NOM DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES Vendredi 12 mars 2010 2ndes 1-2-3-4-5-7 Calculatrice autorisée 2 heures
Exercice 1 (5 points)
Une entreprise fabrique chaque semaine xécouteurs de MP3. On suppose que tous les écouteurs fabriqués sont vendus.
Le coût de fabrication en euros de xécouteurs est donné par : C x( )=0, 02x2+8x+500.
1. Sachant qu’un écouteur est vendu 19 euros, exprimer en fonction de x la recette (ou chiffre d’affaire) obtenue chaque semaine.
2. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication.
a. Exprimer le bénéfice hebdomadaire B x( ) obtenu pour la vente de x écouteurs.
b. Calculer B(10) , B(100) , B(1000) ; quelle remarque pouvez vous alors faire ? 3. a. Vérifier que B x( ) peut s’écrire : B x( )=0, 02(− +x 50)(x−500).
b. Résoudre dans IR l’inéquation B x( )>0
c. Pour quelles valeurs de x l’entreprise est-elle bénéficiaire ? Justifier votre réponse.
Exercice 2 (2 points)
Le prix de location d’un véhicule est composé d’une partie fixe de b euros, et d’une partie proportionnelle à la distance parcourue : k euros par km.
Sachant que Manon a payé 45 € pour 300 km et Maxime 48,60 € pour 360 km , calculer b et k .
Exercice 3 (3 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
1. Tracer la droite ∆ d’équation y = -2x+7 . et la droite ∆’ d’équation y = x+1 .
2. Justifier que les droites tracées sont sécantes et lire sur le graphique les coordonnées de leur point commun noté A.
3. Déterminer par calcul les coordonnées du point B, intersection de la droite ∆ avec l’axe des abscisses.
4. Déterminer par calcul l’équation de la droite D parallèle à la droite ∆ et passant par le point C(-1 ;0).
5. Calculer l’aire du triangle ABC.
Exercice 4 (5 points) Répondre aux questions suivantes en justifiant par des calculs ou des propriétés : 1. Quel intervalle décrit x² lorsque − ≤ ≤7 x 4 ?
2. Quel intervalle décrit 1
x quand − ≤ ≤7 x -4?
3. Résoudre dans IR chacune des inéquations : (a) x²>7 . (b) 1 3 x<
4. Résoudre dans IR chacune des équations : (c)
(
x−1 ²)
=2 . (d) 1 2 1 x =− Barème indicatif
NOM :……….
Exercice 5 (5 points)
La courbe Cf représentative d’une fonction f a pour équation 3 y 1
= x
+ . La courbe Cf est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.
1.Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .
2. a. Donner la définition de fonction décroissante sur un intervalle I.
b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle
]
0;+∞[
.c. Dresser par lecture graphique le tableau des variations de la fonction f . 3. Soient les points A(-5 ;-7) et B(3 ;9).
a. Tracer la droite (AB) dans le repère orthogonal donné en annexe et déterminer par calcul son équation.
b. Résoudre graphiquement dans IR l’inéquation 3 2 3
1 x
x ≤ +
+
Exercice 6 : BONUS
Dans la figure ci-dessus ABCD est un trapèze où les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
Calculer la valeur exacte de l’ordonnée y du point C dans le repère indiqué.
Le raisonnement devra clairement apparaître.
Corrigé du DS de Seconde Exercice 1
1. Un écouteur est vendu 19 euros donc si on en vend x chaque semaine, la recette hebdomadaire est de 19x euros.
2. Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût de fabrication.
a. Par définition du bénéfice, on a donc B x( )=19x C x− ( )=19x−
(
0, 02x2+8x+500)
= −0, 02x2+11x−500.b. A l’aide de la calculatrice, on obtient : B(10)= −392 , B(100)=400 et B(1000)= −9500 .
On peut par exemple remarquer que l’entreprise est rentable lorsqu’elle fabrique 100 écouteurs, mais déficitaire lorsqu’elle en fabrique 1000.
Une entreprise n’a donc pas forcément intérêt à fabriquer le plus de produits pour générer le plus de bénéfice.
3. a. Développons : 0, 02(− +x 50)(x−500)=0, 02(− +x2 500x+50x−25000)= −0, 02x2+11x−500 : on reconnaît bien l’expression de B(x) calculée en 2a.
Par conséquent B x( )=0, 02(− +x 50)(x−500).
3b. Déterminons le tableau de signe de la fonction B pour résoudre l’inéquation B x( )>0.
On en déduit que B x( )>0 pour x∈]50;500[.
3c. L’entreprise est bénéficiaire lorsque son bénéfice est positif : d’après le 3b, elle est réalise des bénéfices si elle produit et vend entre 50 et 500 écouteurs.
Exercice 2
Le prix de location d’un véhicule est composé d’une partie fixe de b euros, et d’une partie proportionnelle à la distance parcourue : k euros par km.
En notant P(x) le coût de location pour x kms parcourus, on obtient ainsi P x( )= +b kx.
> Manon a payé 45 € pour 300 km donc P(300)=45⇔45= +b 300k.
> Maxime a payé 48,60 € pour 360 km donc P(360)=48, 6⇔48, 6= +b 360k.
