CONTRÔLE DE LA STABILITÉ DES FONDATIONS SUJETTES À L'INFLUENCE CONJOINTE DES CHARGEMENTS VERTICAUX ET HORIZONTAUX

(1)

46 LA HOUILLE BLANCHE

E L E C T R I C I T E

Contrôle de la stabilité des fondations sujettes à l'influence conjointe des chargements verticaux et horizontaux

p a r M. V E L L É

§ I. Remarques générales

P o u r porter un j u g e m e n t sur la stabilité des fondations sujettes à l'influence de charges verticales et horizontales, on se b o r n a i t , j u s q u ' à présent, à effectuer les vérifications s u i v a n t e s (fig. 1) : a) Vérification de la stabilité du glissement sur la surface de la base.

b) Vérification (d'après la formule P a u k e r ) de la poussée en dehors d u sol au-dessus de la fondation sous la seule action des forces verticales.

Fig. 1

M a i n t e n a n t , il est établi que p o u r obtenir une a p p r é c i a t i o n sur la stabilité de la fondation, les r é s u l t a t s positifs, e x t r a i t s des vérifications a e t b sont indispensables, mais non suffisants.

Aussi différents a u t e u r s : les Professeurs Guersévanoff en S.S.S.R., P é t e r s e n , H o l t e n , K r e y , Berer, Filenius e t d ' a u t r e s , à l'étranger, o n t t r a v a i l l é et t r o u v é d ' a u t r e s m é t h o d e s de calcul.

A m o n p o i n t de v u e , je d o n n e la préférence, sur plusieurs points, à la m é t h o d e du professeur Guersévanoff, m a i s c e t t e m é t h o d e exige certains s u p p l é m e n t s .

L a m é t h o d e du professeur Guersévanoff et l'exposition de ces s u p p l é m e n t s c o n s t i t u e le sujet de cet article.

T o u t e s les indications sont les m ê m e s q u e celles employées p a r le professeur Guersévanoff dans « L e calcul des fondations

des constructions h y d r o t e c h n i q u e s sur les éléments d'escompte de la déformation des édifices c o n s t r u i t s » , Moscou, 1923.

§ 2. Le problème du professeur Guersévanoff

Sur la surface libre du sol est disposé l ' e m p â t e m e n t de la fondation qui p r o d u i t sur le sol la pression A p a r m è t r e c o u r a n t et l'effort horizontal P.

Il s'agit de définir si, en présence de ces efforts, le sol est stable.

P o u r résoudre ce problème, le professeur Guersévanoff trace par la cote c (fig. 2) un t e r r a i n d ' a p l o m b L et p a r le point a l'aire imaginaire du d é p l a c e m e n t ab de la fondation conjointe

m e n t avec la terre, incliné sous un certain angle S vers l'horizon.

Si l'angle S est moins g r a n d que l'angle <o de f r o t t e m e n t et l'influence de la charge seulement verticale, m ê m e avec la condition d'absence de t e r r e à droite d u terrain cb,

"•^Cy : a u c u n j déplacement sur le t e r r a i n ab ne p o u r r a i t se produire.

P o u r q u ' u n d é p l a c e m e n t se p r o d u i s e sur le t e r r a i n ab, il est indispensable q u ' i l soit appliqué a u corps mis en m o u v e m e n t une force horizontale J , d o n t la valeur se définira p a r le triangle des forces egh dans lequel :

Fig. 2

I. eg est le t o t a l de forces verticales (pression des fondations) + le poids du prisme abc.

I I . eh est la réaction du sol situé au-dessous, f o r m a n t l'angle<p avec la perpendiculaire vers le terrain de glissement ab.

№ tg 8\ / tg^r - t g o ' I I I . gh = Jⁱ

le poids du sol

9 R + Y

/ lg y -

1

V + Lg ? Lg 5 |ou y est

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1935006

(2)

S'il n ' y a v a i t pas de sol à droite des fondations pour que le déplacement soit possible, il faudrait appliquer à la fondation la force extérieure J égale à J i , mais, comme du côté droit, agit la force de résistance de la terre, e m p ê c h a n t le déplacement :

la force appliquée à la fondation doit a u g m e n t e r proportionnelle

ment, c'est-à-dire il doit exister u n e égalité : J = J i + J2

Ainsi, en se p o s a n t le problème de l'angle 8, on p e u t définir la force horizontale qui doit ê t r e appliquée à la fondation p o u r qu'elle se déplace sur le sol.

