III. Temps d'attente

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MPSI B Année 2019-2020. DS 9 le 22/05/20 23 mai 2020

Dans tout le problème,petqappartiennent à ]0,1[et vérient p+q= 1. Pour toutz∈Ret n∈N, on convient de noter

z n

=

nfacteurs

z }| { z(z−1)· · · n! .

I. Généralisation de sommes usuelles

Soitr >0et f ∈ C^∞(]−∞,1[dénie par :

∀x <1, f(x) = (1−x)^−r. 1. Dérivées def.

a. Calculerf⁰(x),f⁰⁰(x). Exprimerf^(k)(x)pour toutx <1 etk∈N.

b. Pourk∈N, exprimer ^f^(k)_k!⁽⁰⁾ comme un coecient du binôme selon la convention de l'énoncé.

2. Changement de variable dans une intégrale. Soitx∈]0,1[. a. On dénitϕxdans[0, x]par :

ϕx(t) = x−t 1−t.

Montrer queϕxdénit une bijection de[0, x] dans[0, x]et que

∀x∈]0,1[, ∀t∈[0, x], 1

1−t = 1

x−1(ϕx(t)−1).

b. Eectuer le changement de variable ϕ= x−t

1−t dans Z x 0

(x−t)ⁿ (1−t)^r+n+1dt.

3. Majorations.

a. Par comparaison à une intégrale, montrer que

∀n∈N, n≥2, 1 2 +1

3 +· · ·+1

n ≤ln(n).

b. Montrer que

∀x >−1, ln(1 +x)≤x.

c. Montrer que

∀n∈N, n≥2,∀r∈N^∗,

r+n n

≤(n e)^r.

d. Soitx∈]0,1[. Montrer que

∀n∈N, 0≤ Z x

0

ϕⁿ(1−ϕ)^r−1dϕ≤ xⁿ⁺¹ n+ 1. 4. Montrer que∀x∈[0,1[,∀n∈N^∗,

(1−x)^−r=

n

X

k=0

r+k−1 k

x^k+Rn(x) =

n

X

k=0

−r k

(−x)^k+Rn(x)

avec0≤Rn(x)≤r ne

1−x r

xⁿ⁺¹ n+ 1. 5. Convergences.

a. Montrer queRn∈ C^+∞([0,1[)et que

∀x∈[0,1[, R⁰_n(x) = r

1−xRn(x) +r n+r

n xⁿ

1−x. b. Pour toutx∈[0,1[, montrer que

(R_n(x))_n∈_N^∗→0, (R⁰_n(x))_n∈_N^∗→0, (R⁰⁰_n(x))_n∈_N^∗→0.

c. Dans le cas particulier r = 1, quelle est l'expression de Rn(x) et que dire du résultat de la question 4. ?

Dans cette partie, on a considéré que r était xé et on a choisi de ne pas indiquer dans les notations f et R_n que les fonctions ainsi nommées dépendaient du paramètre r. Dans la suite du problème, on considère plusieursr et on note ces fonctions f_r etR_r,n.

II. Loi géométrique

Soitn ≥2 entier naturel. On dit qu'une variable aléatoireX suit une loi géométrique tronquée de paramètresnetpsi et seulement si

X(Ω) =J0, nK; ∀k∈J0, nK, P(X =k) =

(qⁿ sik= 0 q^k−1p sik∈J1, nK

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1909E

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1. Montrer que :

∀x∈[0,1[, p xf₁(qx) =

n

X

k=1

P(X =k)x^k+pxR_1,n−1(qx).

2. a. Exprimerun en fonction dep,qet de la fonctionR1,n−1 pour que E(X) =1

p+un.

b. Exprimervn en fonction dep, qet de la fonctionR_1,n−1 pour que E(X(X−1)) = 2q

p² +vn. c. Exprimerwn en fonction deun etvn pour que

V(X) = q p² +wn.

3. On considère une suite(X_n)_n≥2 de variables aléatoires. ChaqueX_n suit une loi géo- métrique tronquée de paramètresnetp. Montrer que

(E(Xn))_n≥2→ 1

p, (V(Xn))_n≥2→ q p².

III. Temps d'attente

On considère une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètrep(pro- babilité d'un succès ).

Soit r et n dans N^∗. On eectue r+n épreuves de Bernoulli. On note S_r,n la variable aléatoire égale au temps d'attente du r-ième succès en convenant d'aecter la valeur 0 si on a obtenu strictement moins dersuccès.

Par exemple, pour le temps d'attente du premier succès avecn= 4:

S1,4({(E, E, S, S, E)}) = 3, S1,4({(E, E, E, E, E)}) = 0.

