Page 1 | 2

(1)

P a g e 1 | 2 Partie A : Evaluation des ressources (15,5pts)

Exercice 1 : 3,5 pts

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂, 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒₁ ⃗⃗⃗ ) on pose ₂ {

𝑧₀ = 8

∀ 𝑛 𝜖 ℕ 𝑧_𝑛+1 =^3−𝑖√3

4 𝑧_𝑛; on note 𝐴_𝑛 le point d’affixe 𝑧_𝑛 et 𝑈_𝑛 = |𝑧_𝑛|

1. Représenter graphiquement 𝐴₀, 𝐴₁, 𝐴₂ et 𝐴₃.? (1pt) 2. Montrer que ∀ 𝑛 𝜖 ℕ, 𝑧_𝑛 = 8 (^√3

2)

𝑛

𝑒⁻^𝑖𝑛𝜋⁶ . (0,5pt)

3. Déterminer la nature de la suite (𝑈𝑛). (0,5pt) 4. Montrer que ∀ 𝑘 𝜖 ℕ, 𝐴𝑘𝐴_𝑘+1= ¹

√3𝑂𝐴_𝑘+1. . (0,5pt) 5. Pour tout 𝑛 𝜖 ℕ, on appelle (𝑙𝑛) la longueur de la ligne brisée des points 𝐴0, 𝐴₁, 𝐴₂, … . , 𝐴_𝑛.

Démontrer que la suite (𝑙_𝑛) est convergente et calculer sa limite. (1pt) Exercice 2 : 5 pts

Dans le système de numération de base 𝑎, on considère les nombres 𝐴 = 211̅̅̅̅̅^𝑎, 𝐵 = 312̅̅̅̅̅^𝑎et 𝐶 = 133032̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅^𝑎. On suppose que 𝐶 = 𝐴 × 𝐵.

1. a. Montrer que 𝑎³− 3𝑎² − 2𝑎 − 8 = 0. (0,5pt) b. En déduire que 𝑎 divise 8. (0,25pt) c. Déterminer 𝑎. (0,5pt) 2. On suppose que 𝑎 = 4.

a. Ecrire 𝐴, 𝐵 et 𝐶 dans le système décimal. (0,75pt) b. Montrer que 𝑃𝑃𝑀𝐶 (𝐴, 𝐵) = 𝐶. (0,25pt) c. En déduire que l’équation 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 1 admet des solutions dans ℤ². (0,25pt) 3. On considère dans ℤ²l’équation (𝐸): 37𝑥 + 54𝑦 = 2

a. Déterminer une solution particulière en utilisant l’algorithme d’Euclide. (0,5pt) b. Résoudre l’équation (𝐸) (0,5pt) 4. Soit 𝑃 un polynôme de degré 𝑛 tel que 𝑃(𝑥) = ∑^𝑛_𝑘=0𝑎_𝑘𝑥^𝑘. Soit 𝑝, 𝑞 ∈ ℤ tel 𝑞 ≠ 0 , 𝑝

premier avec 𝑞 et 𝑃 (^𝑝_𝑞) = 0

a. Démontrer que 𝑝 divise 𝑎0 et 𝑞 divise 𝑎𝑛. (1pt) b. Résoudre dans ℚ l’équation 𝑥³− 3𝑥²− 2𝑥 − 8 = 0. (0,5pt)

Exercice 3 : 7pts

I. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂, 𝑒⃗⃗⃗ , 𝑒₁ ⃗⃗⃗ ) (d’unité 1cm) ₂

Soient 𝐴, 𝐵 et 𝐶 les points d’affixes respectives 𝑧𝐴 = 3 + 5𝑖, 𝑧_𝐵 = −4 + 2𝑖 et 𝑧𝐶 = 1 + 4𝑖. Soit 𝑓 la transformation du plan dans lui-même qui au point 𝑀 d’affixe 𝑧 associe le point 𝑀′

d’affixe 𝑧^′= (2 − 2𝑖)𝑧 + 1.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de 𝑓. (1,25pt)