Cela v e u t dire q u e , si la force horizontale donnée, P , a p p l i q u é e aux fondations, est moins g r a n d e que J , c'est-à-dire P <C J , le déplacement sur le t e r r a i n incliné sous l'angle 8 n ' a u r a pas lieu.

S'il n ' y a pas de t e r r e à droite des fondations, la force dépla

çante J (le cas é c h é a n t J = J i ) diminuerait sans i n t e r r u p t i o n avec l'acroissement de la p e n t e du t e r r a i n .

E v i d e m m e n t cp avec 8 = <p ; J = J i = 0 ; J = J i <C 0, c'est-à-dire sera u n e valeur négative avec S > <p.

P o u r t a n t , la force J se compose de d e u x nombres, d o n t le premier seulement J i diminue avec l'accroissement de 8 e t a u contraire, J2 a u g m e n t e parallèlement.

Par conséquent avec S = 8⁰, la valeur J a t t e i n d r a le m i n i m u m . Au contraire, si la force Jmin. est appliquée a u x fondations, le déplacement se produira sur le terrain incliné d'un angle 8⁰, car pour t o u t a u t r e t e r r a i n la force Jmin. sera insuffisante

Ainsi les conditions de stabilité des fondations seront r e n d u e s , d'après le professeur Guersevanoff, p a r l'inégalité :

P < Jmin. 1

§ 2. Conditions du professeur Guersevanoff

Le professeur Guersevanoff t i r e la valeur Jmin. en s u b s t i t u a n t dans la | formule générale p o u r J = J i + J 2 l'expression z = tg 80 la v a l e u r définie p a r l'équation (2)

ou

z³ + uz* + vz -J- iv = 0 4p — 1 u = 2n/

I*— 1 R-Tl - 2g (1 + /») w

|x = t g² (45 + I j ; / = t g ^? ; et y e t g o n t la signification précédente.

A y a n t défini z p a r l'équation (2), nous t r o u v o n s Jmin dans la formule :

R A z³ + B z² + Cz + D

~ 2 1 + fz

J^E 6

ou

C = yfP D = 2fg

• 2g A = wfR

B =^T (|,. — 1) R

A y a n t trouvé Jmin. comparons-le avec la force d o n n é e P (voir l'inégalité 1).

Là se t e r m i n e n t les recherches du professeur Guersevanoff pour le cas de fondations avec l ' e m p â t e m e n t s ' a p p u y a n t sur la surface du t e r r a i n libre,

§ 3. Conditions Vsllé

Or, à n o t r e avis, les recherches du professeur Guersevanoff ne sont pas conduites j u s q u ' à la fin.

E n effet, le professeur Guersevanoff a établi que le coin de t e r r e chargé sur la surface horizontale ab = R d'un c h a r g e m e n t vertical d'intensité q e t de force horizontale J définie p a r l'équa

tion (6) a u r a t e n d a n c e à glisser sur le terrain ab incliné sur l'horizon sous l'angle 8⁰ défini p a r l ' é q u a t i o n (2).

Ainsi la question de l'équilibre des parcelles d u sol à l'intérieur du .prisme abc reste indécise.

P a r conséquent, la condition du professeur Guersevanoff P Z. Jmin. est indispensable p o u r l'équilibre du sol sous le fonde

m e n t , mais elle n'est pas suffisante.

P o u r que la condition du professeur Guersevanoff devienne non seulement indispensable, mais aussi suffisante, il f a u t q u e dans le t e r r a i n L, à la profondeur cb⁰ — R t g 8⁰, se t r o u v e une muraille d u r e qui e m p ê c h e r a i t le déplacement des différents éléments du sol, e n t r a n t dans la composition du prisme cab.

