Calcul matriciel
Classe de terminale - option maths expertes
Gottfried Wilhelm Leibniz- Wikimedia
Bien que le calcul matriciel proprement dit n’apparaisse qu’au début du XIXe siècle, les matrices, en tant que tableaux de nombres, ont une longue histoire.
Le texte chinois Les Neuf Chapitres sur l’art mathématique, écrit vers le IIe siècle av. J.-C., est le premier exemple connu de l’utilisation de tableaux pour résoudre des systèmes d’équations, introduisant même le concept de déterminant. En 1545, Jérôme Cardan fait connaître cette méthode en Europe, le mathématicien japonais Seki K¯owa utilise indépendamment les mêmes techniques pour résoudre des systèmes d’équations en 1683. Aux Pays-Bas, Johan de Witt représente des transformations géométriques à l’aide de tableaux en 1659. Entre 1700 et 1710, Leibniz montre comment utiliser les tableaux pour noter des données ou des solutions. En 1750, Gabriel Cramer publie la règle qui porte son nom.
James Joseph Sylvester (1814-1897) est un mathématicien anglais qui a tra- vaillé avec Arthur Cayley sur les formes algébriques, particulièrement sur les formes quadratiques et leurs invariants (loi d’inertie de Sylvester) et à la théorie des déterminants, à la théorie des invariants et à la partition d’un en- tier. Il a notamment introduit en 1850 le terme de matrice pour les tableaux de nombres. Il voit alors une matrice comme un objet donnant naissance à
I - Définitions
Définitions : Unematrice de taille m×n est un tableau de nombres appelés cœfficientsformé de m lignes etn colonnes.
Elle s’écrit sous la forme :
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ...
am1 am2 ... amn
Exemple : A =
Ã50 40 0 70 90 120
!
est une matrice de dimension 2×3.
Définitions : Quelques matrices particulières :
• Une matrice de taille n×n est appeléematrice carrée d’ordre n.
• Une matrice de taille n×1 est appeléematrice colonne.
• Une matrice de taille 1×n est appeléematrice ligne.
• Une matrice carrée dont tous les termes sont nuls sauf ceux de la forme «ai i » (i ∈{1,2,...n}) est appelée matrice diagonale.
• Une matrice de dimensionsn×p dont tous les cœfficients sont nuls est appelée matrice nulleet on la noteO.
Exemples : B =
Ã0,2 0,4 0,8 0,6
!
est une matrice carrée de taille 2.
C =¡
56 62¢
est une matrice ligne de dimension 1×2.
Définition : Deux matrices sont dites égalessi et seulement si elles ont la même taille et ont les mêmes coefficients placés aux mêmes positions.
II - Opérations
1) Sommes de matrices
Définition : Lasommede deux matrices AetB demême tailleest la matrice notée A+B dont les coefficients sont obtenus en additionnant les cœfficients de même position de A et de B.
Exemple : P1 =
Ã50 40 0 70 90 120
!
et P2 =
Ã60 50 0 70 90 120
!
P1+P2=
Ã50 40 0 70 90 120
! +
Ã60 50 0 70 90 120
!
=
Ã110 90 0 140 180 240
!
Propriétés : Soit A,B etC trois matrices de même dimension :
• A+B =B+ A
• (A+B)+C = A+(B +C)
Preuve : Cette démonstration est immédiate en écrivant les cœfficients de chaque matrice.
2) Multiplication par un réel
Définition : Soit une matrice A et un réel k, le produit de A par le réel k est la matrice notéek A dont les cœfficients sont obtenus en multipliant tous les cœfficients de A park.
Exemple : P3=1,1×P2=1,1×
Ã60 50 0 70 90 120
!
=
Ã66 55 0 77 99 132
!
Propriétés : Soient A et B deux matrices de même taille et k et k0 deux nombres réels :
• (k+k0)A =k A+k0A
• k(A+B)=k A+kB
• (kk0)A=k(k0A)
Preuve : Comme pour la propriété précédente, cette démonstration est immédiate en écrivant les cœfficients de chaque matrice.
3) Produit de matrices
Définition : Soit A une matrice de taillem×p etB une matrice colonne à p lignes.
Le produitde A parB est défini par :
A×B =
a11 a12 ... a1p a21 a22 ... a2p ... ... ... ...
am1 am2 ... amp
×
b1 b2 ...
bp
=
a11×b1+a12×b2+...+a1p×bp a21×b1+a22×b2+...+a2p×bp
...
am1×b1+am2×b2+...+amp×bp
Exemple : P2×C =
Ã60 50 0 70 90 120
!
