1 Partie facultative : Etude de l’ensemble H

Cristaux liquides et brossage de hérisson

Benoît Merlet, merlet acmap.polytechnique.fr 13 janvier 2012

Introduction

En dessous d’une certaine température, certains liquides changent de phase pour devenir ce qu’on appelle des cristaux liquides. Cet état peut s’observer grâce au pouvoir rotatoire des molécules qui composent le matériau sur la lumière. En faisant passer de la lumière au travers du matériau, on détecte une structure cristalline alors qu’il a toujours le comportement mécanique d’un fluide. Cela signifie que localement, l’orientation d’une molécule n’est pas indépendante de celle de ses voisines, qu’il y a un ordre.

On s’intéresse ici au cas des cristaux nématiques, formés de molécules très allongées et on modélise leur orientation locale par un vecteur u ∈S² ={v ∈R³ : |v|= 1} appelé directeur. Ces directeurs forment un champs de vecteursu du domaine Ω⊂R³ à valeurs dans S². Pour simplifier, on se place en dimension 2 plutôt que 3, on considère des applications

u: D→S¹,

oùD est le disque unitéD={x∈R² : |x|<1}etS¹ ={v ∈R² : |v|= 1}.

Pour expliquer les comportements observés, Pierre-Gilles de Gennes a proposé de leur associer une énergie, qui dans le cas le plus simple se réduit à l’énergie de Dirichlet :

J(u) = 1 2

Z

D|∇u|².

On peut traiter la surface du récipient contenant le matériau de manière à avoir un ancrage spécifique des molécules à l’interface fluide-récipent. Mathématiquement, cela se traduit par la condition

u = g sur∂D=S¹. oùg: S¹ →S¹ est l’ancrage prescrit. On supposerag de classeC¹.

Dans la première partie de ce mini-projet, on considère le problème de minimisation de J sous la contrainte

u∈H_g¹(D, S¹) := {u∈H¹(D,R²), : ∀x∈D, |u(x)|= 1 ; ∀x∈∂D, u(x) =g(x)}.

On découvrira que pour certains choix de l’ancrage g, l’ensemble H_g¹(D, S¹) est vide. Cela est une conséquence du Théorème du hérisson :

Théorème 1. Soitu∈C(D, S¹) alors il existe un relèvement ϕ∈C(D,R) tel que u(x) = (cosϕ(x),sinϕ(x)).

En particulier, le degré topologique (nombre de tours) de g=u_|S¹ ∈C(S¹, S¹) doit être nul.

On démontrera ce résultat et on en déduira le suivant :

Théorème 2. Soitu∈H_g¹(D, S¹) alors le degré topologique de g est nul.

Ceci implique que si le degré topologique de g n’est pas nul, alors H_g¹(D, S¹) = ∅. Le problème de minimisation n’a alors aucun sens. D’un point de vue physique, cela signifie qu’au moins en certain points, l’orientation des molécules est désordonnée. On modélise cela en relaxant la contrainte|u(x)|= 1: on considère alors

u : D→R².

L’énergie est modifiée pour pénaliser le désordre local. On considèrera l’énergie de Ginzburg-Landau, Jε(u) := 1

2 Z

D|∇u|²+ 1 4ε²

Z

D

(1− |u|²)², (1)

oùε >0est un petit paramètre. Le deuxième terme de l’énergie est appelé terme de pénalisation.

La seconde partie de ce projet traite de l’existence de minimiseurs deJ_ε dansH_g¹(D,R²)ainsi que leur caractérisation.

Les parties suivantes sont consacrées à l’approximation numérique de ces minimiseurs et à l’étude (numérique) de la dépendance enε de l’énergie minimale. D’abord dans le cas radial, ensuite dans le cas général. Dans le cas radial, on programmera avec le logiciel SciLab et dans le cas général, Free- Fem++. Pour vous faire gagner du temps, des de parties programmes sont accessibles à l’adresse http ://www.math.univ-paris13.fr/ merlet.

Avertissement 1 :Dans la partie théorique 1, on n’a besoin que de la notion de fonction continue de classe préparatoire, de la définition de l’espaceH¹et des inégalités de Poincaré et de Cauchy-Schwarz.

