HOMOG´EN´EISATION ET CONTR ˆOLABILIT´E EXACTE DE STRUCTURES MINCES EN QUINCONCE

HOMOG´EN´EISATION ET CONTR ˆOLABILIT´E EXACTE DE STRUCTURES MINCES

EN QUINCONCE

NADIA AIB

Let Ω_εµ be a lattice-type plate of thicknessε, ε-periodically perforated by stag- gered holes. The material is concentrated on layers of thickness εµ. We are interested in the exact internal controllability of the wave equation posed in Ω_εµ with a homogeneous Neumann boundary condition on the boundary of the holes.

First, an exact internal controlvεµ is built by the HUM method introduced by J.L. Lions. Then we study the asymptotic behaviour of the system and of the sequence of controlsvεµas firstε→0 and afterwardsµ→0. The first passage to the limit is a classical homogenization process. We show thatvεµconverge weakly to a functionvµ which is an exact internal control for the homogenized system.

This stability property with respect to the small parameter ε, also occurs with respect to the second small parameterµ. Indeed, we show thatvµconverges to a functionv, an exact control for the limit system obtained by lettingµ→0 in the homogenized problem.

AMS 2000 Subject Classification: 49J45, 35B27, 49J30.

Key words: homogenization, perforated domain, reticulated structure, internal control.

INTRODUCTION

La premi`ere partie de ce travail a ´et´e motiv´ee par les travaux de D.

Cioranescu et J. Saint Jean Paulin [7], [8] concernant l’homog´en´eisation de probl`emes pos´es dans des ouverts born´es perfor´es p´eriodiquement.

Dans une premi`ere ´etape, nous faisons ici la mˆeme ´etude pour l’´equation des ondes dans une plaque mince avec des trous dispos´es en quinconce. Tout d’abord, on ´etudie par la m´ethode HUM de J.L. Lions [11] (voir aussi[10]) la contrˆolabilit´e exacte de ce probl`eme en imposant une condition de Neumann homog`ene sur les bords des trous. On montre l’existence d’un contrˆole ex- act. On homog´en´eise ensuite et on montre que le syst`eme homog´en´eis´e est exactement contrˆolable par la limite du contrˆole exact obtenu par HUM.

Dans la deuxi`eme partie de ce travail, motiv´ee par les travaux de D. Cio- ranescu et P. Donato [6] et de L.R. Tcheugou´e T´ebou [15], on montre tout

REV. ROUMAINE MATH. PURES APPL., 53(2008),2–3, 89–124

d’abord que le syst`eme homog´eneis´e est exactement contrˆolable par la m´ethode HUM. On s’int´eresse ensuite au comportement du syst`eme et du contrˆole lorsque l’´epaisseur µ du mat´eriau tend vers z´ero. Cette ´etude est r´ealis´ee par la technique de structures r´eticul´ees de D. Cioranescu et J. Saint Jean Paulin [8] (voir aussi Aib [1]). On prouve, comme dans la premi`ere partie, qu’on a stabilit´e du probl`eme par rapport au petit param`etre µ, le contrˆole exact du syst`eme homog´eneis´e converge vers le contrˆole exact du syst`eme obtenu en passant `a la limite avec µ→0.

Le plan du travail est le suivant. La g´eom´etrie de la plaque prefor´ee Ω_εµ, d’´epaisseurεest d´ecrite dans le paragraphe 1.1 du Chapitre 1,µrepr´esantant ici l’´epaisseur des couches de mat´eriau dont la plaque est consitu´ee. Nous

´

ecrivons l’´equation des ondes dans Ω_εµ. Par un changement des variables (technique des domaines minces, voir Ciarlet [4], Ciarlet et Destuynder [5]), Ω_εµ est transform´e dans un domaine d’´epaisseur fixe, le param`etre ε appa- raissant alors explicitement dans l’´equation transform´ee. On prouve ensuite l’existence et l’unicit´e d’une solution de cette ´equation. Dans le paragraphe 2.1 nous donnons un premier r´esultat d’homog´en´eisation. En utilisant des pro- longements, nous ´etablissons des estimations a priori des solutions, permettant de faireε→0 dans l’´equation homog´en´eis´ee et d’obtenir une ´equation des on- des homog´en´eis´ee pos´ee sur la section droite (pleine) de la plaque (on perd ainsi une dimension de l’espace). Dans cette ´equation les coefficients d´ependent du param`etre µ.

Dans le Chapitre 2, dans les paragraphes 2.1 et 2.2, nous ´etudions la contrˆolabilit´e exacte interne de l’´equation de d´epart. Par la m´ethode HUM introduite par J.L. Lions [11], nous construisons un contrˆole exact interne pour lequel une estimation a priori est ´etablie. Dans le paragraphe 2.3, en se basant sur les r´esultats du Chapitre 1, nous passons `a l’homog´en´eisation du syst`eme. Nous prouvons que le contrˆole exact converge vers le contrˆole exact du probl`eme homog´en´eis´e dont les coefficients d´ependent du param`etre µ.

Dans le Chapitre 3, on s’int´eresse au comportement asymptotique du syst`eme homog´en´eis´e et de son contrˆole lorsque µ → 0. Par la technique de structures r´eticul´ees de [8], on d´etermine un syst`eme limite. Enfin, on prouve que la limite des contrˆoles est encore un contrˆole exact du syst`eme limite.

1. HOMOG´EN´EISATION 1.1. Position du probl`eme

On consi`ere le domaine perfor´e d´ecrit par la Figure 1; il est contenu dans l’ouvert ω<sub>ε</sub>= ]0, ε[×]0, [×]0, L[,o`uεdesigne l’´epaisseur de la plaque ainsi que la p´eriode. La p´eriodicit´e n’a lieu que dans les directions x₂ et x₃.

Fig. 1. Le domaine en quinconce.

On poseL=mεetl=nεet on recouvre ω_ε par mncellules εY, o`u Y = ]0,1[×]0,2[×]0,2[

est la cellule de r´ef´erence (voir Figure 2).

Fig. 2. La cellule de r´ef´erence.

On noteY_u^∗(resp. ω_εu^∗ ) la partie deY (resp. ω_ε) occup´ee par le mat´eriau o`uµest un petit param`etre qui designe l’´epaisseur des couches. On introduit enfin les notations

ω^∗,0_εµ = ]0, ε[×]0, [× {0}, γ_εµ=∂ω_εµ^∗ \ω_εµ^∗,0.

Notation. Dans toute la suite, les indices i, jprennent leurs valeurs dans {1,2,3}, alors quek, varient dans {2,3}. Les indices r´ep´et´es sont somm´es.

On consid`ere le syst`eme

(1.1)























v_εµ− ∂

∂x_i

a_ij∂v_εµ

∂x_j

= 0 dans ω^∗_εµ×]0, T[, v_εµ= 0 sur ω_εµ^∗,0×]0, T[, a_ij∂v_εµ

∂x_j ν_i= 0 sur γ_εµ×]0, T[, v_εµ(0) =v⁰_εµ dans ω^∗_εµ, v_εµ(0) =v¹_εµ dans ω^∗_εµ,

o`u ν = (ν<sub>i</sub>; 1 ≤ i ≤ 3) est la normale unitaire ext´erieure `a ∂ω^∗_εµ, T est un nombre r´eel arbitraire strictement positif. Les coefficients a_ij, 1 ≤ i, j ≤ 3, sont des constantes ind´ependantes de εetµet v´erifient

(1.2)

a_ij =a_ji,

∃m >0 tel quea_ijξ_iξ_j ≥mξ_iξ_i, ∀ξ = (ξ_i)∈R³.

Pour travailler dans un domaine fixe, on fait le changement de variable

(1.3) z₁ = x₁

ε , z₂=x₂, z₃ =x₃.

Toute fonction φ d´efinie sur ω_ε est ainsi transform´ee en une fonction d´efinie sur le domaine fixe Ω = ]0,1[×]0, [×]0, L[.

