Notions préliminaires
Ensembles
Dénition : Soient deux ensemblesA,B inclus dansUa. L'intersectionde Aet B est A ∩ B={e∈ U |e∈ A ete∈ B}
L'union de AetB estA ∪ B={e∈ U |e∈ Aou e∈ B}
La diérence deA etB est A \ B={e∈ U |e∈ Aete /∈ B}
Le complémentaire deA estA=U \ A={e∈ U |e /∈ A}
P(A)est l'ensemble de toutes les partiesde l'ensemble A.
(Lois de de Morgan) A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B Dénition : Leproduit cartésien den ensembles A1. . .An est l'ensemble de n-uplets A1×. . .× An={(a1, . . . , an)|ai ∈ Ai}. Si Ai =Apour touti, on note An le produit A1×. . .× An.
aUnivers
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Relations
Dénition :Une relation n-airesurA1. . .An est un sous-ensemble de A1×. . .× An.
Dénition :Soit R⊆ A × Aune relation binaire.
Rest réexivea ssi pour tout x∈ A,(x, x)∈R.R est irréexiveb ssi pour tout x∈ A,(x, x)∈/ R.
Rest symétriquec si pour tout x, y∈ A,(x, y)∈R implique (y, x)∈R.R estanti-symétriqued si pour tout x, y∈ A, (x, y)∈Ret (y, x)∈Rimplique x=y.
a≥sur les entiers
b>sur les entiers
c=sur les entiers
d≤
R est transitivee si pour tout x, y, z∈ A, (x, y)∈ Aet (y, z)∈R implique(x, z)∈R.
R est uneéquivalencef si elle est réexive, symétrique et transitive.
R est unecongruencep.r. à f si R est une équivalence compatible avec f, c'est à dire, si a1Rb1. . . anRbn implique f(a1, . . . , an)Rf(b1. . . bn).
e⊆sur les ensembles
f=sur les entiers
Classes d'équivalence
La classe d'équivalencede a∈ A par rapport à une équivalenceR est l'ensemble[a]R={b∈ A |aRb}.
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Composition de relations
Dénition :Si R ⊆ A × B etS ⊆ B × C, alors lacomposition de S avecR est une relation dans A × C t.q.
S ◦ R={(x, y)∈ A × C | ∃z ∈ B(x,z)∈ R et(z,y)∈ S}. Dénition : SoitR ⊆ A × A. On note Rn la n-compositionde R avec elle même par induction comme suit :
R0 = {(a, a)|a∈ A}
Rn+1 = Rn◦ R=R ◦ Rn=R ◦| . . .{z ◦ R}
n+1 fois
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Les clôtures
Dénition :La clôture transitived'une relation R est donnée par
R+ = [∞ n=1
Rn
La clôture réexive et transitive d'une relation R est donnée par
R∗= [∞ n=0
Rn =R+∪ R0
Fonctions
Dénition : Unefonction f entre deux ensembles A etB, notée f :A → B, est une relation sur A × B t.q. pour toutx, y, z si (x, y)∈ f et(x, z)∈f, alors y=z.
Notation : On écritf(x)pour dénoter l'unique élémenty t.q.
(x, y)∈ f etf(C)={y∈ B | ∃x∈ C, f(x) =y}.
On note idA la fonctionidentité sur Adonnée par idA(x) =x. Dénition : Soitf :A → B une fonction.
Le domainede f est Dom(f)={x∈ A | ∃y∈ B,(x, y)∈f} L'image de f estIm(f)={y ∈ B | ∃x∈ A,(x, y)∈f} L'inversea def est f−1={(y, x)∈ B × A |(x, y)∈f}
apas toujours une fonction
Composition de fonctions Dénition :
La composition def :B → C avec g:A → B est la fonction f ◦g:A → C, où f ◦g(x) =f(g(x)).
La n-compositionde f avec elle-même , notée fn, est déni par récurrence surn :
Si n= 0, alorsf0=id Si n >0, alorsfn =f◦fn−1
Exercice : Soitn >0. Montrera que fn =fn−1◦f.
aPar induction, voirla Section suivante
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Propriétés des fonctions
Dénition : Une fonction f :A → B est injective ssi pour tout x, y∈ A,f(x) =f(y) impliquex=y.
Dénition : Une fonction f :A → B est surjectivessi pour tout y ∈ B il existe x∈ Atel que f(x) =y.
Dénition : Une fonction estbijective ssi elle est injective et surjective.
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Fonction caractéristique
Dénition :Soit Aun ensemble inclus dans un univers U. La fonction caractéristiquede Adans U est la fonction
χ:U → {0,1} telle que
∀a∈ U.χ(a) = 1ssi a∈A
Préordres, ordres Dénition :
Un préordre est une relation réexive et transitive.
Un ordreou ordre partielest une relation réexive, anti-symétrique et transitive.
Notation : ≥
Dénition : Un ordre strictest une relation irréexive et transitive.
Notation : >
Dénition : Un ordre strict estbien fondé ssi il n'existe aucune chaîne innie (i.e., de la forme a0> a1> a2> . . .).
Majorants/minorants et bornes supérieures/inférieures SoitE un ensemble muni d'un ordre ≤. SoitA ⊆ E.
Dénition :
Un majorant deA est unx∈ E t.q. pour touty ∈ A, y≤x. Un minorantde Aest unx∈ E t.q. pour touty ∈ A, x≤y. La borne supérieurede A, notée sup(A), est le plus petit des majorants deA(si z est un majorant de Aalors sup(A)≤z).
La borne inférieurede A, notée inf(A), est le plus grand des minorants deA(si z est un minorant de Aalors z≤inf(A)).
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Fonctions monotones et points xes
Dénition : Soitf :A → B une fonction et soient ≤A,≤B deux ordres sur AetB respectivement.
La fonction f estmonotonessi x≤Ay impliquef(x)≤B f(y).
Dénition : Soitf :A → Aune fonction.
Un point xe de f est un élémentx∈ At.q. f(x) =x. Le plus petit point xede f estinf({x∈ A |f(x) =x}). Le plus grand point xede f estsup({x∈ A |f(x) =x}).
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Ordres complets et fonctions continues
Notation : Pour tout ensembleE, on note⊥, s'il existe, l'élément minimum ( t.q. ⊥ ≤e pour toute∈ E).
Dénition :Un ensemble E muni d'un ordre≤ est completssi toute partie deE admet une borne supérieure.
En particulier,⊥=sup(∅)a.
Dénition :Un sous-ensemble non vide C d'un ensemble ordonnéE est unechaîne s'il est totalement ordonné.
Dénition :Soient f :E → E une fonction et≤ un ordre sur l'ensemble complet E. On dit que f est continuessi pour toute chaîne C non vide deE on af(sup(C)) =sup(f(C)).
atout élément deEest un majorant de l'ensemble vide
Exercice :
Montrer que sup({⊥} ∪ X) =sup(X).
Montrer que toute fonction continue est monotone.
Théorèmes du point xe
Théorème : Si f :A → Aest monotone et ≤ est un ordre complet surA, alorsf a un plus grand point xe
sup({x∈ A |x≤f(x)}).
Théorème :Sif :A → Aest continue et≤est un ordre complet surA, alorsf a un plus petit point xesup({fn(⊥)|n∈IN}).
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