Expliquons plus en détails le déplacement des éléments dont il est question.

De l ' e m p â t e m e n t de la fondation de largeur R d é p e n d sur le sol la charge verticale également r é p a r t i e d'intensité q et la force horizontale Pu.

Cette force P R à son t o u r , se r é p a r t i t sur l ' e m p â t e m e n t d ' a p r è s une certaine loi. N ' e x a m i n a n t pas la loi de la distribution de la force P R sur l ' e m p â t e m e n t des fondations, nous p o u v o n s toujours dire que p a r la fondation de la largeur r se t r a n s m e t sur le sol u n e certaine force horizontale P r < P^H (fig. 3).

Ainsi, sur le sol, sous une p a r t i e des fondations, le agira la charge L verticale d'intensité (/ et la force horizontale P r .

P a r conséquent, les r a i s o n n e m e n t s du professeur Guersevanoff sur la stabilité du sol sous la p a r t i e R p e u v e n t ê t r e appliqués e n t i è r e m e n t à la stabilité du sol sous la p a r t i e r, c'est-à-dire :

P r Z. J^r (8) l^{r e} condition Vellé ou h est la force horizontale qui doit être appliquée a u prisme c 12 (fig. 3) p o u r que ce prisme puisse glisser sur le t e r r a i n 12

Si la valeur r devient dr, J r à son t o u r , p r e n d r a la valeur dJ^

L a valeur dJr est la force horizontale qui doit ê t r e appliquée au coin 1243 (fig. 3) p o u r le m e t t r e en m o u v e m e n t .

Fig. 3

Nous devons comparer c e t t e force J J r avec la force d P r qui de fait est appliquée au coin sur la ligne 1-3.

E n r a p p o r t a n t ces d e u x forces à l'unité de longueur, nous e x t r a y o n s les conditions de stabilité du coin élémentaire sous la forme :

rfPr d Jr

dr ~ dr (9) 2^e condition Vellé

(3)

48 LA HOUILLE BLANCHE Ainsi, en absence de muraille d u r e à la profondeur JR t g S⁰,

le sol ne sera stable q u ' e n remplissant la l^{r e} e t la 2^e conditions Vellé, qui, conjointement, a p p a r a i s s e n t indispensables e t suffi- santes.

§ 4. Technique des calculs des valeurs J et ~

Ainsi, nous v o y o n s q u e p o u r avoir u n e idée complète sur l ' é t a t du sol sous la construction, il est indispensable de t r a c e r d ' a b o r d u n e courbe de la d é p e n d a n c e de Jr, de r (c'est-à-dire les courbes : J = F(r) e t J ' = /(r) et J ' de r a y a n t d o n n é la charge v e r t i cale g et le sol e x p é r i m e n t é .

P o u r t r a c e r p a r p o i n t s la courbe J nous possédons la formule (6) selon laquelle J est fonction de d e u x variables r e t z.

A son tour, z est liée avec r p a r la relation (2).

E n e x a m i n a n t de près les formules (6) et (2), nous v o y o n s que la principale difficulté en calculant J (avec r donné), est la définition préalable de la valeur z de l'équation (2).

P o u r faciliter ce t r a v a i l , t r a n s c r i v o n s la formule (2) sous la forme s u i v a n t e :

z³ -f- uz² - j - vz -f- w.

10 D a n s cette formule les coefficients u et v ont le sens précédent.

1 1 + /»

Vf

et 11

Ainsi t o u s les coefficients dans la p a r t i e droite de la formule 10 p r é s e n t e n t les fonctions de l'angle de f r o t t e m e n t du sol <p.

Ainsi pour c h a q u e angle de f r o t t e m e n t intérieur, il est facile de tracer une fois pour t o u t e s la courbe de d é p e n d a n c e e n t r e z e t oc.

Sur le g r a p h i q u e fig. 4 sont r e p r é s e n t é e s 8 courbes a u x angles de f r o t t e m e n t intérieur : 50°, 45°, 40°, 35°, 30°, 25°, 20°, 15°. L a d é p e n d a n c e e n t r e 2 et a a u x a u t r e s angles de f r o t t e m e n t intérieur est facile à définir au m o y e n de l'interpo

lation.

