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￿￿￿ FONCTIONS ET ESPACES DE FONCTIONS LEBESGUE-INTÉGRABLES.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

��� FONCTIONS ET ESPACES DE FONCTIONS LEBESGUE-INTÉGRABLES.

Soit(E,A, µ)un espace mesuré. SoitK=RouC.

Soit un ouvert deRd, muni de sa tribu borélienne et de la restriction à de la mesure de L�������, dont on suppose la construction connue.

Soitpœ[1,+Œ]etqson exposant conjugué (1p+1q = 1).

I. Construction de l’intégrale et théorèmes d’intégration

[BP��, Ch�, p���]

I. A. Intégrale de fonctions étagées

Définitions, exemple avec la mesure deD����, la mesure de comptage Résultats d’additivité, de croissance, de positive homogénéité

I. B. Intégrales de fonctions mesurables positives

Définition de l’intégrale defà partir des fonctions étagées

Convergence uniforme d’une suite de fonctions étagées versf(fondamental) Convergence monotone (contre exemple dans le cas décroissant)

Transfert des propriétés des intégrales de fonctions étagées Lemme deF����, exemples

I. C. Fonctions intégrables

Fonction intégrable (casRpuisC), exemples, contre-exemples Théorème de convergence dominée

Importance de l’hypothèse de domination

Théorème de continuité sous le signe intégral, application à la transformée deF������

II. Espaces L

p [BP��, Ch�, p���–���] [Bre��, ChIV, p��]

II. A. Définition

D����������. [�����������Î.Îp,������Lp] Pourf :E≠æKmesurable, on définitÎfÎp=!s

E|f|p"1plorsquepest fini, etÎfÎŒ= inf{M >0||fM µ-p.p.}. On définit l’espace vectoriel :

Lp(E,A, µ) ={f :E≠æKmesurable |ÎfÎp<+Œ}

T��������. [��������� ��H�����]

Pour toutes fonctionsf, g:E≠æKmesurables, on aÎf gÎ1Æ ÎfÎpÎgÎq.

C����������. [��������� ��M��������]

Pour toutes fonctionsf, g:E≠æKmesurables, on aÎf+gÎpÆ ÎfÎpgÎp. On vérifie que deux fonctionsf, gmesurables égalesµ-p.p. vérifientÎfÎpgÎp. Ainsi :

D����������. [������Lp]

On noteLp(E,A, µ) =Lp(E,A, µ)/.Îp= 0}(ouLp(E), ouLp) l’ensemble des fonctions deLp(E,A, µ)quotienté par la relation d’égalitéµ-p.p.. L’applicationÎ.Îppasse au quotient et définit ainsi une application surLp(E,A, µ)notée égalementÎ.Îppar abus.

C����������. Î.Îpest une norme et l’espace(Lp(E),Î.Îp)est un espace vectoriel normé.

E�������. [������¸p]

Cas oùE=Netµest la mesure de comptage.

Sipest fini, on note¸pl’espaceLp=Lp={(an)nœNœKN|q

n=0|an|p<+Œ}.

¸Œ=LŒ=LŒest l’espace des suites bornées.

A�����������. [��������� ����� �������Lp]Soientp, pÕœ[1,+Œ].

• lorsqueµ(E)<+Œ, on ap < pÕ =∆LpÕ µLp,

• contre-exemple dans le cas oùµ(E) = +Œ:f :x≠æ(1 +x)≠11Rú

+(x)œL2\L1.

• on apÕ< p=∆¸pÕ µ¸p.

II. B. Premières propriétés des espaces L

p

T��������. [����������� ������� ���� ���Lp]

Soit(fn)nœNune suite de fonctions deLpconvergeantµ-p.p. vers une fonctionf. On suppose qu’il existe une fonctiongœLptelle que|fngµ-p.p. pour toutnœN. Alorsf œLpet on a ÎfnfÎp næ+Œ≠æ 0.

T��������. [�������� ��R����-F�����]

L’espace(Lp(E,A, µ),Î.Îp)est un espace deB�����.

C�����������. Toute suite convergente dansLpadmet une sous-suite qui convergeµ- p.p..

