Page 2

1) a. D'après les conditions initiales et la linéarité: x '=a xb t et t '=m xn t.

Dans R : à la date t, O' est en x=u t , donc 0=a xb t=a u tb t ⇒ b= −a u.

Dans R': à la date t', O est en x '= −u t ', donc b t=−u n t ⇒ b= −u n et n=a.

Les deux relations deviennent: x '=ax−u t et t '=atλx avec m=λa.

Réciproquement on obtient: x= x 'u t '

a1λu et t= t '−λx' a1λu. Or la réciprocité doit donner x=ax'u t '.

On en déduit la relation proposée a²1λu =1 et aussi t=at '−λx'.

b. Dans R , le photon a la vitesse c, donc x=ct ⇒ x '=ac−ut et t '=a1λct.

Dans R', le photon a aussi la vitesse c, donc x'=ct ' ⇒ ac−u =ac1λc.

D 'où λ= −u

c² et a= 1



^1−uc22. On peut aussi calculer a et λ à partir de l'égalité x '²−c²t '²=x²−c²t². ___________________________________________________________________________________________

2) a. Dans R, le mouvement de P₁est donné par x₁=v₁t= c

2t et P₁ passe en C3,0,0 à t₀=6 c. Pour P₂: x₂=v_2xt ; y₂=v_2yt2 ; z₂=v_2zt1.

x₂t₀ =3 ⇒ v_2x=v₁= c 2 y₂t₀ =0 ⇒ v_2y= −c

3 z₂t₀ =0 ⇒ v_2z=−c

6

]

^{v2= c63i−2j−k}

b. Dans R', la rencontre a lieu en O' à la date t '₀=γ



^{t0− v1cx2C}



⁼



²³



^{6c − c2 c32}



⁼³

^

^c3.

D'où v'_2x=0 ; v '_2y= − 2

t '₀= − 2

3



^{3c ; v '2z= −}

1

t '₀= − c

3



^{3 ; v '2= −}

c

3



^{32jk.}

On vérifie la loi de composition des vitesses:

v'_2x= v_2x−v₁ 1−v₁v_2x

c²

=0 ; v '_2y=1 γ

v_2y 1−v₁v_2x

c²

= − 2

3



^{3c ; v '2z=}

1 γ

v_2z 1−v₁v_2x

c²

=− 1 3



^3c.

___________________________________________________________________________________________

3) a. Dans R lié à la fusée, le n^ièmeéclair est émis en x=0 et à la date t_n=n T.

Dans R' lié à la Terre, cet événement a lieu en x_n^' =γu n T et à la date t_n^' =γnT.

Ce signal est reçu à la date t_n^''=t_n^'γu n T

c =γn T



^1uc



^.

La période des éclairs pour un observateur terrestre est T '=t^{' '}_n−t_n−1^'' =γT



^1uc



^.

T '=T



^{11−ββ ; T '−TT =}



^{11−ββ−1≈ββ22 si β ≪1.}

b. Au retour u devient−u ,β devient−β d' où T '=T



^{1−1ββ et T '−TT≈ −ββ22.}

c. En mécanique classique, le n^ième éclair serait émis à t_n=t^'_n=nT en x_n^' =u nT.

La vitesse du photon serait c - u par rapport à la Terre et la réception se ferait à la date t^{' '}_n telle que : t_n^''=t_n^'u n T

c−u =nT



^1c−u^u



⁼1−^{n T}β, c' est−à−dire T '=t^{' '}_n−t_n−1^{' '} = T 1−β. T '−T

T = 1

1−β−1≈β1β =ββ². Au retour on aurait T '−T

T ≈ −ββ². Les résultats sont donc différents pour les termes du second ordre en β.

x B

z 1

2

C y

3