2009-2010 - DS 05

(1)

07/05/10 DEVOIR SURVEILLE 2^nd1,2,3,4,5,7 (2h) Calculatrice autorisée

Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation

Exercice 1 (4 points)

Une conserverie alimentaire fabrique des boîtes de confiture d'abricots. Pour vérifier l'état de fonctionnement de la chaîne de remplissage, on pèse un lot de 120 boîtes de confitures.

On a obtenu les résultats suivants :

masse (en g.) 995 996 997 998 999 1000 1001 1002 1003 1004 1005

nombre de boîtes 3 7 9 15 26 32 17 5 4 1 1

1) a) Déterminer l'étendue, la médiane

m

e, les quartiles et le mode de cette série. Donner la définition de chacun de ces paramètres

b) Calculer la masse moyenne arrondie au dixième de cette série.

c) Calculer la fréquence f des boîtes dont la masse est comprise dans l'intervalle [998 ; 1002].

Arrondir à 10^-2

2) On considère que la chaîne est en bon état lorsque les trois conditions suivantes sont remplies : a. L'écart entre la moyenne

x

et la médiane m_eest inférieur à 0,5.

b. Le pourcentage de boîtes dans l'intervalle [998 ; 1002] est supérieur à 70 %.

c. L’intervalle de confiance à 95% de f est inclus dans l’intervalle [0.90 ; 0.95]

L’intervalle de confiance à 95% est donné par la formule suivante : [ f- 1/√n ; f+ 1/√n ] .

Effectuer les calculs permettant de savoir si chacune des conditions est remplie, puis répondre à la question : le fonctionnement de la chaîne est-il correct ?

(2)

Exercice 2 (5 points)

Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires mensuels, en euros, des employés d’une entreprise : Salaire [800 ; 900[ [900 ; 1000[ [1000 ; 1100[ [1100 ; 1200[ [1200 ; 1300[

Effectif 42 49 74 19 16

1) a) Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère étudié ? b) Indiquer la classe modale.

2) a) Calculer le salaire moyen dans cette entreprise. Que faut-il penser du résultat ? b) Dans cette entreprise, combien d’employés gagnent au plus 1000 euros?

3) a) Déterminer le tableau de fréquences cumulées croissantes.

b) Construire le diagramme des fréquences cumulées croissantes et lire une valeur approchée de la médiane et de Q1 et Q3 . Laisser les traits de construction apparents.

4) Dans cette série statistique se rajoute une sixième catégorie d’employés dont les salaires appartiennent à la classe [1300 ;1400[. Quel est l’effectif de cette classe sachant que le salaire moyen au sein de cette entreprise est alors de 1077,2.

Exercice 3: (5,5 points) (Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment)

Dans une entreprise, la fabrication journalière de x litres d’un certain produit chimique impose un coût de fabrication, en euros, noté C x( ).

Ce produit étant revendu au prix de 7,5 euros par litre, le chiffre d’affaires, en euros, réalisé par l’entreprise, pour la vente de x litres de ce produit est donné par

R x ( ) = 7, 5 x

.

Partie A

On a tracé les courbes représentatives des fonctions

C

et R dans un repère orthogonal (annexe 1) (abscisses en litres, ordonnée en euros)

1) Déterminer quelle courbe correspond à quelle fonction, justifier

2) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes (laisser les raits de construction) : a) Quel est le coût de fabrication pour une production journalière de 40 litres ? De 90 litres ? b) Quelle est la production journalière maximale pour que le coût n’excède pas 400 euros ? c) Déterminer graphiquement combien l’entreprise doit fabriquer d’unités pour être bénéficiaire.

(3)

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction

C

est définie pour tout nombre réel x par la relation

C x ( ) = 0, 0625 x

²

+ 1, 25 x + 100

1) Calculer le bénéfice

B x ( ) = R x ( ) − C x ( )

2) a) Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 100]

( ) 56, 25 0, 0625( 50)

2

B x = − x −

b) En déduire le tableau de variation de la fonction

B

c) En déduire le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser, en précisant la production journalière correspondante.

