DATE : Mardi 05/05/2020 pour Mardi 12/05/2020 Tpro GA2, M SERRE
EXERCICE 78 PAGE 78 DU LIVRE BELIN 2011 TPRO
Aide :
Pour le 1) : il faut d'abord dériver la fonction C(x) qui devient C '(x) mais que le sujet appelle Cm(x) Puis "étudier les variations" signifie :
a) Faire la dérivée (oui de nouveau) qui s'appellera donc C 'm(x) et qui est une fonction du 1er degré (donc du style ax + b)
b) Résoudre l'équation C 'm(x) = 0 (donc résoudre quelque chose du style ax + b = 0 ; si si vous savez faire, on l'a fait souvent dans le 1er semestre, donc recherchez !)
c) Résoudre l'inéquation C 'm(x) > 0 (idem on l'a fait souvent au 1er semestre).
d) Faire le tableau de variations de la fonction Cm(x). Je vous aide : vous devez trouver un 4 à mettre dans le tableau.
Et vous avez fait le 1). Oui il faut faire tout cela, ce n'est pas détaillé comme avant, vous êtes en principe plus capable donc il faut réfléchir aux étapes (j'espère que vous n'avez pas besoin de toutes les étapes pour faire une facture ou je ne sais quoi d'autre en gestion).
Je suis ce qui a été dit en vert.
C '(x) = 3x² – 2*12x + 60 = 3x² – 24x + 60 = Cm(x) a) Cm '(x) = 3*2x – 24 = 6x - 24
b) Cm '(x) = 0 équivalent à 6x – 24 = 0 équivalent à 6x = 24 équivalent à x = 24/6 = 4
c) Cm '(x) > 0 équivalent à 6x – 24 1> 0 équivalent à 6x > 24 équivalent à x > 24/6 équivalent à x > 4 d)
x 0 4 10 Signe de Cm '(x) - 0 + (ce + vient du c)
Variations de Cm(x)
60 120 12
Il faut bien évidemment calculer Cm(0) ; Cm(4) ; Cm(10)
Cm(0) = 3*0² – 24*0 + 60 = 60 Cm(4) = 3*4² – 24*4 + 60 = 12 Cm(10) = 3*10² – 24*10 + 60 = 120 Pour le 2a) : je vous rappelle que le bénéfice = recette – coût. Il faut donc d'abord calculer la recette (6000 € la tonne donc pour x tonnes, cela fait ???????)
Recette = 6000x sauf que le coût est en centaine d'euros donc Recette = 60x exprimé en centaine d'euros (cétait la petite subtilité de l'énoncé)
Bénéfice = Recette – coût = 60x – (x3 – 12x² + 60x) = 60x – x3 + 12x² – 60x = -x3 + 12x² CQFD
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Pour le 2b) : rebelote comme dans le 1 sauf que comme vous partez d'une fonction en x3, vous aurez une dérivée en x² donc il faut faire "delta" etc.
Et c'est reparti donc, en un peu plus complexe.
B(x) = -x3 + 12x² donc B'(x) = -3x² + 24x
a = -3 ; b = 24 ; c = 0 (bah oui, il n'y a pas de terme tout seul sans x) Delta = b² – 4ac = 24² – 4*(-3)*0 = 24² = 576
Delta est positif donc -3x² + 24x a deux racines réelles x1=−b+
√
(Delta)2a =−24+
√
(576)2∗−3 =0 x2=−b−
√
(Delta)2a =−24−
√
(576)2∗−3 =8
Le problème est où est le positif et le négatif pour B '(x) ???
On prend une valeur entre 0 et 8, par exemple 1. On calcule B '(1) = -3*1² + 24*1 = 21 >0 Donc entre 0 et 8, B '(x) est positif !!!! et de l'autre côté donc négatif
x 0 8 10 Signe de B'(x) 0 + 0 -
Variations de B(x)
256
0 200 Cela tombe bien, il faut trouver un maximum !!!!
Il faut évidemment calculer B(0) ; B(8) ; B(10)
B(0) = -03 + 12*0² = 0 B(8) = -83 + 12*8² = 256 B(10) = -103 + 12*10² = 200
Pour le 2c) : si vous avez fait votre tableau de variations du 2b), vous avez forcément un maximum (c'est à la pointe du flèche qui monte avant la flèche qui descend, mais si vous savez, sinon, cherchez !)
Le bénéfice est maximal pour une valeur de x = 8 c'est à dire pour 8 tonnes de cuivre.
Le coût marginal est : Cm(x) = 3x² – 24x + 60
Donc Cm(8) = 3*8² – 24*8 + 60 = 60 en centaine d'euros soit 6000 euros ce qui est bien le prix de vente unitaire de la tonne de cuivre. CQFD
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