On pose u_εµ(z₁, z₂, z₃) = v_εµ(z₁, z₂, εz₃).Alors la premi`ere ´equation du syst`eme (1,1) devient

u_εµ−ε⁻²a₁₁∂²u_εµ

∂z²₁ −ε⁻¹a_il ∂²u_εµ

∂z₁∂z_l −ε⁻¹a_k1 ∂²u_εµ

∂z_k∂z₁ −ε⁻¹a_kl ∂²u_εµ

∂z_k∂z_l = 0, que nous ´ecrirons, pour simplifier la pr´esentation, sous la forme

(1.4) u_εµ+A_εµu_εµ= 0

(avec une signification ´evidente pour A_εµ). Le syst`eme transform´e de (1.1) par le changement (1.3) est alors

(1.5)





















u_εµ+A_εµu_εµ= 0 dans Ω^∗_εµ×]0, T[, u_εµ= 0 sur Ω^∗0_εµ×]0, T[, ε⁻¹a_i1∂u_εµ

∂z₁ +a_il∂u_εµ

∂z_l v_i = 0 sur Γ_εµ×]0, T[, u_εµ(0) =u⁰_εµ dans Ω^∗_εµ, u_εµ(0) =u¹_εµ dans Ω^∗_εµ,

o`u Ω^∗_εµ, Ω^∗0_εµ et Γ_εµ sont les transform´ees respectives deω_εµ^∗ , ω_εµ^∗,0 etγ_εµ.

Le r´esultat suivant est classique, voir [6] ou [11] pour sa d´emonstration, Pour une appplication de la m´ethode de Hille et Yosida, voir [3], [9] et [12].

Pour plus de d´etails, voir aussi V. Komornik [10].

Th´eor`eme 1.1.Supposons que les donn´ees initialesu<sup>0</sup><sub>εµ</sub>etu<sup>1</sup><sub>εµ</sub>du syst`eme (1.1) v´erifient

(1.6) u⁰_εµ∈V_εµ et u_εµ∈L²(Ω^∗_εµ).

Alors(1.5) poss`ede une et une seule solutionu_εµ, et cette solution est telle que (1.7) u_εµ∈C(]0, T[, V_εµ)∩C¹(]0, T[, L²(Ω^∗_εµ)).

1.2. Premier r´esultat de convergence: Homog´en´eisation Dans ce paragraphe, nous allons faire tendreεvers z´ero et nous ´etudierons la stabilit´e par rapport `a ce passage du probl`eme limite obtenu. Pour ce faire, nous aurons besoin des r´esultats suivants:

Lemme 1.2 ([7]). Pour tout ε > 0, µ > 0, il existe un op´erateur de prolongement Q_εµ∈ L(H^k(Ω^∗_εµ), H^k(Ω)), k= 0,1, v´erifiant

(i) Q_εµu_εµ=u_εµ dans Ω^∗_εµ;

(ii) Q_εµu_εµL2(Ω) ≤Cu_εµL2(Ω^∗_εµ);

(iii) ∇Q_εµu_εµ[L2(Ω)]³ ≤C∇u_εµ[L2(Ω^∗_εµ)]³, o`u C est une constante positive ind´ependante de εet µ.

Lemme 1.3 ([6]). Pour tout ε > 0, µ > 0, il existe un op´erateur de prolongement

P_εµ∈ L(L^∞(0, T;H^k(Ω^∗_εµ), L^∞(0, T, H^k(Ω))), k= 0,1,

tel que pour tout ϕ∈L^∞(0, T, H^k(Ω^∗_εµ))avec ϕ ∈L^∞(0, T;L²(Ω^∗_εµ)) on ait (i) P_εµϕ=ϕ dans Ω^∗_εµ×]0, T[ ;

(ii) P_εµϕ= (P_εµϕ) dans Ω^∗_εµ×]0, T[ ;

(iii) P_εµϕ_L∞(0,T;L²(Ω)) ≤Cϕ_L∞(0,T;L²(Ω^∗_εµ));

(iv) ∇P_εµϕ_L∞(0,T;[L²(Ω)]³)≤C∇ϕ_L∞(0,T;[L²(Ω^∗_εµ)]³); (v) P_εµϕ

L^∞(0,T;L²(Ω)) ≤Cϕ

L^∞(0,T;L²(Ω^∗_εµ)), o`u C est une constante positive ind´ependante de εet µ.

Nous sommes maintenant en mesure de formuler le r´esultat principal de ce paragraphe.

Th´eor`eme 1.4.On suppose que les donn´ees initiales dans(1.5) v´erifient (1.8)





 u⁰_εµ

Vεµ ≤ c

µ etu⁰_εµ u⁰_µ faiblement dans L²(Ω), u¹_εµ

L²(Ω^∗εµ)≤c et u⁰_εµ u¹_µ faiblement dans L²(Ω),

o`u C est une constante positive ind´ependante de ε et µ, et ∼ d´esigne le pro- longement par z´ero `a Ω de toute fonction d´efinie dans Ω^∗_εµ.

Alors, lorsque ε→0 (avec µ fixe), on a les convergences (1.9)

P_εµu_εµ u_µ faible∗ dans L^∞(0, T;H¹(Ω)), P_εµu_εµ u_µ faible∗ dans L^∞(0, T;L²(Ω)),

o`u la fonction limite u<sub>µ</sub> est ind´ependante de z<sub>1</sub> et v´erifie le syst`eme ho- mog´en´eis´e

(1.10)



























Y_µ^∗u_µ− ∂

∂z_k

a^kl_µ ∂u_µ

∂z_l

= 0 dans ]0, [×]0, L[×]0, T[,

u_µ= 0 sur ∂

]0, [×]0, L[

×]0, T[, u_µ(0) = u⁰_µ

Y_µ^∗ dans ]0, [×]0, L[, u_µ(0) = u^1,∗_µ

Y_µ^∗ dans ]0, [×]0, L[, avec

u^1,∗_µ = ₁

0 u¹_µdz₁.

Les coefficients homog´en´eis´es q_µ^kl sont donn´es par (1.11) q^kl_µ =

Y_µ^∗a_ij∂(−X_µ^k+y_k)

∂y_i

∂(−X_µ^l +y_l)

∂y_j dy, o`u les fonctionsX<sub>µ</sub><sup>k</sup> sont solutions du syst`eme

(1.12)



























a_ij∂²(−X_µ^k+y_k)

∂y_i∂y_j = 0 dans Y_µ^∗, a_ij∂(−X_µ^k+y_k)

∂y_j n_i = 0 sur ∂_NY_µ^∗, X_µ^k est p´eriodique en y₂ et y₃, M_Yµ^∗(X_µ^k) = 1

Y_µ^∗

Y_µ^∗X_µ^kdy= 0.

Preuve. On commence par montrer qu’il y a conservation de l’´energie du syst`eme (1.5). Multiplions (1.5) paru_εµet int´egrons par parties sur Ω^∗_εµ×]0, T[.

Il vient _T

0

Ω^∗εµ

1 2

d

dt(u²_εµ) dz dt+ _T

0

Ω^∗εµ

ε⁻²a₁₁∂u_εµ

∂z₁

∂u_εµ

∂z₁ +ε⁻¹a_1l∂u_εµ

∂z₁

∂u_εµ

∂z_l + +ε⁻¹a_k1∂u_εµ

∂z_k

∂u_εµ

∂z₁ +a_kl∂u_εµ

∂z_k

∂u_εµ

∂z_l dz dt= 0.

Le terme sur le bord est nul grˆace `a (1.5). La sym´etrie (1.2) des a_ij donne _T

0

1 2

d dt

Ω^∗_εµ

u²_εµ+ε⁻²a₁₁∂u_εµ

∂z₁

2+

+2ε⁻¹a_1l∂u_εµ

∂z₁

∂u_εµ

∂z_l +a_kl∂u_εµ

∂z_k

∂u_εµ

∂z_l dz

dt= 0, i.e.,

(1.13)

_T

0

1 2

d

dt[E(t)]dt= 0⇒E(T) =E(0), o`u

(1.14)











E(0) = 1 2

u¹_εµ²

L²(Ω^∗_εµ)+u⁰_εµ²

Vεµ

, E(t) =

Ω^∗_εµ

u²_εµ+ε⁻²a₁₁∂u_εµ

∂z₁

2+ 2ε⁻¹a₁∂u_εµ

∂z₁

∂u_εµ

∂z_l +a_kl∂u_εµ

∂z_k

∂u_εµ

∂z_l dz.

De (1.13) et (1.14) on d´eduit les estimations

(1.15) u_εµ

L²(Ω^∗εµ)≤ c

µ, u_εµ(L2(Ω^∗_εµ) ≤ c µ,

o`ucest une constante ind´ependante deεetµ. Grˆace `a (1.3)–(1.5), on aboutit `a ε⁻¹∂u_εµ

∂z₁ ²

L²(Ω^∗_εµ) ≤ c µ,

∂u_εµ

∂z₂ ²

L²(Ω^∗_εµ)≤ c µ,

∂u_εµ

∂z₃ ²

L²(Ω^∗_εµ)≤ c µ, d’o`u

∇u_εµ(L2(Ω^∗_εµ))² ≤ c µ,

qui, par l’in´egalit´e de Poincar´e (avec une constante ne d´ependant que du diam`etre de Ω), donne

u_εµH1(Ω^∗_εµ)≤ c µ.