L ' o r d r e de calcul est le s u i v a n t : Avec ;• d o n n é définissons oc selon la formule (11) ; ensuite p a r le g r a p h i q u e (fig. 4) t r o u vons z, après quoi procédons a u calcul de J .

A v a n t de calculer J , il faut t r a c e r la courbe z = ^(r).

Il faut i n t r o d u i r e le calcul m ê m e des valeurs J et J ' (for

m u l e 6) dans la t a b l e qui suit.

T a b l e 1

Ar

B D

AJ A J

Ar

Les valeurs trouvées ~ doivent ê t r e r a p p o r t é e s en abscisse : , Ar⁰

§ 5. Exemple I e^f, résultats qui en découlent Soit :

R ï

9 t

7,8 m.

1,33 t / m³ 53 t / m³ 1

u = t g * ( 4 5 + £ 5,81.

Il faut définir la force horizontale qui peut être adoptée sans danger pour les fondations.

P r o f i t a n t d u g r a p h i q u e 4, calculons et t r a ç o n s , s u i v a n t les points, les courbes :

z = W(r) J = F(r)

dJ n \ ₌_{/ ( 0}

et dr

et la courbe auxiliaire h — rz. Cette courbe i n d i q u e sur quelle profondeur le t e r r a i n du glissement t r a v e r s e le t e r r a i n d ' a p l o m b ch.

A n a l y s a n t les courbes tracées, nous a r r i v o n s a u x résultats s u i v a n t s :

I. E n absence de m u r enforcé dans le sol la seule charge verti

cale déséquilibrera le sol.

Ce r é s u l t a t p o u v a i t ê t r e p r é v u d ' a v a n c e .

E n effet, selon la formule de P a u k e r : a = y/i[x², aucune charge ne p e u t ê t r e a d m i s sur la surface libre du sol (à condition / i = 0 ; <7 = 0). N o t r e m é t h o d e laisse sans c h a n g e m e n t les thèses acceptées à la d é d u c t i o n de la formule P a u k e r :

a) D a n s le t e r r a i n vertical cb les tensions t a n g e n t e s sont absentes.

b) Le contre-fort est calculé de la m ê m e façon.

P a r conséquent, nous n ' a v o n s a u c u n e raison d ' a t t e n d r e un a u t r e r é s u l t a t .

I I . Afin q u e le sol puisse soutenir la charge verticale donnée g = 53 t / m², u n e p a l p l a n c h e doit ê t r e enfoncée à la profondeur h > 1,1 m. à condition que le b o u t supérieur de la palplanche soit m u r é d a n s les fondations.

Si, e n t r e les fondations e t la p a l p l a n c h e existe u n e laison d ' u n a u t r e ordre, c'est-à-dire si la p a l p l a n c h e r e p r é s e n t e un m u r p l a n t é l i b r e m e n t ou un m u r lié avec la fondation p a r une charnière, la longueur de la p a l p l a n c h e a u g m e n t e .

L e calcul de la p a l p l a n c h e d a n s les différents cas de bouchage représente u n problème spécial q u e nous n ' e x a m i n e r o n s p a s ici.

Nous t e r m i n o n s là l ' é t u d e d u p r e m i e r e x e m p l e q u i ne ré

pond pas à la question posée q u a n t à la d é t e r m i n a t i o n de la force horizontale P, qui p e u t ê t r e a d o p t é e sans d a n g e r à la fon

dation.

Nous reviendrons sur la résolution de c e t t e question dans le § 7 après avoir établi la loi de la distribution de la force P sur l ' e m p â t e m e n t

§ 6. Exemples 2 et 3 Exemple 2 Soit :

y = 1,33 t / m^?

(4)

Fig.' 4.