Pour le troisième succès (r= 3) avecn= 7:

S3,7({(S, E, S, E, S, S, E, S, S, E)}) = 5, S3,7({(S, E, E, E, S, E, E, E, E, E)}) = 0.

Sauf pour la première question, on supposerar≥2.

1. Temps d'attente du premier succès. Montrer queS1,nsuit une loi géométrique tronquée de paramètresn+ 1 etp.

2. Loi deSr,n.

a. Quel est l'ensembleS_r,n(Ω)?

b. Pourk∈Jr, r+nK, calculerP(S_r,n=k)en considérant la variable aléatoire égale au nombre de succès lors desk−1premières épreuves.

3. Fonction génératrice deSr,n.

a. Montrer que, pour toutn∈N^∗et toutx∈[0,1[, fr(x) =

r+n

X

k=r

k−1 r−1

x^k−r+Rr,n(x).

b. Montrer que, pour toutn∈N^∗et toutx∈[0,1],

p^rx^r (1−qx)^r =

r+n

X

k=r

P(Sn,r =k)x^k+p^rx^rRr,n(qx).

En déduireP(Sr,n= 0) =p^rRr,n(q). 4. Espérance. Calculer la limite de(E(S_r,n))_n∈N∗.

5. On eectuen+répreuves et, pouri∈J1, rK, on considère le temps d'attenteS_i,n+r−i dui-ième succés. Pouri∈J2, rK, on dénit la variableY_i par :

Yi({ω}) =

(0 siSr,n({ω}) = 0

S_i,n+r−i({ω})−Si−1,n+r−i+1({ω}) siS_i,n+r−i({ω})>0 et on convient queY1=S_1,r+n−1.

a. Quelle est la variableY1+Y2+· · ·+Yr? b. Montrer que

∀k∈Jr, n+rK, P(Yi=k) =P(S_i,n+r−i>0)q^k−1p.

En déduire une autre démonstration du résultat de 4.

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IV. Transitions

Soitm∈N^∗ xé. On considère un système qui peut être dansm+ 1 états.

Une transition de paramètre

T = (ti j)_(i,j)∈J_1,m+1

K²

∈ Mm+1(R)

est un changement aléatoire d'état dont les caractéristiques sont données par :

∀(i, j)∈J1, m+ 1K

2, t_ij = probabilité conditionnelle que

le système soit passé dans l'étatj sachant qu'il était dans l'état i.

L'étatm+ 1est dit absorbant c'est à dire que si le système est dans cet état avant une transition, il y est encore après. Ceci se traduit par

t_m+1_m+1= 1.

Les états1 àmsont dits transitoires.

On considère une succession de transitions indépendantes de paramètreT. Pouri∈J1, m+ 1Ketn∈N^∗ on noteE_nⁱ l'événement

E_nⁱ = le système est dans l'étatiaprès lan-ème transition . On note aussiAn=E_n^m+1(absorbant) etTn=An=E_n¹∪ · · · ∪E_n^m(transitoire).

1. Montrer que la matriceT est stochastique c'est à dire que tous ses termes sont positifs ou nuls et que pour chaque ligne, la somme des termes est1.

2. Propriétés deT.

a. Montrer que la matriceT s'écrit à l'aide de blocs sous la forme : T =

Q C 0· · ·0 1

avecQ∈ Mm(R), C ∈ Mm,1(R).

Montrer que

C= (I_m−Q)U avecU =





 1...

1





∈ Mm,1(R).

b. En utilisant sans démonstration le produit matriciel par blocs, montrer que

∀n∈N^∗, Tⁿ=

Qⁿ (I−Qⁿ)U 0· · ·0 1

.

3. On écrit dans des matrices lignes les probabilités pour le système d'être dans un état particulier.

∀n∈N^∗, L_n= P(E_n¹) · · · P(E_n^m) P(A_n)

∈ M1m+1(R).

On suppose que le système n'est pas dans l'état absorbant avant la première transition ce qui se traduit par

L0= P(E₀¹) · · · P(E_n^m) 0

∈ M1m+1(R).

a. Montrer queLn=L0Tⁿ , pour toutn∈N^∗. b. ExprimerP(An)avec un produit matriciel.

4. On noteX la variable aléatoire égale au temps d'attente du passage à l'état absorbant.

a. Pourn∈N^∗, quel est l'événement(X > n)?

b. Déterminer avec des produits matriciels la loi deX c'est à dire lesP(X=k)pour k∈N^∗.

5. Exemple. Dans cette question

Q=







q p 0 · · · 0 0 q p ... ...

... ... ... ... 0

... ... q p

0 · · · 0 q







∈ M_m(R).

a. CalculerQ^k pourk∈N^∗.

b. Modéliser un système permettant de retrouver la loi du r-ième succés dans une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes