut décomposer une matriceA en blocs

A=







A1,1 · · · A1,q

... ...

Am,1 · · · Am,q





,

oùA_i,j ∈Mni,pi avec P^m

i=1

n_i =net P^q

i=1

p_i=p. Propriété 11.

SoientA= (Ai,j)etB = (Bi,j)deux matrices décomposées en blocs et λ∈K. Sous réserve de compatibilité des blocs,

(i). A+λB = (Ai,j +λBi,j).

(ii). AB= (Ci,j) se décompose en blocs, oùCi,j =P

A_i,kB_k,j.

Exercice 16.Soit A=

A₁₁ A₁₂ 0 A₂₂

∈M2n(K). Déterminer une C.N.S. sur les sous-matrices pour queA soit inversible.

Définition 16 (Opérations élémentaires).

Une opération élémentaire sur les lignes d'une matrice A =





 L₁

...

L_n





 est l'une des opérations suivantes.

(i). Échange de deux lignes : Li ↔Lj.

(ii). Multiplication d'une ligne par un scalaire non nul : Li ←αLi, α6= 0.

(iii). Addition à une ligne de la combinaison linéaire d'une autre : Li ←Li+λLj, i6=j.

Une opération élémentaire sur les colonnes d'une matrice A =

C1 · · · Cp

est l'une des opérations suivantes.

(i). Échange de deux colonnes : Ci↔Cj.

(ii). Multiplication d'une colonne par un scalaire non nul : Ci ←αCi, α6= 0.

(iii). Addition à une colonne de la combinaison linéaire d'une autre : Ci←Ci+λCj, i6=j. Théorème 7.

Soit A ∈Mn,p(K). Chaque opération élémentaire sur les lignes (resp. colonnes) de A revient à multiplier à gauche (resp. à droite) par une matrice inversible B. La matriceB est obtenue en eectuant l'opération élémentaire à la matrice identité In (resp.Ip).

Exercice 17.Montrer que les matrices d'opérations élémentaires sur les lignes / colonnes sont inversibles. Interpréter ce résultat en termes de résolution de systèmes linéaires.