Enonc´e noA228 (Diophante) Sur l’autoroute Paris-Lyon
A des moments diff´erents de la journ´ee, quatre voitures A, B, C et D quittent la porte d’Italie `a Paris en direction de Lyon tandis que deux autres voitures E et F quittent la place Bellecour `a Lyon en direction de Paris. Les six voitures roulent `a des vitesses constantes qui leur sont propres. AdoubleB `a 8 heures du matin, doubleCune heure plus tard et croise E `a midi. Cette derni`ere voiture se fait doubler parF `a 10 heures, puis croise B `a 14 heures et croise C `a 15 heures. Cette derni`ere se fait doubler par D et B au mˆeme moment avant de croiser F `a 13 heures.
Enfin D double Aau mˆeme moment o`u ces deux voitures croisentF. A quel moment de la journ´eeD croise-t-elleE?
Question subsidiaire : qui a toutes les chances d’avoir au moins un proc`es- verbal pour exc`es de vitesse ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je prends le d´epassement deB parAcomme origine des espaces (compt´es de Paris vers Lyon) et des temps (`a partir de 8 heures). Je notea, b, c, d, e, f les vitesses.
Chaque ´ev´enement d´ecrit, par exemple (A, B; 0) pour celui que j’ai pris pour origine, permet de pr´eciser les ´equations de marche (abscisse en fonc- tion du temps) ou de les confronter pour obtenir des relations entre les vitesses.
(A, B; 0) :xA=at,xB =bt.
(A, C; 1) : xC =a+c(t−1) =a−c+ct.
(A, E; 4) : xE = 4a−e(t−4) = 4a+ 4e−et.
(E, F; 2) :xF = 4a+ 2e−f(t−2) = 4a+ 2e+ 2f−f t.
(B, E; 6) : 6b= 4a−2e, que j’utiliserai sous la formee= 2a−3b.
(C, E; 7) :a+ 6c= 4a−3e, d’o`u 2c=a−e= 3b−a, que j’utiliserai sous la forme a= 3b−2c, d’o`u e= 3b−4c.
(B, C, D) : l’instant o`uB d´epasseC est donn´e parbt=a−c+ct, soit
(b−c)t= a−c = 3(b−c), ce d´epassement a lieu `a t = 3 (11 heures) `a l’abscisse 3b, et on a pourD xD = 3b+d(t−3).
(C, F; 5) : a+ 4c= 4a+ 2e−3f, d’o`u 3f = 3a+ 2e−4c= 15b−18c, et f = 5b−6c.
(A, D, F) :A croise F quand at= 4a+ 2e+ 2f−f t, soit
(a+f)t= 8(b−c)t= 4a+ 2e+ 2f = 28(b−c), d’o`u t= 7/2 (11heures 30), `a l’abscisse 7a/2, et pourD
xD = 7a/2 +d(t−7/2).
Identifiant cette ´equation `a celle donn´ee par l’´ev´enement (B, C, D), on en tire
(a−d)7/2 = 3(b−d), d’o`ud= 15b−14cpuisxD =−42(b−c)+t(15b−14c).
(D, E, θ) : commexE = 24(b−c)−t(3b−4c), on a
−42(b−c) +θ(15b−14c) = 24(b−c)−θ(3b−4c),
18(b−c)θ= 66(b−c) et θ= 66/18 = 11/3, soit 11 heures 40.
Question subsidiaire
Les vitesses de A, B, C, D se classent dans l’ordre c < b < a < d, le plus menac´e par l’exc`es de vitesse est doncD dans le sens Paris-Lyon.
Les voitures les plus lentes sontC etE qui se rapprochent l’une de l’autre
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a la vitessec+e= 3(b−c). Cette vitesse de rapprochement leur permet de se croiser `a 15 heures ayant parcouru au total quelque 480 km. Admettant qu’elles sont parties apr`es minuit, on a 3(b−c)≥480/15 = 32 km/h, puis b−c≥32/3, etd−c= 15(b−c)≥160 km/h, `a ajouter `a la vitesse deC pour obtenir la vitesse deD.
Mais si l’on admet qu’une vitesse de 16 km/h est trop faible pour ˆetre accept´ee sur autoroute, et que (par exemple) 45 km/h est un minimum, on a 3(b−c) ≥ 90, b−c ≥ 30 et d−c ≥ 450 km/h ce qui d´epasse. . . l’imagination.
En tout ´etat de cause, le rapport entre vitesses minimum et maximum est d/min(c, e)≥11.
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