Néanmoins, la notion de degré topologique sort du cadre du cours de MAP431. Pour cette raison, cette partie est facultative.

Avertissement 2 :La partie 2 traite d’un problème de minimisation, donc de différentiation de la fonc- tionnelle J_ε. Cette notion est abordée plutôt à la fin du cours de MAP431, on établit donc à la main dans cette partie les résultats nécessaires d’existence et de caractérisation des minimiseurs. Les points du Poly correspondants sont signalés.

1 Partie facultative : Etude de l’ensemble H

( D, S

)

Commençons par définir la notion de degré d’une fonctiong∈C(S¹, S¹). Notonsh(θ) =g(cosθ,sinθ) pourθ∈[0,2π].

Question 1 (facultative).

a/ Montrer que pourN assez grand on a pourθ₁, θ₂ ∈[0,2π]

|θ₁−θ₂|<2π/N =⇒ |h(θ₁)−h(θ₂)|<1/10.

b/ SoitN ∈Nsatisfaisant le critère ci-dessus. On introduit la famille d’intervalles fermés (I_k)_{0≤k≤N−1} I_k := [2kπ/N,2(k+ 1)π/N].

Montrer que pour toutk, il existe une fonction ϕ_k ∈C(I_k,R) telle que

∀θ∈I_k, h(θ) = (cosϕ_k(θ),sinϕ_k(θ)).

Montrer que cette fonction n’est définie qu’à une constante c_k près avec c_k∈2πZ. c/ Montrer queϕ_k(2(k+ 1)π/N)−ϕ_k+1(2(k+ 1)π/N) ∈2πZ.

c/ Montrer queh admet un relèvement ψ∈C([0,2π],R) (unique à une constante près) tel que

∀θ∈[0,2π]. h(θ) = (cosψ(θ), sinψ(θ)).

Montrer qu’il existed∈Ztel que ψ(2π)−ψ(0) = 2πd. On appelle degrés deg cette constantedet on la note

degg=d.

Question 2 (facultative).

Montrer que si deux applications g1, g2∈C(S¹, S¹)sont telles que

∀x∈S¹, |g₁(x)−g₂(x)|<2, alors

degg₁ = degg₂.

Indication : montrer qu’on peut choisir |ψ₁(0)−ψ₂(0)| < π et qu’alors |ψ₁(θ)−ψ₂(θ)| < π pour θ∈[0,2π].

Soitu∈C(D, S¹). On prolonge cette fonction sur le carré Q= [−1,1]×[1,1] en posant

¯ u(x) =

(u(x) si|x| ≤1, u(x/|x|) si|x|>1.

Question 3 (facultative).

a/ Montrer que pour N >0assez grand, on a pourx, y∈Q,

|x−y| ≤√

2/N =⇒ |u(x)¯ −u(y)¯ | < 1/10.

b/ Soit N ∈N un entier satisfaisant la propriété précédente. Pour n = (n₁, n₂) ∈ N², on note Q_n le carré

[n₁/N ,(n₁+ 1)/N]×[n₂/N ,(n₂+ 1)/N]].

Montrer que pourQn⊂Q, il existeϕn∈C(Qn,R) tel que

∀x∈Q_n, u(x) = (cos¯ ϕ_n(x),sinϕ_n(x)).

c/ Montrer queϕ_n n’est définie qu’à une constantec_n près avec c_n∈2πZ . d/ Montrer que siQ_n∩Q_m6=∅, alors il existec_n,m∈2πZ telle que

∀x∈Q_n∩Q_m, ϕ_n(x)−ϕ_m(x) =c_n,m. e/ Montrer qu’il existe un relèvement ϕ∈C(Q,R) tel que

∀x∈Q, u(x) = (cos¯ ϕ(x), sinϕ(x)).

Indication : partir d’un coin et procéder rangée par rangée.

Question 4 (facultative). Déduire le Théorème 1 des questions 1 et 3.

Le Théorème 2 ne se déduit pas immédiatement du Théorème 1. En effet une applicationu∈H_g¹(D, S¹) n’est pas nécessairement continue. Si on définit par exempleu par u(x) := (cosϕ(x),sinϕ(x))avec

ϕ(x) = ln(2 + ln 1/|x|),

on peut vérifier queu∈H¹(D, S¹)mais que un’est pas continue en 0.