ANNEE SCOLAIRE 2020/2021

CLASSE: T^C DUREE: 4H COEF: 7 EVALUATION N°2 MINESEC

LYCEE CLASSIQUE ET MODERNE DE NGAOUNDERE DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

(2)

P a g e 2 | 2 2. a. Déterminer l’affixe du point 𝐵′ image du point 𝐵. (0,5pt)

b. Montrer que les droites (𝐶𝐵^′) et (𝐶𝐴) sont orthogonales. (0,5pt) 3. On considère dans ℂ l’équation (𝐸₀): 𝑧³ + 64𝑖 = 0

a. Déterminer une solution 𝑧₀ de (𝐸₀) telle que 𝑧̅ = −𝑧₀ ₀. (0,5pt) b. Déterminer les autres solutions de (𝐸₀) (0,5pt) II. On considère dans ℂ l’équation (𝐸1): 𝑧³+ (3 + 2𝑖)𝑧²+ (11 − 2𝑖)𝑧 + 21 − 12𝑖 = 0

1. Montrer que (𝐸₁) admet une solution imaginaire pure 𝑧₀ à préciser. (0,75pt) 2. Résoudre (𝐸₁) (1,5pt) III. Soit 𝑓 l’application qui a tout point 𝑀 d’affixe 𝑧 ≠ 2𝑖 associe 𝑓(𝑧) =^{𝑧̅−2−5𝑖}_{𝑧̅−2𝑖} , déterminer

puis construire l’ensemble des point 𝑀 tel que |𝑓(𝑧)| = 4 (1pt) IV. Linéariser sin³𝑥 (0,5pt)

Partie B : Evaluation des compétences (4,5pts)

M GET a un grand champ de forme triangulaire dont les extrémités 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont les points où les affixes sont solutions de l’équation (𝐸): 𝑧³ + 2𝑧 − 4𝑖 = 0 dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé d’unité 10 𝑚 sur les axes tel que l’affixe de 𝐴 est la seule solution de (𝐸) ayant une partie réelle nulle. Pour la construction de sa maison, M GET avait prêté une certaine somme d’argent dans une banque. Ayant déjà remboursé une partie, il lui reste exactement la somme de 1.500.000 𝐹𝐶𝐹𝐴 les intérêts y compris. Il a décidé de vendre la moitié de son champ à raison de 10.000 𝐹𝐶𝐹𝐴 le 𝑚² pour rembourser complètement sa dette.

Sur les billets de cette banque, figure un code de 11 chiffres précédés d’une lettre. On remplace la lettre par son rang dans l’alphabet habituel comportant 26 lettres. Un billet est authentique si la somme de tous ses chiffres (le rang de la lettre étant inclus) est congrue à 8 modulo 9.

Dans la somme d’argent reçu par M GET après la vente de la moitié de son champ, les pièces sont uniquement celles de 100 𝐹𝐶𝐹𝐴. Cependant il a oublié le nombre exact de ces pièces ; mais il se rappelle que c’était un nombre compris entre 300 et 400. Une fois à la banque, son gestionnaire lui signale que s’il avait fait des tas de 17 pièces il lui serait resté 9 pièces ; mais que s’il avait fait plus tôt des tas de 5 pièces il lui serait resté 3 pièces.

1. M GET pourra-t-il finir de rembourser complètement sa dette après la vente de son champ ? (1,5pt)

2. Le billet B est-il authentique ? Retrouvé 𝑥 si le billet 𝐴 est authentique. (1,5pts) 3. Quel est le nombre de pièces reçues par M GET ? (1,5pts)

Proposée par Siryle GEUFO Billet A ⟹ { 𝑐𝑜𝑑𝑒: 𝑠0216644810𝑥

𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑒 𝑠: 19 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑢: 190216644810𝑥

Billet B ⟹ { 𝑐𝑜𝑑𝑒: 𝑢01308937097 𝑅𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑒 𝑢: 21 𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑢: 2101308937097