A212 - Au quatrième top…il sera exactement Solution
On désigne par h l’angle exprimé en degrés (°) de l’aiguille des heures avec l’axe vertical Oy.
Le temps T qui s’est écoulé depuis midi est égal à T(m)=2*h quand il est exprimé en minutes et à T(s) = 120*h quand on l’exprime en secondes.
Dès lors l’angle que fait l’aiguille des minutes avec Oy est m = (360°/60)*(T(m) – 60*
Ent[T(m)/60]) = 12*(h – 30*Ent[h/30]) avec Ent[ ] = partie entière par défaut tandis que l’angle de l’aiguille des secondes avec ce même axe Oy est s = (360°/60)* (T(s) – 60*Ent[T(s)/60]) = 360*(2*h – Ent[2*h]).
Les aiguilles des heures et des minutes sont les plus lentes. En excluant midi et minuit, elles sont confondues 10 fois dans une demi-journée et les temps de coïncidence sont donnés par l’équation h = 12*(h – 30*Ent[h/30]) ou encore
h = 360/11 * Ent[h/30] d’où h = 360*k/11 avec k=1,2,3,….,10. Pour chacune de ces valeurs de h où les deux aiguilles des heures et des minutes sont confondues, on peut calculer la position exacte de l’aiguille des secondes en reportant h dans l’équation s = 360*(2*h – Ent[2*h]).On obtient le tableau ci-après dans lequel on a reporté 11*h et 11*s pour garder des valeurs entières :
On choisit la valeur de k pour laquelle l’aiguille des secondes est la plus proche possible de l’aiguille des heures, c’est à dire celle qui rend la valeur absolue de h-s la plus petite possible.
Cela se produit logiquement pour deux valeurs de k =3 et k=8 qui sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe vertical c’est à dire par rapport à 18 heures.
Retenons k=3. L’angle h de coïncidence des deux aiguilles des heures et des minutes avec l’axe vertical vaut 1080/11 = 98°,18181818… ce qui correspond à 129 600/11 =
11781,181818..secondes écoulées depuis midi, c’est à dire 15 heures 16 minutes
21,8181.secondes.L’aiguille des secondes fait un angle de 1440/11 = 130°,909090…avec l’axe vertical .L’écart qui la sépare des deux autres aiguilles est de +360//11 = 32°,727272..
mesuré positivement dans le sens des aiguilles de la montre. Il faut donc « remonter » dans le temps et chercher l’instant où l’aiguille des secondes coïncide avec la première aiguille rencontrée, à savoir l’aiguille des heures car c’est la plus lente. La correction t à apporter en secondes est telle que t = (60/360°)*(360/11 + t / 120) sachant que pendant ce temps t, l’aiguille des heures a parcouru un angle de 360°*t/432000 = t /120. Il en résulte t = 720/719
* 60/11 secondes.
Le quatrième top a donc lieu à l’instant T = 120*1080/11 – t = 93 139 200 / 7909 = 11 776,35605…secondes ou encore 15 heures 16 minutes 16 secondes ,35605…..
k 11*angle h 11*angle s abs(h-s)
1 360 1 800 1 440
2 720 3 600 2 880
3 1 080 1 440 360
4 1 440 3 240 1 800
5 1 800 1 080 720
6 2 160 2 880 720
7 2 520 720 1 800
8 2 880 2 520 360
9 3 240 360 2 880
10 3 600 2 160 1 440
Nous avons bien entendu l’heure symétrique par rapport à 18 heures : 20 heures 43 minutes 43 secondes, 64394…