Soit g ∈C¹(S¹, S¹) et u ∈ H_d¹(D, S¹). Pour démontrer le Théorème 2, nous devons approcher u par une fonction w∈C(D, S¹). Pour cela, on commence par étendreu sur le disque D(0,2) ={x∈R² :

|x|<2} par

¯ u(x) =

(u(x) si|x| ≤1, g(x/|x|) si|x|>1.

Question 5 (facultative). Montrer queu¯∈H¹(D(0,2), S¹).

Posons maintenant, pour 0< η <1/2 etx∈R²,|x| ≤3/2, v_η(x) := 1

πη² Z

D(x,η)

¯ u(y)dy.

où D(x, η) désigne le disque de centre x et de rayon η. La quantité v_η(x) est donc simplement la moyenne deu¯ sur le disqueD(x, η).

Question 6 (facultative).

a/ Montrer quev_η est continue sur D(0,3/2).Indication : utiliser le fait que u¯ est bornée.

b/ Montrer que pour η assez petit, on a

∀x∈∂D(0,3/2), |v_η(x)−g(x/|x|)| < 1/10.

Indication : utiliser la continuité deg.

Nous allons maintenant établir que pourη assez petit, vη ne s’annule pas. Pour cela, nous rappelons l’inégalité de Poincaré suivante : il existe C >0 telle que pour toutv∈H¹(D), on a

1 π

Z

D|v(x)−m|²dx ≤ CP

Z

D|∇v(x)|²dx, avec m:= 1 π

Z

D

v(x)dx.

Question 7 (facultative).

a/ En utilisant un changement de variable, montrer pour toutx∈R²,r >0etv∈H¹(D(x, r)), on a 1

πr² Z

D(x,r)|v(y)−m_x,r|²dy ≤ C_P Z

D(x,r)|∇v(y)|²dy, avec m_x,r:= 1 πr²

Z

D(x,r)

v(y)dy.

b/ Montrer que pourη >0assez petit, on a

∀x∈D(0,3/2), |v_η(x)|>9/10.

Indication : écrire que pour z ∈ S¹, on a on 1− |vη(x)| ≤ |z−vη(x)|. Appliquer, cette inégalité à z= ¯u(y) et intégrer en y∈D(x, η).

Fixons un telη et posons pourx∈D(0,1),w(x) :=vη(³₂x)/|vη(³₂x)|. Question 8 (facultative).

Déduire le Théorème 2 en appliquant le Théorème 1 àw et en utilisant les questions 2 et 6 b.

2 Existence et caractérisation des minimiseurs de l’énergie J

Soitd∈Zetε >0. On s’interesse à la minimisation de J_ε sous la condition au bordg=g_d avec g_d(cosθ,sinθ) := (cos(dθ),sin(dθ)). (2) Posons

E_g = {u ∈H¹(D,R²) : u=g sur∂D},

Question 9. Montrer que E_g∩C¹( ¯D) est non vide. En déduire qu’il existe u₀ ∈E_g∩C¹( ¯D) tel que Eg =u0+H₀¹(D,R²).

On admet qu’il existe une constante C >0 telle que pour toutv∈H₀¹(D), on av ∈L⁴(D)avec kvkL⁴(D) =

Z

D|v|⁴(x)dx 1/4

≤ Ck∇vkL²(D).

De plus l’injection H₀¹(D) → L⁴(D) est compacte, c’est à dire que si (vn) est une suite bornée dans H₀¹(D) alors elle admet une sous suite convergente dansL⁴(D).

Question 10. Montrer que pour toutu∈E_g, l’énergie J_ε(u) est finie.

On note le minimum d’énergie

λ_ε,d := inf

u∈Eg

J_ε(u).

Nous établissons maintenant l’existence d’au moins un minimiseur deJε dansEg. La preuve proposée dans l’exercice suivant reprend l’idée de la démonstration du Théorème 9.2.6 du Poly.