Alors, de (1.15) on a finalement u_εµ

(L^∞(0,T;L²(Ω^∗_εµ))≤ c

µ, u_εµL^∞_(0,T;(H(Ω∗εµ))≤ c µ.

Ceci permet d’appliquer le Lemme 2.2 pour avoir, `a une sous-suite pr`es, les convergences

(1.16)

P_εµu_εµ→u_µ faible∗ dansL^∞(0, T;H¹(Ω)), P_εµu_εµ→u_µ faible∗ dansL^∞(0, T;L²(Ω)), o`uu_µest ind´ependante dez₁ (voir [4] et [5]).

Il nous reste `a montrer que u_µ v´erifie les autres ´equations de (1.10).

Posons

ξⁱ_εµ=ε⁻¹a_i1∂u_εµ

∂z₁ +a_ik∂u_εµ

∂z_k , i= 1,2,3.

En vertu de (1.15),

ξ_εµⁱ

L^∞(0,T;L²(Ω^∗_εµ))≤ c µ, de sorte qu’`a une sous-suite pr`es on a

ξ_εµⁱ →ξ_µⁱ faible ∗dansL^∞(0, T;L²(Ω)), avec ξⁱ_εµv´erifiant le syst`eme







u_εµ−ε⁻¹∂ξ_εµ¹

∂z₁ −∂ξ²_εµ

∂z₂ −∂ξ_εµ³

∂z₃ = 0 dans Ω^∗_εµ×]0, T[, ξ¹_εµn1 =ξ²_εµn2 =ξ_εµn³ ₃ = 0 sur Γ_εµ×]0, T[, soit encore, avec la notation χ_Ω∗

εµ pour la fonction caract´eristique de Ω^∗_εµ, (1.17)







(P_εµu_εµ)χ

Ω^∗_εµ−ε⁻¹∂ξ_εµ¹

∂z₁ −∂ξ²_εµ

∂z₂ −∂ξ_εµ³

∂z₃ = 0 dans Ω×]0, T[, ξ_εµ¹ .n₁=ξ²_εµ.n₂ =ξ_εµ³ .n₃ = 0 sur ∂Ω\(]0,1[× {0})×]0, T[.

Soient maintenant ϕ ∈ D(]0, [×]0, L[) et v ∈ D(]0, T[), et multiplions (1.17)₁ par ϕv. En int´egrant par parties le premier terme par rapport `a t et le second par rapport `a z, on obtient

(1.18) _T

0 Ω

P_εµu_εµϕvχ

Ω^∗εµdz dt+

_T

0

Ω

ξ_εµ² ∂ϕ

∂z₂+ξ³_εµ∂ϕ

∂z₃ vdzdt= 0.

En se rappelant (voir, par exemple, [2]) la convergence χ_Ω∗

εµ →Y_µ^∗ faible∗ dansL^∞(Ω),

le passage `a la limite pourε→0 dans (1.18) donne _T

0 Ω

u_µϕvY_µ^∗dz dt+ _T

0 Ω

ξ_µ²∂ϕ

∂z₂ +ξ³_µ∂ϕ

∂z₃ dz dt= 0, d’o`u

_T

0 L 0

0

₁

0

ξ_µ²∂ϕ

∂z₂+ξ_µ³∂ϕ

∂z₃ dz₁dz₂dz₃ vdt=

=−Y_µ^∗ _T

0

_L

0

0

₁

0 u_µϕvdzdt,

avec u_µ d´ependant seulement dez₂ etz₃. Le syst`eme limite s’´ecrit alors sous la forme

(1.19) ∂

∂z_{2 1}

0 ξ²_µdz₁

+ ∂

∂z_{3 1}

0 ξ_µ³dz₁

=Y_µ^∗u_µ. Maintenant, nous allons identifier les termes₁

0 ξ_µ²dz₁et₁

0 ξ_µ³dz₁en fonc- tion de u_µ. Posons

w^k(y) =−X_µ^k(y) +y_k et w^k_ε(z) =εQw^k z₁,z₂

ε,z₃ ε ,

o`u X<sub>µ</sub><sup>k</sup> est d´efinie par (1.12) et Q est le prolongement `a Y donn´e par le Lemme 1.2 pour le domaineY_µ^∗ (voir [7] pour plus de d´etails). Par des calculs simples, on montre (voir, par exemple [6], et [7]) que l’on a l’estimation