Résolvons donc le système
( )
( ) ( )
( )
1 1
2 2 1
300 45 300 45
360 48, 6 60 3, 6
b k L b k L
b k L k L L
+ = + =
⇔
+ = = −
Par conséquent, 3, 6 0, 06
k= 60 = et b=45 300 0, 06− × =27. x 0 50 500 +∞
0,02 + + + -x+50 + 0 - - x-500 - - 0 + B(x) - 0 + 0 -
Exercice 3
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
1. > Pour tracer la droite d’équation y = -2x+7 on place deux points de la droite, par exemple 0 3 7 et 1
.
> Pour tracer la droite d’équation y = x+1 on place deux points de la droite, par exemple 0 3 1 et 4
.
2. > Les droites tracées sont sécantes puisque comme elles n’ont pas le même coefficient directeur, elles ne sont pas parallèles.
> Graphiquement les coordonnées de leur point commun est 2 A 3
.
3. L’axe des abscisses a pour équation y = 0 : son intersection avec la droite ∆ vérifie donc le système
2 7 0 2 7 7 / 2
0 0 0
y x x x
y y y
= − + = − + =
⇔ ⇔
= = =
. Ainsi 3.5
B0
.
4. > La parallèle D à ∆ a même coefficient directeur donc son équation est de la forme y = -2x + b.
> Comme 1 C0−
est sur D, on a 0= × − + ⇔ = −2
( )
1 b b 2. Ainsi, D : y = -2x – 2.5. L’aire d’un triangle est
2 Base h
A= × : B et C sont sur l’axe des abscisses donc 4, 5 3 BC h
=
=
en prenant [BC] pour base.
Par conséquent A=6, 75 unités d’aire.
Exercice 4
La méthode graphique est adaptée aux questions 1 à 3. Tracez donc les courbes représentant les fonctions x֏x2 et x 1
x
֏ pour aborder chaque question.
1. Lorsque − ≤ ≤7 x 4, on a 0≤x²≤49. 2. Lorsque − ≤ ≤ −7 x 4, on a 1 1 1
4 x 7
− ≤ ≤ − .
3a. De même, x²> ⇔ ∈ − ∞ −7 x ] ; 7[ ] 7;∪ +∞[
3b. On a 1 3 ] ; 0[ ] ;1 [ x 3
x< ⇔ ∈ − ∞ ∪ +∞
4a.
(
x−1 ²)
= ⇔2(
x− =1 2 ou x− = −1 2) (
⇔ x= +1 2 ou x= −1 2)
.4b. 1 2 1 1 1 1 3
1 x 2 x 2 x 2
x = ⇔ − = ⇔ = + ⇔ =
−
Exercice 5
La courbe Cf représentative d’une fonction f a pour équation 3 y 1
= x
+ . La courbe Cf est tracée dans le plan muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.
1. f est définie quand son dénominateur est non nul cad sur Df =ℝ\
{ }
− = −∞ −1]
; 1[ ]
∪ − +∞1;[
.2a. Par définition la fonction f est décroissante sur l’intervalle I si « pour tout nombre a<b de I, on a f a( )> f b( ) » (cad si f inverse le sens des inégalités sur I).
2b. Soient a et b deux réels de
]
0;+∞[
tels que a < b. Comparons f(a) et f(b) en étudiant le signe de leur différence.( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
3 1 3 1 3
3 3 3 3 3 3
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b a b a b a
f a f b
a b a b a b a b a b
+ + + − − −
− = − = − = =
+ + + + + + + + + + .
> Mais a et b sont positifs donc
(
a+1)(
b+ >1)
0.> par hypothèse a < b donc 3(b – a) > 0
Ainsi, f(a) – f(b) est positif comme quotient de deux positifs et on a prouvé que a<b⇒ f a( )> f b( ), f est bien décroissante sur I.
2c. Voici le tableau de variations de la fonction f :
3. Soient les points A(-5 ;-7) et B(3 ;9).
3a. La droite (AB) admet une équation de la forme y = ax + b.
> On a 9 ( 7) 16 2 3 ( 5) 8 a= − − = =
− − donc y = 2x + b.
> Comme B(2 ;9) est sur la droite 9= × +2 3 b donc b = 3.
Ainsi, (AB) : y = 2x + 3.
3b. Résoudre graphiquement dans IR l’inéquation
3 2 3
1 x
x ≤ +
+ : servons nous de la droite (AB) tracée précédemment (c’est la même équation…).
Graphiquement, 3 2 3
1 x
x ≤ +
+ lorsque la courbe Cf est au dessous de la droite (AB), cad pour
[
2.5; 1[ [
0;[
x∈ − − ∪ +∞ .
x -∞ -1 +∞
f (x) ..
||
..
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
2 3
-1 -2 -3
0 1
1
x y
Exercice 6.
La principe est le suivant : nous allons déterminer l’équation de la droite (DC) puis remarquer ensuite que C est le point de (DC) d’abscisse 9.
> (AB) a pour coefficient directeur ... 1 a= =8.
> comme (DC) est parallèle à (AB), elle a une équation de la forme 1
y=8x b+ : or 4 D 5
donc 5 1 4 4, 5
8 b b
= × + ⇔ = .
Ainsi, (DC) : 1 4, 5 y=8x+ .
> comme C est sur (DC) a pour abscisse 9 et est sur (DC), on a 1 9 4, 5 45 5, 625
8 8
yC = × + = = .