Question 11.

a/ Montrer queλ_ε,d ≥0 et que si(u_n)⊂E_g est une suite minimisante :

n→∞lim J_ε(u_n) = λ_ε,d,

alors il existe u^⋆ ∈L⁴(D,R²) et une suite extraite de (u_n) qui converge versu^⋆ dans L⁴(D,R²). Par abus de notation, on note encore(u_n)cette suite extraite précédente.

b/ Montrer que la limiteu^⋆ vérifie |u^⋆(x)|= 1 pour presque tout x∈D.

c/ Montrer que si(v_n)⊂L⁴(D,R²)converge vers u^⋆ dansL⁴(D), alors

n→∞lim 1 4ε²

Z

D

(1− |v_n|²)² = 1 4ε²

Z

D

(1− |u^⋆|²)².

d/ Montrer que la suite(∇u_n) est de Cauchy dansL²(D).Indication : Ecrivez l’identité du parallélo- gramme

Z

D

∇

u_n−u_m 2

2

= 1 2

Z

D|∇u_n|²+ Z

D|∇u_m|²

− Z

D

∇

u_n+u_m 2

2

.

Utilisez le fait que (u_n+u_m)/2∈E_g entraîneJ_e((u_n+u_m)/2)≥λ_ε,d. Enfin, utilisez le c/.

e/ En déduireu_n →u^⋆ dansH¹(D), queu^⋆ ∈E_g et finalement montrer queu^⋆ est bien un minimiseur deJε dansEg.

On introduit maintenant la notion de différentielle (voir le Poly définition 10.1.1 et remarque 10.1.2).

Définition 1. On dira que J_ε :E_g ={u₀+H₀¹(D,R²)} → R est différentiable au point u ∈E_g si il existe w∈H₀¹(D,R²) tel que

J_ε(u+v) = J_ε(u) + (w, v)_H¹

0 +o(kvkH0¹), ∀v∈H₀¹(D,R²).

On noteJ_ε^′(u) =w la différentielle.

Question 12. Montrer que J_ε est différentiable en tout point u ∈ E_g et que pour u ∈ E_g et v ∈ H₀¹(B(0,1),R²) on a

(J_ε^′(u), v)_H¹

0 =

Z

D∇u· ∇v− 1 ε²

Z

D

(1− |u|²)uv.

En déduire quew:=J_ε^′(u) est solution du problème variationnel : trouver w∈H₀¹(D,R²) telle que Z

D∇w· ∇v = Z

D∇u· ∇v− 1 ε²

Z

D

(1− |u|²)uv, ∀v∈H₀¹(D,R²). (3) Question 13. Montrer que le problème (3) admet une unique solution dansH₀¹(D,R²).

Question 14. Donner une condition nécessaire satisfaite par les minimiseurs deJ_ε dansE_g.

3 Le cas des solutions radiales

On souhaite étudier qualitativement ces minimiseurs. Dans un premier temps, on ne s’intéresse qu’aux fonctions radiales : de la forme

u(x) = ρ(|x|)g(x/|x|). (4)

On note

H := {ρ : u∈H₀¹(D,R²)}, H_g:= {ρ : u∈E_g(D,R²)}. Pouru, v ∈H¹(D,R²) radiales et d’amplitudes respectives ρ, σ, on a

Z

D

(∇u,∇v)dx = 2π Z ₁

0

d²

rρ(r)σ(r) +rρ^′(r)σ^′(r)

! dr,

L’ensemble des fonctions radiales deH₀¹(D,R²) est fermé dansH₀¹(D,R²). On en déduit que H muni du produit scalaire

(ρ, σ)_H :=

Z ₁

0

d²

rρ(r)σ(r) +rρ^′(r)σ^′(r)

! dr

est un Hilbert. Remarquons queH_g =ρ₀+H où par exempleρ₀(r) =r² et que J_ε(u) = 2πK_ε,d(ρ)

où on a posé

K_ε,d(ρ) := 1

2kρk²H + 1 4ε²

Z 1 0

(1−ρ²(r))²r dr.

On note le minimum d’énergie

µ_ε,d= inf

ρ∈Hg

K_ε,d(ρ).

