Chapitre 4

(1)

Chapitre 4 : Ensembles et applications

Sommaire

1 Ensembles de base . . . 2 2 Opérations sur les ensembles . . . 2

I Applications 3

1 Vocabulaire . . . 3 2 Composition . . . 5

(2)

1. Ensembles de base

Les théories mathématiques contiennent nécessairement des concepts que l’on ne peut définir, et sur lesquels se fondent les définitions et propositions de la théorie. On peut notamment citer lesensembles (qui sont intuiti- vement une collection d’objets ou d’éléments) et la relation d’appartenance à un ensemble que l’on note∈. La notationx∈Esignifie quexest un élément de l’ensembleE, ou encore que xappartient à E.

Notation. Pour décrire un ensemble, on peut :

⋆ donner la liste de ses éléments, entre accolades : E={0; e;−3}

⋆ le définir comme la partie d’un ensemble dotée d’une propriété :S ={x∈R, x²= 2} Notation. On peut notamment construire :

1. l’ensemble vide, noté∅, qui ne contient aucun élément.

2. l’ensemble des nombres entiers naturels, notéN={0; 1; 2; 3;. . .}

3. l’ensemble des nombres entiers relatifs, notéZ={. . .;−2;−1; 0; 1; 2;. . .} 4. les intervalles de nombres entiersJ3 ; 7K={3; 4; 5; 6; 7}

5. l’ensemble des nombres rationnelsQ(quotients de nombres relatifs)

6. l’ensemble des nombres réelsRqui contientQet les irrationnels commeπ,e,√ 2, . . . 7. les intervalles : ]3 ; 7] ={x∈R, 3< x67}, [3 ; +∞[ ={x∈R, 36x}, . . .

Bon ne confondra pas{0; 1}(qui ne contient que 0 et 1) et l’intervalle [0 ; 1] (qui contient tous les réels compris entre 0 et 1).

Notation. Si Kest l’un des ensembles ci-dessus, on note K^∗=K\ {0}. De même, on noteR₊= [0 ; +∞[,R₋ = ]−∞; 0],R^∗₊= ]0 ; +∞[. . .

Définition. 1. Un ensemble E qui possède un nombre fini d’éléments est appelé un ensemble fini. Le nombre d’élements deE est appelé le cardinal deE et noté card(E) ou|E|.

2. Si à chaque élément d’un ensembleE, on peut faire correspondre un unique entier et réciproquement, on dit queE est un ensembledénombrable (un tel ensemble a donc un nombre infini d’éléments).

3. Les ensembles qui ne sont pas dans les deux premières catégories sont des ensemblesnon dénombrables.

Exemple1. N(par définition),ZetQsont dénombrables, en revanche,Rou même [0; 1] sont non dénombrables.

Définition. Étant donnés deux ensemblesA etB, le produit cartésienA×B deAest de B est l’ensemble des couples (x;y) oùx∈Aety ∈B.

On peut définir de même des produits cartésiens contenant davantage de facteurs.

SiB=Aon noteA×A=A²,A×A×A=A³, . . .

Exemple 2. ✎A quoi peuvent être associés les éléments deR²?

2. Opérations sur les ensembles

Définition. Soient AetB deux ensembles.

1. Lorsquex∈A =⇒ x∈B, on dit queAestinclus dansB, ce que l’on noteA⊂B.

2. L’intersection deAetB est l’ensemble défini parx∈A∩B ⇐⇒ (x∈Aet x∈B).

3. La réunion deAetB est l’ensemble défini parx∈A∪B ⇐⇒ (x∈Aoux∈B).

4. L’ensembleAprivé deB est défini parx∈A\B ⇐⇒ (x∈Aet x /∈B) (noté encoreA−B).

5. SiA⊂B, le complémentaire deA dansB est ∁_BA=B\A. On le notera A en probabilité lorsqueB correspond à l’univers sur lequel on travaille.

(3)

A B

A∩B

A B

A∪B

A B

A\B A ∁_BAouA

B

Remarque . On a les inclusions : N⊂Z⊂Q⊂R.

Exemple 3. ✎ Étant donné un ensemble E, on note P(E) l’ensemble des parties de E : l’ensemble des ensembles inclus dansE. DécrireP(J1 ; 3K).

Exemple 4. SoitAet B deux sous ensembles de Ω.

Comparer les ensembles suivantsA∪B, A∪B, A∩B, A∩B, A∩A, A∪A, ∅, Ω.

Remarque. Les règles sur les ensembles établies dans l’exemple précédent restent valables pour des réunions (resp.intersections) finies ou dénombrables de sous ensembles de Ω.

Définition(Réunion et intersection finie ou dénombrable d’une famille d’ensembles). SoitE un ensemble et Iun ensemble fini ou dénombrable. On considère une famille de sous ensembles deE, notée (A_i)_i∈I. Alors :

1. On note [

i∈I

Ai la réunion des Ai, pouri ∈I, définie comme l’ensemble des éléments xde E tels qu’il existe au moins un entieri∈I tel quex∈Ai.

2. On note \

i∈I

Ai l’intersection desAi, pouri∈I, définie comme l’ensemble des élements xde Etels que x∈Ai pour tous les entiersi∈I.