(5)

50 LA HOUILLE BLANCHE

g = 25 t / m²

<p = 20°

/ = 0,364

¡1 =^{t g}² (45 + 10) Il faut t r a c e r le g r a p h i q u e :

z

= TO

i = m

= 2,05.

et dJ

dr

rh fi ⁾ t , et

1 1 1 1 1

i

/

! ¹

i _j

/

i -

_

^—^—

i -

_

^—^—

j _Ay

_

^—^—

1 i

1 /

j 'f

i

j

/

i

/

^f ^—

1

/

^f ^—

i -^-

1 _ _

<? £ r •9

.

\

f

\ \

CO

Les courbes tracées (fig. 6) ne se distinguent p a s p a r leur allure des courbes du premier exemple, ce qu'il é t a i t bon d ' é t a b l i r le cas é c h é a n t .

L a profondeur m i n i m u m p o u r enfoncer la palplanche doit ê t r e h = zr = 6,10 m .

Exemple 3

D a n s l'exemple précédent, nous a v o n s pris la charge verticale

= 25 t / m . s ' é t e n d a n t à n ' i m p o r t e quelle largeur r. E n corres

p o n d a n c e avec cela, nous avons le t e r r a i n sur lequel le glisse

m e n t a lieu à la condition q u e J = O.

D a n s le g r a p h i q u e , J se r a p p o r t a n t a u d e u x i è m e e x e m p l e , nous v o y o n s q u e ce t e r r a i n t r a v e r s e le point r — 12,4 m ,

On demande, c o m m e n t passera le t e r r a i n de glissement pour J = O si la charge d ' i n t e n s i t é g = 25 t / m . est distribuée sur l ' e m p â t e m e n t de largeur jR = 1,8 m .

D a n s ce cas, les fonctions de J e t de J ' d é p e n d r o n t non du p a r a m è t r e a, m a i s d u p a r a m è t r e A = qB — 25 X 1,8 = 45 t.

P o u r avoir la possibilité de se servir des formules précédentes, é t a n t d o n n é e la v a l e u r r, il faut d é t e r m i n e r l'intensité fictive de la c h a r g e (q() qui c o r r e s p o n d à c e t t e v a l e u r .

Selon la formule :

)

/<? ¹

1

o w

/\ ^/0 If ^/s

—*1 :/A / r w ¹ ¹¹

k l ₁

1

—r ¹₁

(6)

a 45

* = 7 = 7 ¹²

Nous faisons le calcul d a n s l'ordre suivant : 1° Nous prenons la valeur r.

2" Selon la formule 12, définissons les valeurs correspon

dantes f/f.

;S° Connaissant /• et q^u nous définissons v. = iL

1° D'après les courbes I z = /(«). nous t r o u v o n s la v a l e u r z eorresdondant à celle trouvée, pour oc.

Nous écrivons dans un tableau (page 7) les résultats du calcul et nous ajoutons à ce tableau u n e colonne pour q^{.

D'après les points établis, nous t r a ç o n s une courbe. Afin de m i e u x comparer, nous plaçons cette courbe dans le m ê m e giapluquc, que la courbe p o u r le second exemple.

Le point de d é p a r t des d e u x courbes de r = 0 j u s q u ' à r= 1,8 est le même. P l u s loin les courbes se séparent b r u s q u e m e n t e t courbe ( I I I ) coupe l'axe de l'abscisse au point r — 5,7 m .

5} 7. La loi de la distribution de la force horizontale sur l'empâtement des fondations

.Jusqu'à présent, nous n'avons pas étudié la question de la loi de disliibution 'sur l ' e m p a l e m e n t de la force horizontale P^R appliquée a u x fondations. Cependant, ne connaissant pas c e t t e loi. nous ne. p o u v o n s pas dire, si les conditions Vellé (1 e t 2) son! satisfaites.

Il va sans dire que la plus audacieuse supposition de la distri

bution .sur l ' e m p â t e m e n t de la force horizontale Pⁿ, d o n t nous recommandons d'user en p r a t i q u e , est la supposition s u i v a n t e :

Lu jurée P„ peut être distribuée scion n'importe quelle loi qui salis/ad dans chaque point à l'inégalité.

o<^lp<fg ^{13 3}^e condition Vellé.