Comme dans la section précédente, on peut montrer l’existence de minimiseurs ρ_ε,d ∈ H_g réalisant K_ε,d(ρ_ε,d) =µ_ε,d. On a en plus le résultat suivant :

Théorème 3. Le minimiseurρ_ε,d est unique et de classe C^∞ sur [0,1].

Pour d = 0, on a ρ_ε,d ≡ 1 et pour d≥ 1, ρ_ε,d =ρ_ε,−d est strictement croissante avec ρ_ε,d(0) = 0 et ρ_ε,d(1) = 1.

On s’interesse maintenant au casd≥1.

4 Approximation numérique dans le cas radial

Soit d ≥ 1 et ε >0. On va résoudre numériquement le problème de minimisation de K_ε,d dans H_g. Pour cela, on va utiliser une discrétisation par Éléments Finis P¹ des fonctions deHg.

SoitN ≥1, notre pas de discrétisation sera h := 1/N et nos degrés de libertés seront aux abscisses r_i =ihpour i= 0,· · ·, N. Les fonctions de bases (ϕ_i)_i=0,···,N sont définies par

ϕ^h_i(r) :=















0 pour r≤r_i−1,

(r−ri−1)/h pour ri−1 ≤r ≤ri, (r_i+1−r)/h pour r_i ≤r≤r_i+1,

0 pour r_i+1 ≤r.

Notation. Dans la suite, on associera aux vecteurs R^h = (R_i^h)_i=0,···,N, S^h = (S_i^h)_i=0,···,N et T^h = (T_i^h)_i=0,···,N les fonctions

ρ^h(r) :=

N

X

i=0

R_i^hϕ^h_i(r), σ^h(r) :=

N

X

i=0

S_i^hϕ^h_i(r) et τ^h(r) :=

N

X

i=0

T_i^hϕ^h_i(r).

Question 15. Montrer qu’il existe une matriceA= (A_i,j)_0≤i,j≤N telle que (ρ^h, σ^h)_H = (AR^h, S^h).

Donner une formule explicite pour les coefficients deA en fonctions d’intégrales dépendantes des(ϕ^h_i).

Question 16. Montrer que kρ^hk²_H est fini si et seulement si R^h₀ = 0.

Dans la suite on supposera toujoursR^h₀ = 0et par abus de notation on omettra ce premier coefficient en notant R^h = (R^h_i)_i=1,···,N. Pour la même raison, on supprime la première ligne et la première colonne deA, de sorte queA= (Ai,j)1≤i,j≤N.

Question 17. Exprimer l’énergie K_ε,d^h (R^h) := K_ε,d(ρ^h) sous la forme K_ε,d^h (R^h) = 1

2(AR^h, R^h) + 1

4ε²I(R^h).

ExpliciterI en fonction d’intégrales dépendant des (ϕ^h_i).

Question 18.Le script "CalculEnergie.sci" programmé enScilabpermet de calculer l’énergieK_ε,d^h (R^h).

Dans ce programme, toutes les intégrales du typeRri+1

ri f(r)dr ont été approchées par la méthode du point milieu :

Z _ri+1

ri

f(r)dr ≃ hf ri+1+ri

2

! .

Les formules du script sont elles-compatibles avec vos propres formules obtenues aux questions 15 et 17 ?

Question 19. Modifiez ce programme de manière à étudier l’erreur dans l’évaluation de l’énergie.

Indication : pour cela, on choisira une fonctionρ dont on sait calculer l’énergie, on posera R^h_i :=ρ(r^h_i) et on calculera l’erreur

err := K_ε,d^h (R^h)−K_ε,d(ρ).

On tracera log(err) en fonction de log(h) pour N = 2,4,8,16,· · ·. Faites le test pour différentes fonctionsρ. Quel est l’ordre de la méthode d’approximation ?

Question 20. Soit ρ ∈ H_g et σ ∈ H, montrer que la différentielle de K_ε,d^′ en ρ est donnée par la formule

(K_ε,d^′ (ρ), σ)_H = (ρ, σ)_H − 1 ε²

Z ₁

0

(1−ρ²(r))ρ(r)σ(r)r dr.

Question 21. Montrer que ρ^h ∈ H si et seulement si R_N^h = 0 et que ρ^h ∈ H_g si et seulement si R^h_N = 1. A nouveau par abus de notation, on représentera ρ^h ∈H par R^h = (R^h_i)1≤i≤N−1.

