Universit´ e Paris 7 - Denis Diderot MT1401- L. Merel / R. Mneimn´ e
Travaux Dirig´ es – Exercices. S´ erie III
Semaine III. 01/10/07 – 05/10/07
A– Un exercice facile.
SoitP(X) un polynˆome de A[X], o`u A est un anneau commutatif. Montrer de deux mani`eres que le polynˆome P(P(X))−X est divisible par P(X)−X. Passer au quotient modulo l’id´eal principal engendr´e par P(X)−X, ou bien ´ecrireP(P(X)−X =P(P(X))−P(X) +P(X)−X et penser au fait queP(Y)−P(X) est divisible parY −X.
B– K-alg`ebres int`egres et de dimension finie Montrer qu’une telle alg`ebre est un corps.
C– Les id´eaux maximaux de Z[X] ne sont pas principaux.
Soit (f) un id´eal principal non nul de l’anneauZ[X].
1. On suppose quef ∈Z. Quel sont le noyau et l’image de l’homomorphisme d’anneauxZ[X]→(Z/fZ)[X] ? En d´eduire que l’id´eal (f) deZ[X] n’est pas maximal. Est-il premier ?
2. On suppose maintenant que deg(f)≥1. Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres premiersptels que l’image ¯f def par le morphisme naturelZ[X]→Fp[X] soit de degr´e≥1. Pour un telp, on appelleψpl’homomorphisme compos´e Z[X] → Fp[X] → (Fp[X])/( ¯f), qui est surjectif et non nul. D´emontrer que l’id´eal Kerψp contient strictement l’id´eal principal (f). (Penser au nombrep.)
3. En d´eduire qu’un id´eal maximal de Z[X] ne peut ˆetre principal.
4. L’anneauZ[X] n’est donc pas principal, d’apr`es le th´eor`eme de Zorn (ou de Krull). Peut-on ´eviter l’axiome du choix ? (Penser `a l’id´eal (2, X).)
D– Spectre premier de Z[X].
1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’id´eal (p, P) deZ[X], o`u pest un nombre premier et P ∈Z[X], soit maximal.
2. Quels sont les irr´eductibles de l’anneauZ[X] ? On notera que 3 est irr´eductible et queX2+ 1 l’est aussi, mais que 2X2+ 2 ne l’est pas. Montrer que ce dernier polynˆome est irr´eductible surQ.
3. Rappeler la d´efinition d’un ´el´ement irr´eductible dans un anneau commutatif A. Montrer que l’id´eal engendr´e par un ´el´ement irr´eductible est premier. R´eciproque. Le polynˆomeX4+ 1 est-il irr´eductible surR, surQ, surZ. 4. On suppose que l’id´eal monog`ene (f) deZest premier. Discuter suivant quef est de degr´e strictement positif ou non de l’intersection (f)∩Z. On suppose que l’id´eal (p, P) est maximal. Quelle est son intersection avecZ? 5. On se propose de d´emontrer dans la suite que le spectre premier deZ[X] est form´e de trois familles d’id´eaux premiers. La premi`ere famille est r´eduite au singleton form´e par l’id´eal nul. La deuxi`eme famille est form´ee des id´eaux premiers principaux, c’est-`a-dire engendr´es par un entier premierp, ou par un polynˆomeP primitif et irr´eductible dans Q[X], et la troisi`eme famille form´ee des id´eaux maximaux, donc forc´ement non principaux, qui sont de la forme (p, P), o`u P est un rel`evement d’un irr´eductible de Fp[X]. La m´ethode consiste, pour un id´eal premierpdeZ[X], `a examiner l’id´eal premierp∩ZdeZ.
(a) On commence par le cas o`u l’id´ealpest non nul etp∩Z={0}. On s’attend `a ce que cet id´eal soit engendr´e par un polynˆome primitif irr´eductible dans Q[X]. Soit π : Z[X] → Z[X]/p la surjection canonique. On noteK le corps des fractions deZ[X]/p. Montrer queK est de caract´eristique nulle, et de dimension finie surQ. On montrera en fait que c’est un quotient de l’anneauQ[X] par l’id´eal engendr´e par un polynˆomef irr´eductible dansZ[X]. Commencer par localiser `a cette finZ[X] par rapport `a la partie stableS=Z−{0}.
Que trouve-t-on ? Montrer ensuite que ce localis´e s’applique par un morphimseϕsur un sous-alg`ebre deB.
Ecrire la suite exacte courte associ´´ ee `a ϕ. Montrer que l’image est un corps et que le noyau est le localis´e S−1p. En d´eduire alors que l’image estK. Mettre alors un ´evidence le polynˆome irr´eductiblef deZ[X] et montrer quef ∈p. Montrer alors quep= (f).
(b) On suppose maintenant que p∩Z6={0}, soitpZ. Montrer que le quotientZ[X]/p est une image directe deFp[X]. En d´eduire quepest soit ´egal `a (p) soit engendr´e parpet unP tel que l’image deP dansFp[X] est irr´eductible.
(c) Conclure.
E– Pfaffien d’une matrice antisym´etrique.
