A10531. Moyen terme
L’entier n étant donné, on calcule pour k = 1 à n les termes k!k·n−kCnk. Quelle est leur moyenne ?
Solution
Lek-ième termetk se prête à une interprétation probabiliste.
Considérons des tirages répétés, avec remise, dans une urne contenant n boules de couleurs différentes. Dans l’expression
tk n = n
n·n−1
n ·n−2
n · · ·n+ 1−k n ·k
n
le produit des i premières fractions (i ≤ k) donne la probabilité que les i premiers tirages fournissent des boules toutes distinctes. Le dernier facteur k/n est la probabilité que le (k+ 1)-ième tirage fasse apparaître une des k boules déjà sorties. En conséquence, tk/n est la probabilité que la première apparition d’une boule déjà sortie se produise au (k+ 1)-ième tirage.
La moyenne que demande l’énoncé est la somme de ces probabilités, c’est donc la probabilité que cette première apparition se produise à l’un ou l’autre des tirages de rang 2, 3, . . ., n+ 1, ces éventualités étant incompatibles.
Avecnboules c’est une certitude ; cela prouve que la moyenne demandée est 1
n X
k
tk= 1.