X_µ^k

H¹(Y_µ^∗)≤c,

avec c une constante ind´ependante de ε. On a alors w^k_H¹_(Yµ^∗₎ ≤ c et w_ε^k

H¹(Y)≤c. On peut donc extraire une sous-suite telle que (1.20) w^k_ε z_k faiblement dansH¹(Ω).

On introduit les fonctions η_i^k(y) =a_ji∂ω^k

∂y_j , η_iε^k (z) =η^k_i z₁,z₂

ε,z₃ ε , d´efinies respectivement par











−∂η^k_i

∂y_i = 0 dansY_µ^∗, η_i^kn_i= 0 sur∂_NY_µ^∗, η_i^k p´eriodique en y₂ ety₃,

et (obtenu par une une mise `a l’´echelle)







−ε⁻¹∂η_1ε^k

∂z₁ −∂η_2ε^k

∂z₂ −∂η^k_3ε

∂z₃ = 0 sur Ω^∗_εµ,

η_iε^kn_i = 0 sur Γ_εµ.

En utilisant la mˆeme technique de prolongement que celle pourξ_εⁱ,on en d´eduit

(1.21)







−ε⁻¹∂η_1ε^k

∂z₁ −∂η^k_2ε

∂z₂ −∂η^k_3ε

∂z₃ = 0 dans Ω, η_iε^kn_i = 0 sur∂Ω\(]0,1[×]0, [× {0}).

On v´erifie sans peine que l’on a les estimationsη_i^k

L²(Yµ^∗) ≤cetη_iε^k

L²(Ω)≤ c, ind´ependamment de ε. On a donc la convergence (`a une sous-suite pr`es) (1.22) η_iε^k → MY

η^k_i faiblement dans L²(Ω).

Soient v ∈ D(]0, T[) et ϕ ∈ D(]0, [×]0, L[)). Multiplions la premi`ere

´

equation de (1.18) par v ϕ w^k_ε et int´egrons par parties sur Ω×]0, T[. Il vient _T

0 Ω

P_εµu_εµX_Ω∗

εµv ϕw^k_εdz dt+ _T

0

v ε⁻¹

Ω

ξ¹_εµϕ∂w_ε^k

∂z₁dz dt+

+ _T

0 v

Ω

ξ_εµ² ϕ∂w^k_ε

∂z₂ dz dt+ _T

0 v

Ω

ξ_εµ³ ϕ∂w_ε^k

∂z₃ dz dt+

+ _T

0 v

Ω

ξ_εµ² ∂ϕ

∂z₂w^k_εdz dt+ _T

0 v

Ω

ξ_εµ³ w_ε^k∂ϕ

∂z₃dz dt= 0.

Multiplions (1.21)₁ par vϕP_εµu_εµ et int´egrons par parties sur Ω×]0, T[.

Il vient _T

0 v ε⁻¹

Ω

η_1ε^k ϕ ∂P_εµu_εµ

∂z₁ dz dt+ _T

0 v

Ω

η^k_2εϕ ∂P_εµu_εµ

∂z₂ dz dt+

+ _T

0 v

Ω

η^k_3εϕ ∂P_εµu_εµ

∂z₃ dz dt+ _T

0 v

Ω

η_2ε^k ∂ϕ

∂z₂ P_εµu_εµdz dt+

+ _T

0 v

Ω

η^k_3εϕ ∂ϕ

∂z₃ P_εµu_εµdz dt= 0.

Par soustraction on a alors _T

0 v

Ω

ξ²_εµ ∂ϕ

∂z₂ w^k_εdz dt+ _T

0 v

Ω

ξ³_εµ ∂ϕ

∂z₃ w_ε^kdz dt−

− _T

0 v

Ω

η_2ε^k ∂ϕ

∂z₂ P_εµu_εµdz dt− _T

0 v

Ω

η_3ε^k ∂ϕ

∂z₃ P_εµu_εµdz dt=

=− _T

0 Ωχ

Ω^∗_εµ vP_εµu_εµϕw^k_εdz dt, d’o`u, en passant `a la limite avec ε→0, on obtient

_T

0

v

Ω

ξ_µ² ∂ϕ

∂z₂ z_kdz dt+ _T

0

v

Ω

ξ³_µ ∂ϕ

∂z₃ z_kdz dt−

− _T

0 v

ΩM_Yη^k₂∂ϕ

∂z₂u_µdz dt− _T

0 v

ΩM_Yη₃^k∂ϕ

∂z₃u_µdz dt=

=− _T

0

Ω

Y_µ^∗vu_µϕ z_kdzdt.

Int´egrant par parties dans cette ´egalit´e donne _T

0 ξ_µ²dz₁+ ₁

0 ξ³_µdz₁ =MYη₂^k∂u_µ

∂z₂ +MYη₃^k∂u_µ

∂z₃, ce qui, remplac´e dans (1.19) permet d’´ecrire

∂

∂z_l

MYη^k_l∂u_µ

∂z =Y_µ^∗u_µ. On pose alors

q_µ^kl=

Y_µ^∗η^k_l dy=

Y_µ^∗a_ij∂

−X_µ^k+y_k

∂y_i

∂

−X_µ^l +y_l

∂y_j dy,

ce qui est la formule (1.11). On retrouve ainsi la premi`ere ´equation de (1.10).

Pour terminer la preuve du th´eor`eme, il reste `a montrer que les deux derni`eres

´

equations de (1.10) sont v´erifi´ees.

Soient ϕ ∈ D(]0, [×]0, L[), v ∈ D(]0, T[) avec v(T) = 0. Multiplions la premi`ere ´equation de (1.17) par ϕv et int´egrons par parties sur Ω×]0, T[.

Il vient (1.23)

− _T

0

Ω

u_εµvϕdz dt−

Ω

u_εµ(0) v(0)ϕdz+ _T

0

Ω

ξ_ε∂ϕ

∂zvdz

dt= 0,

o`u on va passer `a la limite. Pour ce faire, on aura besoin de la limite de u_εµ qui existe grˆace aux hypoth`eses (1.8). Siψ∈ D(Ω), h∈ D(]0, T[) on a

(1.24)

_T

0 Ω^∗_εµu_εµψhdz dt= _T

0

Ω^∗_εµu_εµψhdz dt

= _T

0 ΩP_εµu_εµχ

Ω^∗_εµψhdz dt.

Par ailleurs, (1.25) _T

0

Ω^∗_εµu_εµψhdz dt= _T

0

Ω

u_εµψhdz dt=− _T

0 Ω

u_εµψhdz dt.

De (1.24) et (1.25) on a _T

0 Ω

P_εµu_εµ.X_Ω∗εµψhdz dt=− _T

0 Ω

u˜_εµψhdz dt, ce qui donne `a la limite

_T

0 Ω

Y_µ^∗ u_µψ hdz dt=− _T

0 Ωu_µψ hdz dt.

Une int´egration par parties implique que l’on a

− _T

0 Ω

Y_µ^∗ u_µψ hdz dt=− _T

0 Ωu_µψhdz dt, d’o`u

u_εµY_µ^∗u_µ faible∗ dans L^∞(0, T;L²(Ω)).

Passant alors `a la limite dans (1.23), il vient

− _T

0 Ω

Y_µ^∗u_µvϕdz dt−

Ωu¹_µv(0) ϕdz+ _T

0 Ωξ_µ ∂ϕ

∂zvdz dt= 0, d’o`u, en int´egrant par parties sur Ω×]0, T[,

_T

0

Ω

Y_µ^∗u_µv ϕdzdt+

Ω

Y_µ^∗u_µ(0)v(0) ϕdz−

Ωu¹_µv(0) ϕdz−

− _T

0 v ^L

0

0

∂

∂z

1

0 ξ_µdz₁ ϕdz₂dz₃ dt= 0.

En vertu de (1.25), on a alors

Ω

Y_µ^∗u_µ(0) v(0) ϕdz−

Ωu¹_µv(0) ϕdz= 0,

d’o`u on d´eduit aisement

u_µ(0) = 1 Y_µ^∗ ₁

0 u¹_µdz₁.

Il reste `a prouver que la derni`ere ´equation de (1.10) est verifi´ee. Pour cela, soient ϕ∈ D(]0, [×]0, L[) etv ∈ D(]0, T[) avec v(T) = 0 et v(0)= 0.

Multiplions (1.12) par ϕ v et int´egrons deux fois par parties par rapport `a t.

On obtient _T

0

Ωu_εµv ϕdzdt+

Ωu_εµ(0)v(0)ϕdz+ _T

0

Ω

ξ_ε ∂ϕ

∂z vdzdt= 0, ou bien

(1.26)

_T

0

Ωχ

Ω^∗_εµP_εµu_εµvϕdzdt+

Ωχ

Ω^∗_εµ P_εµu_εµ(0) ϕ v(0) dz+

+ _T

0

Ω

ξ_ε ∂ϕ

∂z v dz

dt= 0.

Pour y passer `a la limite, on remarque queP<sub>εµ</sub>u<sub>εµ</sub>(0) =Q<sub>εµ</sub>u<sup>0</sup><sub>εµ</sub>, o`uQ_εµest le prolongement donn´e par le Lemme 2.1. Or χ

Ω^∗_εµQ_εµu⁰_εµ = u⁰_εµ. Alors, par le Th´eor`eme 2.3, on a la convergence

u⁰_εµ u⁰_µ faiblement dansL²(Ω). Par cons´equent,

Q_εµu⁰_εµ u⁰_µ

Y_µ^∗ faiblement dans L²(Ω). En passant `a la limite dans (1.26), on obtient

_T

0 Ω

Y_µ^∗u_µvϕdz dt+

Ω

Y_µ^∗ u⁰_µ

Y_µ^∗ ϕ v(0) dz+

+ _T

0 Ω

ξ^l_µ∂ϕ

∂z_l vdz dt= 0.

En proc´edant comme auparavant, on a

(1.27) −

Ω

Y_µ^∗u_µ(0)v(0)ϕdz+

Ωu⁰_µϕ v(0) dz= 0,

avec u⁰_µ d´ependant uniquement dez₂ etz₃. De mˆeme, on a les estimations u⁰_εµ

H¹(Ω^∗_εµ)≤c, u⁰_εµ

H¹(Ω)≤c, ∂u⁰_εµ

∂z₁ ≤c ε,

et, par cons´equent,

∂u⁰_εµ

∂z₁ u⁰_µ

∂z₁ faiblement dansL²(Ω) avec ∂u⁰_µ

∂z₁ = 0.

Finalement, (1.27) donne u_µ(0) =u⁰_µ/Y_µ^∗, ce qui termine la preuve.

2. CONTR ˆOLABILIT ´E EXACTE ET CONVERGENCE DES CONTR ˆOLES LORSQUE ε→0

2.1. Position du probl`eme

Avec les mˆemes notations qu’au premier chapitre et dans le mˆeme cadre g´eom´etrique, on consid`ere le syst`eme

(2.1)





















u_εµ+A_εµu_εµ=v_εµ dans Ω^∗_εµ×]0, T[, u_εµ= 0 sur Ω^∗,0_εµ ×]0, T[,

ε⁻¹a_i1∂µ_εµ

∂z₁ +a_i∂µ_εµ

∂z ν_i = 0 sur Γ_εµ×]0, T[, u_εµ(0) =u⁰_εµ dans Ω^∗_εµ,

u_εµ(0) =u¹_εµ dans Ω^∗_εµ,

o`uv<sub>εµ</sub>est le contrˆole que nous nous proposons de d´eterminer de mani`ere `a avoir u_εµ(T) =u_εµ(T) = 0 dans Ω^∗_εµ.

Nous allons tout d’abord montrer qu’un tel contrˆole existe et ensuite nous allons ´etudier son comportement lorsqueεetµtendent vers z´ero.

2.2. Contrˆolabit´e exacte par HUM

Cette ´etude est guid´ee par la m´ethode HUM, introduite par J.L. Lions [11]. Prenons

u⁰_εµ, u¹_εµ

dansV_ε×L² Ω^∗_εµ

, o`u V_εµ est l’espace V_εµ=

u_εµ∈H¹ Ω^∗_εµ

; u_εµ= 0, sur∂Ω^∗_εµ , muni de la norme ϕ_Vεµ =∇ϕ_[L2(Ω^∗_εµ)]³, ∀ϕ∈V_εµ.