E��������. Contre-exemple de non-convergence de la suiteµ-p.p.. : les bosses roulantes.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���

(2)

Agrégation – Leçons ���– Fonctions et espaces de fonctionsL�������-intégrables.

T���������. Lorsquep <Œ:

(i) l’ensemble des fonctions en escalier à support compact est dense dansLp, (ii) l’ensemble des fonctions continues à support compact est dense dansLp.

A������������. Uniforme continuité de l’opérateur par translation : pour toutf œLp, a‘≠æ

·afest uniformément continue surR.

C�����������. Lpest séparable lorsquep <+Œ.

III. Convolution et régularisation

[BP��, Ch��, p���–���]

III. A. Convolution

On se place surE = Rddest un entier quelconque. Soitp œ [1,+Œ]etqson exposant conjugué.

D�����������. [�����������]

On appelle convolution def etgla fonctionf ıg : x ‘≠æ s

Rdf(y)g(x≠y)dy, lorsque celle-ci est bien définie.

T���������.

(i) Sif œL1etgœLp, alorsfıgexisteµ-p.p. etÎfıgÎpÆ ÎfÎ1ÎgÎp. (ii) Sif œLpetgœLq, alorsfıgexiste pour toutxetÎfıgÎŒÆ ÎfÎpÎgÎq.

De plus, si1< p, q <+Œ, alorslim|x|æ+Œfıg(x) = 0.

P������������. La convolution est commutative, associative et bilinéaire surL1(Rd). Au- trement dit,(L1(Rd),+,ı)est une algèbre deB�����. Elle est cependant sans unité.

A������������. La somme de deux variables aléatoires indépendantes définies surRdet de densités respectivesf, gpar rapport à la mesure deL�������a pour densitéfıg.

E��������. SiG:t‘≠æ Ô2fi‡1 2e2‡x22, alorsGıGÕ =G‡+‡Õ

III. B. Approximation de l’unité et régularisation par convolution

D�����������. [������������� �� �’����� �� ����� �������������]

Une suite(–n)nØ1de fonctions positives deL1est une approximation de l’unité si :

• pour toutnœN, on as

Rdnd⁄d= 1,

• pour toutÁ>0, on alimnæ+Œs

{xØÁ}nd⁄d= 0.

Si de plus les(–n)nØ1sont de classeCcŒ, alors on dit que c’est une suite régularisante.

P������������. Soientp < +Œ,f œ Lpet(–n)nœNune approximation de l’unité. Alors fún Lp

næ+Œ≠æ f.

E��������. [��������� �’��� ����� �������������]

On considère:x‘≠æexp(ÎxÎ12≠1)1]0,1]xÎ)puis:x‘≠æ s„(x)

Rd„d⁄d. Alors la suiten:x‘≠ænd–(nx)est une suite régularisante.

P������������. Sif œCck(Rd)etf œL1(Rd), alorsfıgœCk(Rd)et

’|k,ˆ(fıg) = (ˆf)ıg

A������������. [������������ �� ��������� ��������] [QZ��, ChIX.III, p���]

SoitKun compact deRdet un ouvert contenantK. Alors il existe◊ œ CŒ(Rd)telle que

= 1surK,◊= 0surRd\ et0ÆÆ1.

T���������. CcŒ(Rd)est dense dansLppour1Æp <+Œ.

A������������. Sif œLpetgœLq,fıgest uniformément continue.

IV. Le cas de L

2

C�����������. [�� ���������]

L2(E,A, µ)est un espace deH������pour le produit scalaire :Èf |gÍ=s

Ef gdµ.

IV. A. Application en probabilités

[BL��, ChVI, p���]

P������������. [��������� ��������������]

Soit( ,A,P)un espace probabilisé, et soitBune sous-tribu deA. Soit de plusXune variable aléatoire réelle sur( ,A,P), intégrable (X œ L1( ,A,P)). Alors il existe une unique (presque sûrement) variable aléatoireZtelle que :

(i) ZestB-mesurable,

(ii) pour toutBœB,E[X1B] =E[Z1B].

De plus,Zest intégrable. On l’appelle espérance conditionnelle deX sachantB, notée E[X|B].

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���

(3)

Agrégation – Leçons ���– Fonctions et espaces de fonctionsL�������-intégrables.