Ajoutant l'inégalité 13 à 8 et à 9, nous arrivons à la conclusion que, dans les conditions de la stabilité limitée, la courbe —-dP

dr

doit coïncider avec la c o u r b e - ^ j u s q u ' à ^ <^ fy et après suivre la ligne droite parallèle à l'axe de l'abcisse.

La réponse à la question posée dans l'exemple № 1 : Définir la force horizontale P„. qui p e u t ê t r e appliquée sans danger a u x fondations, est la s u i v a n t e :

La tension horizontale limitée p = fg = 1,53 == 53 t / m². La courbe t r a c é e — m o n t r e que c e t t e tension n ' a lieu nulle

dr pai t.

P a r conséquent, la force admise sans danger égale (fig. 5) 2000 t. ( /^{J R} = 200 t.), à condition que la palplanche soit enfoncée à la profondeur m i n i m u m h = 1,1 m .

§ 8. Fondations enfoncées dans le sol

Le cas e x a m i n é p r é c é d e m m e n t de fondations avec l ' e m p â t e

m e n t disposé sur la surface libre du sol se t r o u v e assez r a r e m e n t dans la p r a t i q u e de la construction.

Bien plus souvent, on r e n c o n t r e u n e fondation enfoncée.

P o u r résoudre le problème, le professeur Guersévanoff donne dans ce cas, les formules s u i v a n t e s :

J==Jⁱ+Jⁱ = Az* + Bz* + Cz + D

ou

2 (1 + fz) A = r²/ y ¡ j .

B = rylXn — 1 )⁺

C = 2rhy +^r*yf + ¿²/YI¿ - D = 2rgf + h*-w

et z est défini p a r l ' é q u a t i o n :

2rg \

ou

+ uz² -f- vz + w = 0 - 1 1 + 2h^v.j

2rf^{,

-l) + 2hf^l,

w 2hy + nf - 2g (1 + ñ

2 r/ V

14

15

16

17

A l'aide de ces formules, on pourrait, c o m m e d a n s le premier cas, tracer les courbes :

z=W(r); J = F(r) E T G = / ( r ) ,

cependant, pour cela, il faudrait faire u n calcul très pénible.

Il n'est pas facile, non plus, de généraliser le procédé d ' a p r è s le principe employé d i n s le premier cas, parce q u e là n o u s avons la possibilité de tracer les courbes auxiliaires z = c p( a ) d é p e n d a n t seulement d ' u n p a r a m è t r e cp, angle de f r o t t e m e n t , tandis qu'ici nous devrions tracer les courbes z = W (r) en présence de trois p a r a m è t r e s cp ; h et g/y, i n d é p e n d a n t s l ' u n de l'autre.

E n présence de ces conditions, on désire n a t u r e l l e m e n t r a p porter Je cas des fondations enfoncées a u cas examiné des fonda

tions placées sur la surface libre de la t e r r e .

Nous proposons de faire cela de la façon s u i v a n t e :

1⁰ A d m e t t r e , c o m m e dans le premier cas, q u e la fondation est disposée sur la surface libre de la terre, p r e n a n t c o m m e

« surface libre » l'indice du h a u t du prisme de résistance ( d u côté vers lequel la fondation s'élève).

2° Considérer seulement les forces horizontales qui s o n t appliquées au-dessus de la surface libre d u sol.

3° A y a n t déterminé les forces verticales j u s q u ' à l ' e m p â t e m e n t des fondations m ê m e , soustraire de la v a l e u r o b t e n u e p o u r g la valeur vli, c'est-à-dire considérer g¹ = ^ vft.

K

4° Considérer la p a r t i e enfoncée des fondations c o m m ¿ la palplanche liée a u x fondations e t f o r m a n t avec elles u n e seule pièce.

11 est t o u t à fait évident qu'en présence d ' u n e telle supposition on a une réserve de stabilité ; car, en s u i v a n t u n e telle m é t h o d e , le b é t o n n a g e de la p a r t i e enfoncée des fondations égale p a r ses qualités physiques les matières s è c V s .