1. SoitA∈M(n,K) une matrice antisym´etrique `a coefficients dans le corpsK. montrer qu’il existe une matrice P ∈GL(n,K) telle queP AtP soit diagonale en blocs avec des blocs nuls ou de la forme
0 −1
1 0
2. En d´eduire que le d´eterminant deAest un carr´e dansK.
3. Montrer alors que le d´eterminant de la matrice antisym´etrique g´en´erale en lesn(n−1)/2 ind´etermin´eesXij est le carr´e d’un polynˆome en lesXij, unique au signe pr`es. On fixera l’un des deux et on l’appellera le polynˆome pfaffienP f(Xij).
4. Donner l’expression du Pfaffien pour la matrice antisym´etrique g´en´erale 4×4.
5. On parlera deP f(A) en sp´ecialisant les ind´etermin´ees en les coefficients de la matrice antisym´etrique A.
6. Montrer queP f(P AtP =P f(A) det(P). en d´eduire que le groupe symplectique est contenu dansSL(2n,K).
F– Un anneau non factoriel.
PosonsA={a+ib√
5∈C/a, b∈Z}.
1. Montrer que c’est un anneau.
2. Montrer que l’applicationA→Rqui `a z associezz¯est `a valeurs dansZet multiplicative.
3. D´eterminerA∗.
4. Montrer que les ´el´ements 2, 3, 1 +i√
5, 1−√
5 sont irr´eductibles dansA.
5. Montrer que 6 admet deux d´ecompositions en produits d’irr´eductibles. L’anneauAest-il factoriel ?
G– La trigonom´etrie d’un point de vue alg´ebrique
PosonsP =X2+Y2−1 dans R[X, Y]. NotonsA l’anneau quotientR[X, Y]/(P) etB=R[X]. Notonsxety les classes respectives deX etY dansA.
1. SoitF∈R[X, Y]. Montrer qu’il existe un unique (Q, R1, R2)∈R[X, Y]×R[X]×R[X] tel queF =QP+R1Y+R2. 2. Montrer qu’on a un homomorphisme injectif d’anneauxR[X]→A qui `aF associeF(x).
3. Montrer que A est un R[X]-module de base (1, y) (i.e. tout ´el´ement de A s’´ecrit de fa¸con unique comme combinaison R[X] lin´eaire de 1 ety).
4. Soienta,b∈R[X]. D´eterminer, dans cette base, la matrice de l’endomorphisme de R[X]-modules qui `aF ∈A associe (a+by)F. Calculer le d´eterminant de cette matrice.
5. Montrer que, si (a, b)6= (0,0) ce d´eterminant est non nul. En d´eduire que l’anneau Aest int`egre, que ce n’est pas un corps, puis queP est irr´eductible dansR[X, Y].
6. D´eterminerA∗.
7. Montrer quey est irr´eductible dansA.
8. Montrer que les anneauxA/(y) etR[X]/(X2−1) sont isomorphes.
9. Ces anneaux sont-ils int`egres ? 10. Monter que An’est pas factoriel.
11. Le sous-anneau de l’ensemble des fonctionsR→Rengendr´e par les fonctions sinus et cosinus est-il factoriel ?
H– Caract´erisation des anneaux euclidiens
SoitAun anneau int`egre et commutatif. Consid´erons la suite (An)n≥0de sous-ensembles deAdonn´ee parA0={0}
et la r´ecurrenceAn+1=An∪ {x∈A, A=Ax+An}.
1. D´eterminerA1.
2. LorsqueA=Z, d´eterminerA2,A3.
3. Montrer que l’anneauAest euclidien si et seulement siA=∪n≥0An.
4. SupposonsA euclidien. Montrer qu’il existex∈A−A∗ tel que la restriction `aA∗∪ {0} surjection canonique soit surjective. En d´eduire queA/Axest un corps.
I– Un anneau principal non euclidien Posonsα= (1 +i√
19)/2∈C. Consid´eronsA=Z[α] ={a+bα∈C/a, b∈Z}.
1. Montrer que c’est un anneau isomorphe `a Z[X]/(X2−X+ 5).
2. D´eterminerA∗.
3. Montrer que le polynˆomeX2−X+ 5 est irr´eductible sur les corpsF2 etF3. 4. En d´eduire queAn’est pas euclidien en utilisant le crit`ere de l’exercice H.
5. Soienta et b deux ´el´ements non nuls de A. Montrer qu’il existe q, r∈ A tels que a=bq+r ou 2a =bq+r avec r= 0 ou N(r) < N(b) (o`u N(z) d´esigne la norme d’un nombre complexez). Pour cela on pourra ´ecrire a/b=u+vαavecu,v∈Qet consid´erer les entierssettles plus proches deuetvrespectivement ; dans le cas o`u|t−v| ≤1/3 on poseraq=s+tα, sinon on ´etudie la division de 2aparbpar le mˆeme proc´ed´e.)
6. Montrer que l’id´eal principal engendr´e par 2 est maximal.
7. SoitI un id´eal deA. Soitb∈Itel queN(b) soit minimal parmi les normes des ´el´ements non nuls deA. Montrer qu’on a les inclusions 2I⊂bA⊂I, puis queI est principal.
