PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES :(15,5 Points) EXERCICE 1 : (4Points) ABC est un triangle tel que

Texte intégral

(1)MINESEC DRES-NORD DDES-BENOUE LYCEE DE PITOA. CLASSE : 1ère C DUREE : 3h COEF :06 TRIMESTRE 1. DEVOIR N°2 MATHEMATIQUES ANNEE SCOLAIRE 2020/2021. La rédaction sera prise en compte dans l’évaluation de la copie. Sois précis et concis. PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES :(15,5 Points) EXERCICE 1 : (4Points) ABC est un triangle tel que 𝑨𝑩 = 𝒂 , 𝑨𝑪 = 𝒂√𝟑 𝒆𝒕 𝑩𝑪 = 𝟐𝒂 , où a est un réel strictement positif. D ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 ⃗ et soit K le milieu du segment [𝑩𝑪]. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑩 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑨𝑪 désigne le point du plan tel que 𝟐𝑨𝑫. om. 1) Démontre que ABC est un triangle rectangle. (0,25pt) 2) Ecris D comme barycentre de A, B et C puis fais une figue et place le point D. (1pt) 3) Montre que le point A est le milieu du segment [𝑫𝑲]. (0,25pt) 𝟏 𝟒 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒕 ∶ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 4) Soient P, Q et R trois points du plan tels que :𝑪𝑷 𝑪𝑨 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑸 = 𝑨𝑩 𝑩𝑹 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑩𝑪. Montre 𝟑. 𝟑. 𝟓. .c. que les droites (𝑨𝑹) , (𝑩𝑷) 𝒆𝒕 (𝑪𝑸) sont concourantes. (1,5pt) 𝟐 𝟐 𝟐 (𝑬) 5) Soit l’ensemble des points M du plan tels que 𝟒𝑴𝑨 − 𝑴𝑩 − 𝑴𝑪 = 𝟏𝟒𝟒 . Détermine et construis l’ensemble (𝑬) en supposant que 𝑨𝑩 = 𝟔𝒄𝒎 . (1pt) EXERCICE 2 : (4Points). xa. 1) On considère le polynôme : 𝑷(𝒙) = −𝟑𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟔 a) Détermine une racine évidente 𝜶 de P. b) Factorise P puis déduis-en la résolution dans ℝ de l’équation 𝑷(𝒙) = 𝟎 .. (0,25pt) (1pt). 𝟏. 𝟐𝒙𝟐 + 𝒚−𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝟓 𝟐. 2) Résous dans ℝ𝟑 le système : (𝑺): 𝟑𝒙𝟐 − 𝒚−𝟏 + 𝒛𝟐 = 𝟏𝟔. (1,5pt). 𝟕. je. te. 𝟐 𝟐 {𝟓𝒙 + 𝒚−𝟏 + 𝟑𝒛 = 𝟏 3) 𝑨𝑩𝑪 est un triangle quelconque, on pose 𝑨𝑩 = 𝒂, 𝑨𝑪 = 𝒃 𝒆𝒕 𝑩𝑪 = 𝒄. L’unité de longueur est 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟏𝟎 le cm. Les nombres entiers naturels 𝒂, 𝒃 𝒆𝒕 𝒄 vérifient le système : (𝑺′ ): { 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 = 𝟒 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 = 𝟑𝟒 a) Détermine les entiers naturels 𝒂, 𝒃 𝒆𝒕 𝒄 𝒕𝒆𝒍𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂 < 𝒃. (1pt) b) Déduis-en la nature exacte du triangle 𝑨𝑩𝑪. (0,25pt). su. EXERCICE 3 : (4Points). On considère l’équation (𝑬) ∶ |𝒄𝒐𝒔𝒙| =. √𝟐+√𝟑 𝟐. 1) a) Exprime 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 en fonction de 𝒄𝒐𝒔𝒙 et déduis-en que l’équation (E) peut encore s’écrire : 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 =. √𝟑 𝟐. .. (1pt). b) Déduis-en la résolution dans ℝ de l’équation (E). 𝝅 𝟔. 2) On rappelle que 𝒕𝒂𝒏 =. (0,5pt). √𝟑 𝟑 𝟐𝒕𝒂𝒏𝒙. a) Montre que 𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 = 𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙 .. (1pt). b) Résous dans ℝ+ l’équation : 𝒙𝟐 √𝟑 + 𝟔𝒙 − √𝟑 = 𝟎. c) Déduis-en la valeur exacte de 𝒕𝒂𝒏. 𝝅 𝟏𝟐. .. (0,5pt) (1pt).

(2) EXERCICE 4 : (3,5Points) 1) Définis clairement : Loi de composition externe sur un ensemble E ; F est un sous-espace vectoriel de E ; Base d’un espace vectoriel sur E et dimension d’un espace vectoriel E. (1pt) 2) Dans un plan muni d’un repère orthonormé (𝟎; 𝒊; 𝒋), on donne les points : 𝑨(𝟎; 𝟑) ; 𝑩(−𝟒; 𝟎) 𝒆𝒕 𝑪(𝟎; −𝟐) . a) Détermine les points I et J de l’axe des abscisses, équidistants des droites (𝑨𝑩) 𝒆𝒕 (𝑨𝑪).1pt b) Ecris une équation cartésienne du cercle de diamètre [𝑰𝑱] et vérifie que ce cercle passe par le point A. (1pt) c) Détermine une équation de la tangente à ce cercle en A. (0,5pt). om. PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES : (4,5 Points). .c. M. ALAIN est un homme d’affaires camerounais. Il a placé une somme de 240.000 FCFA dans une banque à un taux annuel de 𝒕% . Après un an, le nouveau capital obtenu est ensuite placé dans la même banque à un taux annuel de (𝒕 + 𝟒)% et produit un intérêt de 36960 FCFA. Une fois de retour dans sa maison et assis à table avec sa femme et son fils, M. ALAIN déclare :≪La somme de nos trois âges est de 65ans.≫ et sa femme dit à son fils : :≪Je suis 4 fois plus âgée que toi.≫ et enfin, le fils dit à son père : :≪Dans 16 ans, tu auras le double de mon âge.≫ .. xa. M. ALAIN veut construire un forage d’eau pour aider ses parents qui habitent dans deux villages différents A et B distants de 100 mètres. Il a cherché un ingénieur qui lui propose de construire ce forage d’eau en un des points M tels que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝑨. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝑩 = −𝟗𝟎𝟎 . (1,5pt). 2) Détermine l’âge de chacun des membres de cette famille.. (1,5pt). 3) Détermine les différentes positions possibles où l’ingénieur pourra placer le forage.. (1,5pt). je. te. 1) Détermine le taux d’intérêt 𝒕 qui est pratiqué dans cette banque.. su. ‘’La réussite est au bout de l’effort.’’. EXAMINATEUR : M. ADOUM MAHAMAT SIAKA.

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