Exemple5. ✎Soit 1; 1 +¹_n

n∈N∗une famille de sous-ensembles deR. Donner [

n∈N∗

1; 1 + 1

n

et \

n∈N∗

1; 1 +1

n

Remarque . Les règles sur les ensembles établies dans l’exemple 4 restent valables pour des réunions (resp.

intersections) finies ou dénombrables de sous ensembles de Ω.

I. Applications

1. Vocabulaire

Définition 1. Définir uneapplication f (ou fonction⁽¹⁾), c’est associer à tout élémentxd’un ensembleEun unique élément, notéf(x), d’un ensembleF.

⋆ E est appelé l’ensemble de définitiondef.

⋆ F est l’ensemble d’arrivée def.

⋆ pour toutx∈E,f(x) est l’imagedexpar l’applicationf.

⋆ soit Aun ensemble inclus dansE. On appelle image deA parf, et on notef(A), l’ensemble des images des éléments deA parf :f(A) ={f(x), x∈A}.

⋆ pour touty∈F, les solutions de l’équationy=f(x) d’inconnuexforment l’ensemble des antécédents de y parf. Cet ensemble peut-être vide, ou contenir un, plusieurs, voire une infinité d’éléments.

⋆ sur tout ensembleE non vide, on peut définir l’applicationidentité par IdE:E→E, x7→x.

(1). On ne fait pas de différence ici entre une application ou une fonction. Dans certains textes, une fonction associe au plusun élément de l’ensemble d’arrivée à tout élément de l’ensemble de départ. L’ensemble de définition peut alors être plus petit que l’ensemble de départ.

(4)

Remarque . On définira souvent une fonction par son expression :

f :

R → R₊

x 7→ x² ou f :R→R+, x7→x²

qui signifie quef est définie surE=R, à valeurs dansF =R₊, et associe (flèche spéciale7→) à toutxréel son carréx².

Exemple 6. ✎

1. On a schématisé ci-contre la définition d’une fonctionf définie sur l’ensemble E=J1 ; 4Ket à valeurs dans F={a;b;c;d}

Donner l’image de 3 parf, l’ensemble des antécédents decparf et l’ensemble des antécédents de bparf.

2. Définissonsf :

R→R x7→1 ,g:

R→R x7→x² ,h:

R→R x7→e^x ,i:

R^∗₊→R x7→lnx

Déterminerf(R),g(R),g(R^∗₊),h(R),h(R^∗₊),j(R^∗₊) _E

1

b

2

b

3

b

4b

F ab

bb

cb

db

E−−→^f F

Définition. Une applicationf :E→F est dite

⋆ surjective, ssi tout élément deF a au moinsun antécédent : ∀y∈F, ∃x∈E, f(x) =y.

⋆ surjective, ssif(E) =F.

⋆ injective, ssi tout élément deF aau plus un antécédent :∀(x, z)∈E², f(x) =f(z)⇒x=z.

⋆ bijective, ssi tout élément deF a exactement un antécédent :f est surjective et injective.

E 1b

2b

3b

4b

F ab

bb

cb

db

fni surjective, ni injective

F ab

bb

cb

db

G Xb

Yb

Zb

gsurjective, non injective

G Xb

Yb

Zb

E 1b

2b

3b

4b

hinjective, non surjective

E 1b

2b

3b

4b

F ab

bb

cb

db

ubijective

Remarque. Le cas particulier important de l’algèbre linéaire mis à part (qui sera vu plus tard), on commence souvent l’étude par la surjectivité, la résolution dey=f(x) dans la recherche d’antécédent permettant parfois de prouver l’unicité du même coup.

Exemple 7. ✎les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? 1. Id_E :E→E, x7→x 2.p:R²→R, (x;y)7→x+y 3.v:R→R, x7→x² 4.v:N→N, n7→n+ 1

(5)

2. Composition

Définition. Soient f : E → F et g : F → G deux applications. La composée deget f est l’application

g◦f :E→G, x7→g f(x) .

Exemple 8. Dans l’exemple ci-contre,f(4) =c etg(c) =Z donc g◦f(4) =g(f(4)) =g(c) =Z.

Exemple 9. ✎ Soient f : R→ R, x7→ x² et g : R→ R, x7→ x+ 1.

Donner une expression deg◦f et def◦g.

B: la composition n’est pas commutative :g◦f 6=f◦g en général.

E 1b

2b

3b

4b

F ab

bb

cb

db

G Xb

Yb

Zb

E−−→^f F F−−→^g G

E 1b

2b

3b

4b

G Xb

Yb

Zb

E−−−→^g◦f G

Définition. Dans le cas oùf :E →F est une application bijective, pour touty∈F, on note f⁻¹(y) l’unique antécédent dey parf. L’application réciproque def est l’applicationf⁻¹:F→E.

Par définition,f⁻¹◦f = IdE etf ◦f⁻¹= IdF.

E 1b

2b

3b

4b

F ab

bb

cb

db

E−→−^f F

E 1b

2b

3b

4b

F ab

bb

cb

db

E←−−−^f⁻¹ F

Exemple 10. ✎Expliciter les applications réciproques des bijections de l’exemple 7.