3) a) Vérifier que

B x ( ) = (0, 25 x − 5)(20 0, 25 ) − x

b) Etudier algébriquement le signe de B x( )selon les valeurs dex. En déduire sur quel intervalle l’entreprise réalise un bénéfice.

Exercice 4 ( 5,5 points) :

Soit

f

la fonction définie sur IR\ {-2 ;2} par

f x x x ( ) = x + +

−

3 5 2

4

2

2 (Forme A).

1) Montrer que f (x) peut aussi s’écrire sous chacune des formes suivantes :

(Forme B) (Forme C)

f x x x

( ) = ( + x )( + )

−

1 3 2

2

4 f x x

( ) = + x + 3 5 − 14

2

4

2) Calculer :

f (0)_;f (-2); f (-1) _;

f ( 2 )

3) Résoudre chacune des équations ou inéquations suivantes en indiquant pour chacune d’elles la forme de f utilisée :

c)

Résoudre f (x)

≤ 0

a)

_Résoudre f (x)_{= 3} b) Résoudre f (x)_{= 0}

(4)

Annexe 1

(5)

Eléments de correction du DS Exercice 1

1a.

> l’étendue de la série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série, 1005 – 995 = 10g.

> La médiane est le nombre qui partage la série en 2 sous ensembles de mêmes effectifs : la série comporte 120 valeurs (nombre pair) donc la médiane est la moyenne entre la 60éme et la 61^ème valeur de la série cad 999,5 g.

> Le premier quartile Q1 est le nombre tel qu’au moins 75% de l’effectif de lé série se trouve au dessus.

120 1 30

× =4 donc Q₁ est la 30^ème valeur : 998g.

> Le troisième quartile Q3 est le nombre tel qu’au moins 25% de l’effectif de lé série se trouve au dessus.

120 3 90

× =4 donc Q3 est la 90^ème valeur : 1000g.

> Le mode de la série est la valeur de plus grand effectif, cad 1000g.

1b. La moyenne de la série est : 3 995 ... 1 1005

999, 4 m= × + + ×120 ≈ g.

1c. La fréquence f des boîtes dont la masse est comprise dans l'intervalle [998 ; 1002] est 95 0, 79 f =120≈ . 2a. L'écart entre la moyenne

x

et la médiane m_eest bien inférieur à 0,5 puisque |999.5 – 999.4| = 0,1 2b. Le pourcentage de boîtes dans l'intervalle [998 ; 1002] est de 79% donc supérieur à 70 %.

2c. On a f = 0.79 et n = 120 donc l’intervalle de confiance associé est [0.70; 0.88] qui n’est pas inclus dans l’intervalle [0.90 ; 0.95]

Le fonctionnement de la chaîne n’est donc pas correct.

Exercice 2

1a. La population étudiée est «les employés de l’entreprise ». Le caractère étudié est «le montant des salaires ».

1b. La classe modale est [1000 ;1100[.

2a. Le salaire moyen de l’entreprise est donné par 42 850 49 950 ... 16 1250 200 1009

× + × + + × ≈ : il appartient à la classe

modale.

2b. Il y a 91 employés gagnent au plus 1000 euros.

(6)

3a.Voici le tableau des fréquences cumulées croissantes :

Salaires [800 ;900[ [900 ;1000[ [1000 ;1100[ [1100 ;1200[ [1200 ;1300[

Fréq. Cum. Croiss. 0,21 0,455 0,825 0,92 1

3a.Voici le polygone des fréquences cumulées croissantes :

On lit graphiquement que :

Le 1^er quartile vaut environ 915 la médiane vaut environ 1015

Le 3^ème quartile vaut environ 1080

4. Voici une manière de procéder : il y a 200 personnes qui touchent en moyenne 1009€, et x personnes qui touchent en moyenne 1350€.

On a alors 200 1009 1350 13640

1077, 2 201800 1350 215440 1077, 2 ... 50

200 272,8

x x x x

x

× + × = ⇔ + = + ⇔ ⇔ = =

+ : il y a donc 50

employés dans cette classe.

0,75

0,5

0,25 Fréquence

Salaires

1000 1100 1200 1300

800 900

0 1

x y

(7)

Exercice 3

A1. R(x) = 7,5x est l’équation d’une fonction linéaire, qui est donc représentée par une droite qui passe par l’origine.

