Pourcentages ES 1
Pourcentages et problèmes
Vérifier les acquis n°1 à 7 p 108
I. Lien entre une évolution et un pourcentage A. Evolution exprimée en pourcentage Activité n°1 p 109
Définition – Propriété
𝑡 désigne un nombre positif ou négatif.
Si une évolution de 𝑡 % fait passer du nombre 𝑉0 au nombre 𝑉1, alors 𝑽𝟏= (𝟏 + 𝒕
𝟏𝟎𝟎)𝑽𝟎 On dit que 𝑪𝑴 = 𝟏 + 𝒕
𝟏𝟎𝟎 est le coefficient multiplicateur de 𝑉0 à 𝑉1. Exemples
Un tableau coûte 1 200 euros. Lors d’une vente aux enchères, son prix augmente de 25 %. Son nouveau prix est : 𝑃 = 1 200 + 25
100× 1 200 = 1 200 × (1 + 25
100) = 1 200 × 1,25 = 𝟏 𝟓𝟎𝟎 euros.
En 2000, un village comptait 1 200 habitants. En 2010, on constate que sa population a diminué de 25%. La population P en 2010 est :
𝑃 = 1 200 − 25
100× 1 200 = 1 200 × (1 − 25
100) = 1 200 × 0,75 = 𝟏 𝟎𝟖𝟎 habitants.
Remarques
On parle d’une baisse de 𝟏𝟎 % ou d’une évolution de −𝟏𝟎%.
Propriétés
Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, alors l’évolution est une augmentation (ou une hausse)
Si le coefficient multiplicateur est inférieur à 1, alors l’évolution est une diminution (ou une baisse) Exemples
1,25 est le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 25 %.
0,9 est le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10 %.
Voir exercice résolu 1 p 111 Exercices n°8 – 10 – 11 – 12 p 116
B. Expression d’une évolution en pourcentage Propriétés
Lorsque l’on passe de 𝑉0 à 𝑉1, le taux d’évolution est 𝑽𝟏−𝑽𝟎
𝑽𝟎 .
Démonstration
On note t % le taux d’évolution de 𝑉0 à 𝑉1. Alors 𝑉1 = (1 + 𝑡
100)𝑉0 Donc 1 + 𝑡
100= 𝑉1
𝑉0 et 𝑡
100= 𝑉1
𝑉0− 1 =𝑉1−𝑉0
𝑉0
Exemples
Un prix passe de 150 € à 180 €. Il a subi une augmentation de 20 % car 180−150
150 = 30
150= 0,2 = 20 %
La fréquentation moyenne d’un cinéma passe de 800 personnes le samedi à 320 personnes le mardi.
Il subit une baisse de 60 % car : 320−800
800 = −480
800= −0,6 = −60%
Voir exercice résolu 2 p 111
Exercices n°9 – 13 – 14 – 16 – 17 p 116 – 117
Pourcentages ES 2 II. Evolutions successives – Evolution réciproque
A. Evolutions successives Propriété
Si le taux d’évolution de 𝑉0 à 𝑉1 est 𝑡1 % et le taux d’évolution de 𝑉1 à 𝑉2 est 𝑡2 %, alors le taux d’évolution global 𝑡 % de 𝑉0 à 𝑉2 est tel que
𝟏 + 𝒕
𝟏𝟎𝟎 = (𝟏 + 𝒕𝟏
𝟏𝟎𝟎) × (𝟏 + 𝒕𝟐 𝟏𝟎𝟎) Démonstration
𝑉1 = (1 + 𝑡1
100)𝑉0 et 𝑉2 = (1 + 𝑡2
100)𝑉1 donc 𝑉2 = (1 + 𝑡1
100) × (1 + 𝑡2
100)𝑉0 Comme on a 𝑉2 = (1 + 𝑡
100)𝑉0, par identification 1 + 𝑡
100= (1 + 𝑡1
100) × (1 + 𝑡2
100)
Exemple
Le prix d'un objet augmente de 10% puis diminue de 10%.
Le taux d’évolution est : 1 + 𝑡
100= (1 + 𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎)(1 − 𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎) = 0,99
Le pourcentage d'évolution est donc 0,99 − 1 = −0,01 = −1%. Le prix de l'objet a diminué de 1%.
Remarques
Une hausse de t % ne "compense" pas une baisse de t %. C'est dû au fait que les deux pourcentages ne portent pas sur le même montant.
En effet, si un objet coûtant 100 euros subit une augmentation de 10% son prix passera à 110€ (les 10% ont été calculés par rapport à 100€).
Si son prix subit ensuite une diminution de 10%, le montant de la baisse sera calculé par rapport au prix de 110€ et non plus de 100€. La baisse sera donc de 11€ et non 10€.
En cas d'évolution successives, les pourcentages d'évolutions ne s'ajoutent (ni ne soustraient) jamais.
Voir exercice résolu 1 p 113 Exercices n°18 à 21 p 117
B. Evolution réciproque Propriété
Si le taux d’évolution de 𝑉0 à 𝑉1 est 𝑡 % alors le taux d’évolution réciproque t’ % de 𝑉1 à 𝑉0 est tel que 𝟏 + 𝒕′
𝟏𝟎𝟎= 𝟏 𝟏 + 𝒕
𝟏𝟎𝟎 Démonstration
𝑉1 = (1 + 𝑡
100)𝑉0 donc 𝑉0= ( 1
1+100𝑡 ) 𝑉1.
Exemple
Le prix d'un article augmente de 60%. Pour qu'il revienne à son prix de départ, il faut qu'ensuite il varie de t′ % tel que 1 +100𝑡′ =1,61 = 0,625 100𝑡′ = −0,375 𝑡′ = −37,5
Il faut donc que le prix diminue de 37,5 % pour compenser la hausse de 60 %.
Voir exercice résolu 2 p 113 Exercices n°22 – 23 – 24 – 27 p 117 à 119 Exercices n°30 à 34 – 36 – 37 p 120 – 121
Problèmes n°46 – 48 – 49 – 52 – 53 – 54 – 55 p 124 à 126 AP n°1 à 7 p 114 – 115 Autonomie n°38 à 45 p 122 – 123