×
25 28 30
=
à 60×25+50×28+0×30 70×25+90×28+120×30
!
Définition : Le produit d’une matrice A de dimensionm×p par une matrice B de dimension p×n est une matrice de dimensionm×n tel que l’élément placé en lignek et colonne j est le produit de la lignek de la matrice A par la colonne j de la matriceB.
Exemple :
Ã0,2 0,4 0,8 0,6
!
×
Ã60 50 0 70 90 120
!
=
Ã0,2×60+0,4×70 0,2×50+0,4×90 0,2×0+0,4×120 0,8×60+0,6×70 0,8×50+0,6×90 0,8×0+0,6×120
!
III - Matrice inverse
1) Matrice identité et puissances
Définition : On appellematrice identité d’ordre n la matrice carrée d’ordren composée de O sauf sur la diagonale qui elle est composée de 1.
I4=
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Propriété : Pour toute matrice carrée d’ordren A, on a : A×In =In×A= A Preuve : Cette propriété est admise.
Définition : Si A est une matrice carrée d’ordren alors Ap = A×A×...×A
| {z }
p f oi s
.
2) Matrice inverse
Définitions : Une matrice carrée A d’ordren est dite inversible s’il existe une matrice carréeB d’ordren telle que :
A×B =B ×A= In où In est la matrice identité d’ordren.
Dans ce cas, la matriceB est appeléematrice inversede la matrice A et est notée A−1. Exemple : Soit A=
Ã0 2 1 2
!
, calculons l’inverse de A.
Notons A−1=
Ãa b c d
!
, on a : A×A−1=I2 c’est-à-dire :
Ã0 2 1 2
!
×
Ãa b c d
!
=
Ã1 0 0 1
!
Donc :
à 2c 2d a+2c b+2d
!
=
Ã1 0 0 1
!
Cela nous permet alors d’écrire le système suivant :
2c =1 2d =0 a+2c=0 b+2d=1
⇐⇒
c= 12 d= 0 a=−1 b= 1 On en déduit que A−1=
Ã−1 1!
3) Matrices d’ordre 2
Définition : Soit A =
Ãa b c d
!
une matrice carrée d’ordre 2. On appelle déterminant de A le nombre :
d et(A)=ad−bc .
Propriété : Soit A =
Ãa b c d
!
une matrice carrée d’ordre 2. A est inversible si et seulement si d et(A)6=0 et, dans ce cas :
A−1= 1 d et(A)
à d −b
−c a
!
Preuve : La démonstration de cette propriété sera vue en exercice.
4) Application à la résolution d’un système linéaire
Propriété : Un système linéaire den équations à n inconnues peut s’écrire sous forme matricielle AX =B où :
• A est une matrice carrée d’ordre n contenant les cœfficients du système,
• X est la matrice colonne àn lignes contenant les inconnues,
• B est la matrice colonne àn lignes contenant les seconds membres.
Dans ce cas, si la matrice inverse de la matrice A existe, on a : X = A−1B
Exemple : Le système
( 2x−3y= 5
x+2y =13 se traduit par :
Ã2 −3 1 2
! Ãx y
!
= Ã 5
13
!
La matrice A=
Ã2 −3 1 2
!
a pour inverse A−1=
2 7
3 7
−1 7
2 7
On en déduit alors que X =
2 7
3 7
−1 7
2 7
× Ã 5
13
!
= Ã7
3
!
IV - Matrices et transformations du plan
Propriété : Dans un repère (O;~i;~j), on considère deux points A(xA;yA),B(xB;yB) et un vecteur~u= Ãx~u
y~u
! .
• B est l’image de A par la translation de vecteur~u si et seulement si ÃxB
yB
!
= ÃxA
yA
! +
Ãx~u y~u
! .
• B est l’image de Apar la rotation de centreO et d’angleθsi et seulement si ÃxB
yB
!
=
Ãcos(θ) −si n(θ) si n(θ) cos(θ)
! ÃxA yA
!
La matrice
Ãcos(θ) −si n(θ) si n(θ) cos(θ)
!
est alors appelée matrice de rotation de centreO et d’angle θ.
Exemple : Soit A(2; 3) et la matrice de la symétrie centrale de centreO (rotation d’angleπ) est
Ã−1 0 0 −1
! les coordonnées deB image de A par cette symétrie sont :
ÃxB yB
!
=
Ã−1 0 0 −1
! Ã2 3
!
= Ã−2
−3
!
