Faculté Polydisciplinaire Safi
Département de Mathématiques-Informatique SMA-SMI (S4)
Prof : M. Khiddi
Méthode de Relaxation + Applications.
Méthode de relaxation
La méthode de relaxation de paramètre ω est associée au choix M(ω) = 1
ωD−E etN(ω) = 1−ω ω D+F avec une décomposition de la forme
A=M(ω)−N(ω).
La matrice d’ itération est alors
Lω =M−1(ω)N(ω) = (I−ωL)−1((1−ω)I+ωU) où
L=D−1E etU =D−1F.
Bien entendu, on ne peut parler de cette méthode que lorsque la matrice D est inversible.
Remarque
1. Siω = 1, on retrouve la méthode de Gauss-Seidel.
2. Siω > 1, on parle de sur-relaxation.
3. Siω < 1, on parle de sous-relaxation.
Théorème
Soit A une matrice symètrique et définie positive La méthode de relaxation converge si le paramètre ω ∈]0,2[.
Preuve
La matrice d’itération est alors On a
Lω = (I−ωL)−1((1−ω)I+ωU) Soit λi(ω) les valeurs propres de T(ω). On a
det(Lω) = Πni=1λi(ω) = det1−ωω D+U
detω1D−L = (1−ω)n. D’où
ρ(Lω)≥[|1−ω|n]1/n =|1−ω|.
Pour que la méthode converge, il est nécessaire d’avoirρ(Lω)<1 et par conséquent|1−ω|<1.
Donc 1 < ω <2.
1
Exercice d’application
On veut utiliser la méthode de relaxation pour approcher la solution du système
6x1−3x2+x3 = 11 2x1+x2 −8x3 =−15 x1−7x2+x3 = 10.
(1)
1. Déterminer la solution du système par la méthode de Gauss.
2. Ecrire la méthode de relaxation pour le système suivant, en prenant x(0) = (0,0,0), 3. Calculer les cinq premiers itérés en choisissant successivementω= 0.5, ω = 1 etω = 1.5 Solution
1/
Si on permute les deux dernières équations du système, on obtient un système dont la matrice est à diagàonale strictement dàominante. Considérons donc le sytème
6x1−3x2+x3 = 11 x1−7x2+x3 = 10 2x1+x2−8x3 =−15.
(2) La solution de ce sytème est x1 = 1, x2 =−1 et x3 = 2.
2/
La méthode de relaxation appliquée à ce sytème donne
x01 =x02 =x03 = 0
xm+11 = (1ω)xm1 −ω6(11 + 3xm2 −xm3 ) xm+12 = (1ω)xm2 −ω7(10−xm+11 −xm3 ) xm+13 = (1ω)xm3 −ω8(15−2xm+11 −xm2 )
(3)
On sait qu’une condition nécessaire de la convergence de la méthode de relaxation estω ∈]0,2[.
En prenons successivement ω = 0.5, ω= 1 puisω = 1.5, on obtient les rèsultats 1. ω = 0.5
m 0 1 2 3 4 5
xm1 0 1.91667 1.128503 1.132047 1.092321 1.056083 xm2 0 -0.648810 -0.885831 -0.967129 -0.992467 -0.999118 xm3 0 1.011533 1.528965 1.783043 1.903532 1.958832 2. ω = 1
m 0 1 2 3 4 5
xm1 0 1.833333 0.885417 1.009766 0.998390 1.000103 xm2 0 -1.166667 -0.989583 -1.002511 -0.999926 -1.000041 xm3 0 2.187500 1.972656 2.002127 1.999607 2.000021 3. ω = 1.5
m 0 1 2 3 4 5
xm1 0 2.750000 -0.6782992 2.366198 -0.067728 1838583 xm2 0 -1.533571 -0.750179 -1.123313 -0.916733 -1.0695996 xm3 0 3.552455 0.641254 3.168576 1.030926 2.785956
On constate que pour ω ∈]0,1] la méthode donne de bons résultats contrairement au cas ω >1.
2
Exercice 1
On considére le système suivant.
4 −1 0 0 0
−1 4 −1 0 0
0 −1 4 −1 0
0 0 −1 4 −1
0 0 0 −1 4
x1 x2 x3 x4 x5
=
100 200 200 200 100
1. Déterminer la solution du système par la méthode de Gauss.
En prenantx(0) = (50,100,100,100,50),
2. Ecrire la méthode de relaxation pour le système suivant
3. Calculer les trois itérations obtenus par la méthode de relaxation appliquée au système en prenant ω = 0.5, ω= 1 et ω= 1.5.
Des Notes : Proposition :
Une méthode itérative converge si et seulement si le rayon de convergence de la matrice d’itération B vérifie
ρ(B)<1.
Définition
Une matrice est á diagonale strictement dominantes si
|aii|>X
j6=i
|aij|.
Exemple : Pour n= 3
|a11|>|a12|+|a13|, |a22|>|a21|+|a23| et |a33|>|a31|+|a32|.
Théorème :
SiAest une matrice á diagonale strictement dominante, les méthodes de Jacobi et Gauss-Seidel Sont convergentes.
3
