L’épreuve comporte sur deux pages, deux parties A et B toutes obligatoires.
L’utilisation de la calculatrice et du matériel usuel de géométrie est autorisée.
PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES [15.5 points]
EXERCICE 1 / 06.5 points
I. et désignent deux entiers naturels non nuls tels que ( ) , premier.
1. Démontrer que divise (on pourra remarque que ( ) [0,25pt]
2. En déduire que divise et aussi que divise [0,5pt]
3. Démontrer que ( ) [0,5pt]
4. Application. Résoudre dans le système suivant : { ( )
( ) [0,75pt]
II. On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
"Si est un nombre premier et un entier naturel non divisible par , alors [ ]".
On considère la suite ( ) d’entiers naturels définie par : et . 1. Calculer et . [0,75pt]
2. Démontrer par récurrence que, pour tout n entier naturel, . [0,75pt]
3. En déduire une l’écriture décimale de pour tout entier naturel . [0,5pt]
4. Montrer que est un nombre premier. [0,5pt]
5. On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite ( ) par certains nombres premiers.
a. Démontrer que, pour tout entier naturel , n’est divisible ni par , ni par , ni par . [0,75pt]
b. Démontrer que, pour tout entier naturel , ( ) [ ]. [0,25pt]
c. En déduire que, pour tout entier naturel , n’est pas divisible par . [0,25pt]
d. Démontrer l’égalité : [ ]. [0,25pt]
e. En déduire que, pour entier naturel , est divisible par . [0,5pt]
EXERCICE 2 / 03.25 points
A. Soit [ [ On rapporte le plan complexe d’un repère orthonormé ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). désigne l’ensemble des nombres complexes.
1. Résoudre dans l’équation : [0,5pt]
2. On note et les solutions de cette équation telles que ( ) . E et F sont les points d’affixes respectives et . Donner en justifiant la nature du triangle OEF. [0,5pt]
B. Soit le nombre complexe
.
On donne les points ( ) ( ) et ( ).1.
Exprimer | | en fonction des distances et . [0,25pt]2.
En déduire l’ensemble des points M (z) tels que | | . [0,5pt]3.
Posons avec et deux réels.a. Déterminer la partie réelle ( ) et la partie imaginaire ( ) de Z en fonction de et . [0,5pt]
b. Déterminer et construire l’ensemble ( ) des points ( ) tels que soit un nombre réel. [0,5pt]
c. Déterminer et construire l’ensemble ( ) des points ( ) tels que soit un imaginaire pur.[0,5pt]
EXERCICE 3 / 05.75 points
MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES OFFICE DU BACCALAUREAT DU CAMEROUN
Lycée de Fongo-Ndeng
Examen : Evaluation 2 Session : Décembre
2020
Série : Tle C
Epreuve : Mathématiques
Durée : 04 heures Coefficient : 7
A) est un espace vectoriel de base ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), est l’endomorphisme de E tel que : ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ et ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗
1. Donner la matrice de dans la base ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) [0,25pt]
2. Donner l’expression analytique de [0,5pt]
3. Déterminer l’image de ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . Que peut-on dire du vecteur ⃗⃗⃗⃗ ? [0,5pt]
4. Démontrer que est une droite vectorielle dont on donnera une base. [0,5pt]
5. Montrer que ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) est une base de avec ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ . [0,5pt]
6. Donner la matrice M de dans la base ( ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) [0,5pt]
B) ABCD est un tétraèdre, les points P et Q désignent les milieux respectifs des segments [ ] et [ ].
On note G le barycentre des points A, B, C et D affectés des coefficients 3, 2, 3 et -2
1. Démontrer que les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires. [1pt]
2. On pose pour tout point M de l’espace, les vecteurs ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a. Vérifier que ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (où est un réel à déterminer) et montrer que ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ [0,75pt]
b. Déterminer l’ensemble ( )des points M de l’espace tels que ⃗⃗⃗ soit colinéaire à ⃗⃗⃗ [0,25pt]
c. Déterminer l’ensemble ( )des points M de l’espace tels que ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ ‖ ⃗⃗⃗⃗ ‖ [0,25pt]
3. Dans cette question, on munit l’espace d’un repère orthonormé ( ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). On donne ( ) ( ) ( ) et ( ). Donner une équation de ( ) et une représentation paramétrique de ( ) [0,75pt]
PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES [4.5 points]
Un groupe d’élèves du Lycée de FONGO-NDENG organise un voyage d’étude dans la ville de Yaoundé.
Ils se rendent dans une agence de la place et réservent un bus qui décide de décoller la nuit. Mais avant le départ, ils s’arrêtent dans un restaurant et dépensent 100 pièces de monnaie de même valeur. Les hommes du groupe dépensent 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Dans ce restaurant, ils ont trouvé des tables ayant la forme d’un triangle dont les côtés mesurent 1320 décimètres, 15600 centimètres et 20.4 décamètres. On les a fait asseoir autour de cette table de façon à ce qu’il ait une personne à chaque sommet de la table et les personnes soient également espacées.
Au cours du voyage, ils trouvent à un carrefour un phare qui émet un signal jaune toutes les 15 secondes et un signal rouge toutes les 28 secondes. Le signal jaune est aperçu 2 secondes après minuit et le signal rouge 8 secondes après minuit.
Après ce carrefour, le chauffeur décide de s’arrêter pour se reposer et permettre aux passagers de se ressourcer. Le groupe d’élèves va se rendre dans un restaurant une fois de plus. Il y trouve une bande de 17 pirates qui s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale valeur, venant rencontrer DANIEL le cuisinier des lieux. Les pirates décident de se partager également le butin et de donner le reste au cuisinier. DANIEL reçoit alors trois pièces. Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués. DANIEL le cuisinier recevrait alors quatre pièces. Dans un naufrage ultérieur, seuls le butin, six pirates et le cuisinier sont sauvés et le partage laisserait cinq pièces d’or à ce dernier.
Tâches
1. Déterminer le nombre de table minimum qu’il faut dans ce restaurant pour recevoir et faire asseoir cinq groupes de même effectif que celui de ces élèves du FONGO-NDENG, si l’on veut que la distance entre deux personnes puisse être exprimée par un nombre entier de mètre ? [1,5pt]
2. A quelle heure les deux signaux jaune et rouge pourraient se voir pour la première fois être émis en même temps ? [1,5pt]
3. Quelle est la fortune minimale que peut espérer DANIEL le cuisinier quand il décide d’empoisonner le reste de pirates ? [1,5pt]
« Quand vous vous demandez où est Dieu pendant les périodes difficiles de votre vie, souvenez-vous que le professeur reste toujours silencieux pendant l’examen ».(ALBERT Einstein)
