On considère l'application f :M3,1(R

ECE 1 MATHEMATIQUES

Concours Blanc 2 - durée : 4h 27 mai 2019 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.

Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.

Exercice I.

On considère l'application f :M_3,1(R)−→ M_3,1(R) dénie par f



 x y z



=





2x−3y−2z 2x−y−2z

−2x+ 2z



. 1. Montrer quef est une application linéaire.

2. Donner la matricemat(f) de f dans la base canonique de M_3,1(R). 3. a. Expliquer pourquoiIm(f) =V ect







 2 2

−2



;





−3

−1 0



;





−2

−2 2







. b. En déduire une base et la dimension deIm(f).

4. Déterminer Ker(f).

5. f est-elle injective ? Surjective ? Bijective ? Justier.

Exercice II.

On considère la fonction f dénie sur R^∗+ par f(x) = 2 x²

Z _x

0

t e^t+ 1dt. On rappelle le théorème :

Sif est continue sur I,a∈I, etF(x) = Z x

a

f(t)dt, alors F ∈ C¹(I), et ∀x∈I, F⁰(x) =f(x). 1. a. Montrer que ∀x >0, ∀t∈[0;x], t

e^x+ 1≤ t e^t+ 1 ≤ t

2.

(Le résultat pourra éventuellement être obtenu à l'aide d'une succession d'encadrements.) b. Etablir alors que 1

e^x+ 1 ≤f(x)≤ 1 2.

(On intégrera l'encadrement précédent entre 0 etx.) c. En déduire lim

x→0⁺f(x).

d. La fonctionf est-elle prolongeable par continuité en 0? Justier.

2. On pose, pour x≥0, H(x) = Z x

0

t e^t+ 1dt.

a. Expliquer pourquoiH est de classeC¹ surR+, et donner sa dérivée.

b. Montrer quef est de classe C¹ surR^∗+. c. Vérier que ∀x >0, f⁰(x) =− 4

x³g(x),

avec g la fonction dénie sur R+ par g(x) =H(x)− x² 2(e^x+ 1). d. Vérier que ∀x≥0, g⁰(x) = x²e^x

2(e^x+ 1)². e. Calculer g(0).

f. En déduire alors successivement les variations de g sur R+, le signe de g sur R+, puis le sens de variations de f surR^∗₊.

3. a. Montrer que, pour tout réel t≥0, on a 0≤ t

e^t+ 1≤1. b. En intégrant, en déduire que ∀x >0, 0≤f(x)≤ 2

x. c. Calculer alors lim

x→+∞f(x).

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Exercice III.

Soitn∈N^∗.

On considère une suite de tirages avec remise dans une urne contenantnboules numérotées de 1 à n. Pour tout entier naturel k∈N^∗, on note :

Xk la variable aléatoire égale au numéro de la boule obtenue auk^e tirage.

Sk la somme des numéros des boules obtenues lors desk premiers tirages : Sk=

k

X

i=1

Xi.

On considère enn la variable aléatoire Tn égale au nombre de tirages nécessaires pour que, pour la première fois, la somme des numéros des boules obtenues soit supérieure ou égale àn.

Exemple : avecn= 10, si les numéros obtenus aux cinq premiers tirages sont dans cet ordre2,4,1,5,9, alors on obtient : S₁= 2, S₂ = 6, S₃ = 7, S₄ = 12, S₅= 21 et T₁₀= 4.

Partie A.

1. Pourk∈N^∗, reconnaitre la loi de Xk, et calculer son espérance.

2. a. En justiant, déterminerT_n(Ω). b. Expliquer pourquoi P(T_n= 1) = 1

n. c. Montrer que P(Tn=n) =

1 n

n−1

.

3. Dans cette question,n= 2. Déterminer la loi deT2. 4. Dans cette question,n= 3.

a. Vérier, en utilisant notamment la question 2, que la loi de T3 est donnée par le tableau suivant :

k 1 2 3

P(T3 =k) 1 3

5 9

1 9 b. CalculerE(T3)etV(T3).

Partie B.

1. Déterminer S_k(Ω), pourk∈N^∗. 2. Soitk∈[[1;n−1]].

a. ExprimerSk+1 en fonction deSk et de Xk+1.

b. En utilisant un système complet d'événements lié à la variable aléatoireS_k, démontrer alors que :

∀i∈[[k+ 1;n]], P(S_k+1 =i) = 1 n

i−1

X

j=k

P(S_k=j).

3. a. Pour k∈N^∗ etj∈N^∗, rappeler la formule du triangle de Pascal liant

j−1 k−1

,

j−1 k

et

j k

. b. En déduire, par récurrence, que ∀k∈N^∗, ∀i≥k+ 1,

i−1

X

j=k

j−1 k−1

= i−1

k

.

c. Pour tout entier k∈ [[1;n]], on noteHk la proposition : ∀i ∈[[k;n]], P(Sk = i) = 1 n^k

i−1 k−1

. Démontrer par récurrence que pour tout entier k∈[[1;n]],H_k est vraie.

4. a. Soit k∈[[1;n−1]]. Expliquer l'égalité d'événements [T_n> k] = [S_k≤n−1]. b. En déduire que ∀k∈[[0;n]], P(Tn> k) = 1

n^k

n−1 k

. 2

5. Démontrer que E(T_n) =

n−1

X

k=0

P(T_n> k), puis que E(T_n) =

1 +1 n

n−1

. 6. Calculer lim

n→+∞E(T_n). Partie C.

1. SoitY une variable aléatoire à valeurs dansN^∗ telle que : ∀k∈N^∗, P(Y =k) = k−1 k! . a. Vérier par le calcul que

+∞

X

k=1

P(Y =k) = 1.

b. Montrer queY admet une espérance et calculer cette espérance.

2. Soitk∈N^∗.

a. Démontrer que lim

n→+∞

(n−1)!

n^k(n−1−k)! = 1.

b. En déduire que lim

n→+∞P(Tn> k) = 1 k!.

c. Vérier ensuite que P(Tn=k) =P(Tn> k−1)−P(Tn> k). d. En déduire que lim

n→+∞P(Tn=k) =P(Y =k).

(On dit que (T_n)n≥1 converge en loi vers la variable aléatoire Y.)

3. En langage Scilab, l'instruction grand(1,1,'uin',1,n) renvoie un entier aléatoire de [[1;n]].

Recopier et compléter le programme ci-dessous, qui prend en argument le nombrende boules contenues dans l'urne, an qu'il simule et renvoie la variable aléatoire T1000 :

n=1000 S = ...

T = ...

while ...

S = S + grand(1,1,'uin',1,n) T = ...

end

disp(...)

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