R est représentée par la droite, C par l’arc de parabole.

A2a. Par lecture graphique, le coût de fabrication pour une production journalière de 40 litres est de 250€ et pour production journalière de 90 litres , il est de 725€.

A2b. Il faut produire au plus 60 litres pour que le coût n’excède pas 400 euros.

A2c. La courbe recette est au dessus de la courbe coût pour x∈[20;80]. Il faut donc produire entre 20 et 80 litres pour que l’entreprise soit rentable.

B1. On a ^{B x}^{( )}⁼^7,5^x⁻

(

^{0, 0625}^x²⁺^{1, 25}^x⁺¹⁰⁰

)

⁼^{7, 5}^x⁻^{0, 0625}^x²⁻^{1, 25}^x⁻¹⁰⁰^{= −}^{0, 0625}^x²⁺^{6, 25}^x⁻¹⁰⁰^.

B2a. Développons

( )

2 2 2

2

56, 25 0, 0625( 50) 56, 25 0, 0625 100 2500 56, 25 0, 0625 6, 25 156, 25 0, 0625 6, 25 100

x x x x x

x x

− − = − − + = − + −

= − + −

^{et on}

reconnaît bien B(x).

B2b. B est une fonction trinôme sous la forme ^{B x}^{( )}⁼^{a x}

(

⁻^α

)

²⁺^β ^avec^a^{= −}^0.0625^<^0, ^α ⁼^50, ^β ⁼^{56, 25}^.

D’après le cours on a le tableau de variations suivant :

x

-

_∞

α =50

+

_∞

f(x)

β=56, 25

B2c. A l’aide de ce tableau de variations, le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser est de 56,25€ pour une production de 50 lites.

B3a. Développons

(0, 25 x − 5)(20 0, 25 ) − x = 5 x − 0, 0625 x

²

− 100 1, 25 + x = − 0, 0625 x

²

+ 6, 25 x − 100

et on reconnaît bien B(x).

B3b. On peut alors dresser le tableau de signe suivant :

Ainsi, B(x) > 0 pour x∈]20;80[, ce qui est cohérent avec la lecture graphique

x - ∞ 20 80 + ∞

20 - 0,25x + + 0 -

0,25x – 5 - 0 + +

B(x) - 0 + 0 -

(8)

Exercice 4

Soit

f

la fonction définie sur IR\ {-2 ;2} par

f x x x ( ) = x + +

−

3 5 2

4

2

2 (Forme A).

1.

On développe

2 2

2 2 2

( 1)(3 2) 3 2 3 2 3 5 2

4 4 4

x x x x x x x

x x x

+ + = + + + = + +

− − − et on reconnaît bien f(x).

On mets au même dénominateur

2 2

2 2 2 2

5 14 3( 4) 5 14 3 5 2

3 ...

4 4 4 4

x x x x x

x x x x

+ − + + +

+ = + = =

− − − − et on reconnaît bien f(x).

2. Attention : « si f(x) = x² alors f(-2) = (-2)² = 4 »

Vous avez tendance à écrire f(-2) = -2² = -4 (la première égalité est fausse) f(0) = … = -0.5

-2 n’es pas dans le domaine de définition, donc f(-2) n’a pas de sens f(-1) =… = 0

5 2 8

( 2) 2

f = − +

3a. 5₂ 14 5₂ 14 14

( ) 3 3 3 0 5 14 0

5

4 4

x x

f x x x

x x

+ +

= ⇔ + = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = −

− −

3b. ₂

1 ( 1)(3 2)

( ) 0 0 ( 1)(3 2) 0

4 2

3 x

x x

f x x x ou

x

x + + = −

= ⇔ = ⇔ + + = ⇔

−

= −

3c. A l’aide d’un tableau de signe, et après avoir remarqué que ^x^²^{− =}⁴

(

^x⁻²

)(

^x⁺²

)

on obtient : ( ) 0 ] 2; 1] [ 2; 2[

f x ≤ ⇔ ∈ − − ∪ −x 3