A������������. SoitBune tribu. SoientXune variable aléatoire indépendante deBetYune variable aléatoireB-mesurable. Alors pour toute fonctionÂtelle queÂ(X, Y)est intégrable :

E[Â(X, Y)|B] =⁄

Â(x, Y)X(x) =h(Y) oùh(y) =E[Â(X, y)].

E��������. Soit(Sn)nœNla marche aléatoire centrée réduite surZd. AlorsE[Sn+1|Sn] =Sn.

IV. B. Polynômes orthogonaux

[BMP��, §�.�.�, p���] [Dem��, §II.�, p��]

SoitIun intervalle deR.

D�����������. Soit:I≠æRune fonction mesurable, strictement positive et telle que pour toutnœN,s

I|x|nfl(x)dx <+Œ. On dit alors queest une fonction de poids.

D�����������. On définitL2(I,fl) =Ó

f :I≠æCmesurable |s

I|f(x)|2fl(x)dx <+ŒÔ . P������������. L2(I,fl)est un espace deH������pour le produit du scalaireÈf |gÍ = s

If(x)g(x)fl(x)dx.

P������������. Il existe une unique famille(Pn)Nde polynômes unitaires deux à deux orthogonaux pourÈ.|.Íet tels quedeg(Pn) =npour toutn.

E��������. Voir les dessins en annexe :

• PourI=Ret:x‘≠æex2, les(Pn)Nsont les polynômes deH������,

• PourI= [≠1,1]et:x‘≠æ1, les(Pn)Nsont les polynômes deL�������.

T���������. [���� ������������ �� ��������� �����������]

Soitune fonction de poids. S’il existe–>0tel ques

Ie–|x|fl(x)dx <+Œ, alors la famille (Pn)nœNest une base hilbertienne deL2(I,fl).

A������������. SiIest borné, on a donc nécessairement une base hilbertienne.

La famille(Pnexp(≠.2/2))n, pour(Pn)nœNles polynômes deH������, est une base hilber- tienne deL2(R).

E��������. Sans l’hypothèse on a le contre-exemple suivant : soit la fonction de poidsw : x‘≠æxln(x)surI=R+. Alors(Pn)nœNne forme pas une base deL2(I, w).

������

La théorie deL�������a permis de s’abstenir de nombreuses conditions jusqu’alors néces- saires pour définir l’intégrale d’une fonction. SiC�����puisR������ont défini les intégrales de fonctions continues et d’autres classes de fonctions régulières, c’est bienL�������qui avec la notion de mesure a permis une nouvelle approche de l’intégrale, avec une intégration en tranches horizontales et non plus verticales. Cette nouvelle théorie s’étend a des espaces de fonctions extrêmement riches, qui sont des espaces deB�����. De plus, les théorèmes d’inter- version de symboles ne nécessitent que peu d’hypothèses.

���������

Q Soitp0 >1etf >0 œLp0(µ)oùµest une mesure de probabilité. On suppose queln(f) est intégrable, d’intégralem. Mq la suiteÎfÎp ≠æpæ0 exp(m). [BP��]

R

ln(ÎfÎp) =1

pln(1≠(1≠

|f|p)) =≠1≠s

|f|p

p +o(1) =

s 1≠|f|p p +o(1)

=≠

⁄ 1≠exp(pln(f))

p

On sépare selon sif >1ou non.

Q Montrer que :Lq ≠æ(Lp, g‘≠æ(f ‘≠æsf g)est une isométrie.

Q Montrer queÎfÎp pæ+Œ≠æ ÎfÎŒsiÎfÎp<+Œpour toutp.

�������������

[BL��] P.B����et M.L�����:Probabilité. EDP Sciences,����.

[BMP��] V.B���, J.M�����et G.P����:Objectif Agrégation. H&K,�èmeédition,����.

[BP��] M.B�����et G.P����:Théorie de l’intégration. Vuibert,�èmeédition,����.

[Bre��] H.B�����:Analyse fonctionnelle : théorie et applications. Dunod,����.

[Dem��] J.-P.D�������: Analyse numérique et équations di�érentielles. Collection Grenoble Sciences,����.

[QZ��] H.Q��������et C.Z����:Analyse pour l’agrégation. Dunod,�èmeédition,����.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page���sur���

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