5ème
Ch1 : Géométrie dans l’espace
Objectifs
• Calculer l’aire d’une surface plane ou celle d’un solide, par décom- position en surfaces dont les aires sont facilement calculables.
• Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle ou un pa- rallélogramme et dont les dimensions données, en particulier à partir d’un patron.
• Fabriquer un cylindre de révolution dont le rayon du cercle de base est donné.
• Dessiner à main levée une représentation en perspective cavalière
de ces deux solides.
• Reconnaître dans une représentation en perspective cavalière d’un prisme droit dont les arêtes sont de même longueur, les angles droits, les arêtes, les faces parallèles ou perpendiculaires.
• Calculer le volume d’un parallélépipède rectangle.
• Calculer le volume d’un prisme droit, d’un cylindre de révolution.
• Effectuer pour des volumes des changements d’unités de mesure.
1 Prismes droits
a. Présentation
Définition
(Solide)Un solide est un objet de l’espace.
Définition
(Prisme droit)Un prisme droit est un solide ayant deux bases polygonales identiques, reliées à angle droit par des surfaces rectan- gulaires.
Exemple : Voici un prisme à base triangulaire.
Ses bases sont les triangles ABC et DEF.
Ses côtés, appelés faces latérales, sont les rectangles ABED, BCFE et ACFD.
Il a six sommets : les points A, B, C, D, E et F.
Il a neuf arêtes : les segments [AB], [BC], [CA], [DE], [EF], [FD], [AD], [BE] et [CF].
L’arête [AC] n’est normalement pas visible : elle est tracée en pointillé.
Les trois arêtes [AD], [BE] et [CF] ont la même longueur : c’est la hauteur du prisme.
A B
C
D E
F
✛ une face
une arête ✲
◆ un sommet
b. Représentation en perspective cavalière
Définition
(Perspective cavalière)La représentation en perspective cavalière d’un solide est une représentation qui respecte le parallélisme.
Remarque : Ainsi, deux droites parallèles sur le solide seront parallèles sur la représentation en perspective cavalière.
Mais un angle droit sur le solide ne sera pas forcement représenté par un angle droit sur la représentation en perspective cavalière. Les faces latérales qui sont des rectangles seront donc représentées par des parallélogrammes.
Exemple : Représentation en perspective cavalière du prisme droit dont on a déjà tracé la base et une hauteur.
✲
On dessine l’autre base,
✲
puis les autres hauteurs.
5ème
Ch1 : Géométrie dans l’espace
c. Patron
Définition
(Patron)Le patron d’un solide est une figure plane qui, pliée, permet de reconstituer le solide. Elle est composée des faces du solide.
Exemple : Pour un prisme à base triangulaire :
a b
c
h
Patron de ce prisme :
a
a b
b c
c
b
b c
c
✛ ✲
p=a+b+c
✻
❄ h
d. Aire latérale
Théorème
L’aire latérale d’un prisme droit (aire des faces latérales) est égale au produit du périmètre de la base par la hauteur du prisme.
Exemple : Pour un prisme à base triangulaire de longueursa= 3cm, b= 4cm, c= 5cm et h= 7cm : A= (a+b+c)×h
A= (3 + 4 + 5)×7 A= 12×7
A= 84. Donc, l’aire latérale du prisme est de84cm2.
e. Volume
Théorème
Le volume d’un prisme droit est égal au produit de l’aire de sa base par sa hauteur.
Exemple : Pour un prisme à base triangulaire de longueursa= 3cm, b= 4cm, c= 5cm et h= 7cm : V=aire de la base×h
Or, on admet que le triangle est rectangle donc, l’aire de la base vaut :A= a×b2
A= 3×42
A= 6
On en déduit le volume : V= 6×7
V= 42. Donc, le volume du prisme est de 42cm3.
2 Cylindres
a. Présentation
Définition
(Cylindre)Un cylindre est un solide dont les deux bases sont des disques identiques reliés à angle droit par une surface courbe.
• •
axe du cylindre ❥ une base du cylindre ✲
5ème
Ch1 : Géométrie dans l’espace
b. Représentation en perspective cavalière
Les bases d’un cylindre sont représentés en perspective cavalière par des cercles « écrasés » appelés des ellipses.
c. Patron
Le patron d’un cylindre est composé de deux disques pour les bases et d’un rectangle dont la largeur est la hauteur du cylindre et la longueur est égale au périmètre de la base.
✲
✛r ✻
❄ h
✲
✛r
✲
✛r
✲
✛
2×π×r
d. Aire latérale
Théorème
L’aire latérale d’un cylindre de hauteurh, dont la base est un cercle de rayonrestAlatérale= 2×π×r×h.
Exemple : Pour un cylindre de rayonr= 3 cm et de hauteurh= 8 cm : A= 2×π×r×h
A= 2×π×3×8 A= 48π
A= 150,80.
Donc, l’aire latérale du cylindre est de150,8cm2.
e. Volume
Théorème
Le volume d’un cylindre de hauteurh, dont la base est un cercle de rayonr estVcylindre=π×r2×h.
Exemple : Pour un cylindre de rayonr= 3 cm et de hauteurh= 8 cm : V=π×r2×h
V=π×3×3×8 V= 72π.
V= 226,20.
Donc, le volume du cylindre est de226,2cm3.