Question 22. Soitρ^h∈H_g. On noteτ^h :=K_ε,d^′ (ρ^h)∈H. Montrer que T^h est défini par

(A0T^h, S^h) = (AR^h, S^h) + (B^h, S^h), ∀S^h ∈R^N−1, (5) oùA0= (Ai,j)1≤i,j≤N−1. Exprimer B^h∈R^N−1 en fonction de R^h et des(ϕ^h_i).

5 Approximation numérique des minimiseurs : le cas radial

Pour la minimisation, nous proposons une méthode de descente de gradient à pas constant. Pour une fonctionnelle dérivableJ à minimiser dans un espaceE, cette méthode consiste à construire une suite (x_n)⊂E de la manière suivante :

1/ On se donnex0∈E,

2/ Pour n= 0,1,2,· · · on posex_n+1 :=x_n−pJ^′(x_n).

Le paramètrep >0 est le pas de la méthode.

Remarque 1. Expliquons brièvement le bien fondé de cette méthode. En supposant que la fonctionnelle J est de classe C² et en développant à l’ordre 2, on calcule

J(x_n+1) = J(x_n)−p|J^′(x_n)|²+O(|x_n+1−x_n|²).

On voit alors que si le pas pest assez petit on a bienJ(x_n+1)≤J(x_n) ce qui est souhaitable puisqu’on cherche à minimiserJ. Par ailleurs, la méthode ne stagne que si on aJ^′(x_n) = 0 ce qui est vrai si x_n est un point de minimum deJ.

Le pas est délicat à choisir : on veut qu’il soit assez petit pour qu’on ait J(x_n+1) ≤ J(x_n) à chaque itération, et assez grand pour que la méthode converge rapidement vers un minimiseur.

On peut montrer que siJ est de classe C² et est fortement convexe, alors, si p >0 est assez petit, la méthode converge vers le minimiseur avec l’estimation

kxn−x∞k ≤ Cαⁿ.

pour un 0< α <1 dépendant de p et de J^′′. Le meilleur facteur de convergence α possible dépend du conditionnement de la matrice J^′′, on a α≃1−C/cond(J^′′).

Question 23. Le script "MinimiseEnergie.sci" met en oeuvre la méthode de gradient à pas constant pour minimiserK_ε,d dansH_g.

Utilisez ce programme pour étudier l’énergie minimale approchée µ^h_ε,d. On prendra N = 10³. Repré- sentez le minimiseur approché. Que se passe-t-il quandεtend vers 0 ?

Tracez l’énergie µ^h_ε,d en fonction de ln(ε) pour ε= 0.2, 0.1, 0.05,· · · pour d= 1,2,3,· · ·. Exprimez une conjecture sur le comportement de l’énergie minimale quandεtend vers 0.

6 Approximation numérique des minimiseurs : le cas général

Pour approcher numériquement les minimiseurs de J_ε dansE_g, nous proposons d’utiliser la méthode des éléments finisP² et le logicielFreeFem++. Ce logiciel, permet d’écrire les problèmes sous forme variationnelle : pour calculer J_ε^′ on pourra utiliser directement la formulation (3). De même, pour calculerJ_ε, on peut utiliser la formule (1).

Question 24. A l’aide de FreeFem++, mettez en oeuvre la méthode du gradient à pas constant.

On commencera par le casε= 0.1avecd= 1et on utilisera50points pour mailler le bord du domaine D.

Indication : il est assez efficace de choisir comme donnée initiale la solution radiale donnée (en iden- tifiant R² au plan complexe) paru(x, y) = (x+iy)^d.

Représentez les solutions obtenues pourd= 1,2,3,· · ·.

Question 25. Pourd= 1, la solution trouvée semble-t-elle radiale (du type (4)) ? Et pourd= 2,3,4· · · ?

A votre avis, y-a-t-il unicité du minimiseur ?

Question 26. Pour ε= 0.05. Comment varie l’énergie minimale λ en fonction de d? Comparer avec l’énergie minimale obtenue dans le cas radial (ne pas oublier le facteur2π).