Documents de Physique-Chimie – M. M

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Partie : Modéliser l’évolution temporelle d’un système, siège d’une transformation chimique Cours 4 : Equation différentielle du premier ordre

Equations différentielles du premier ordre

On appelle équation différentielle une équation reliant une fonction avec certaines de ses dérivées.

On nomme solution ou intégrale de cette équation sur un intervalle donné toute fonction qui la vérifie sur cet intervalle.

Résoudre une équation différentielle sur un intervalle revient donc à déterminer toutes les fonctions correspondantes.

Une différentielle est du premier ordre si elle contient la dérivée première. Les solutions seront définies à une constante près.

En Physique et en Chimie, les constantes sont calculées en connaissant les conditions initiales ou les conditions aux limites.

Chimie :

Suivi d’une réaction d’ordre 1.

Equation de la réaction : [A] + [B] → [C] + [D] pour un système équimolaire (nombres stœchiométriques tous égaux à 1) La vitesse volumique d’apparition d’un produit C a pour expression :

𝑣(𝑡) =¹

𝑉∙^{𝑑𝑛𝐶(𝑡)}

𝑑𝑡 (en mol.s^-1) ou 𝑣(𝑡) =^{𝑑[𝐶](𝑡)}

𝑑𝑡 (en mol.L^-1.s^-1) La vitesse volumique de disparition d’un réactif A a pour expression : 𝑣(𝑡) = −¹

𝑉∙^{𝑑𝑛𝐴(𝑡)}

𝑑𝑡 (en mol.s^-1) ou 𝑣(𝑡) = −^{𝑑[𝐴](𝑡)}

𝑑𝑡 (en mol.L^-1.s^-1)

Etablissement de l’équation différentielle et de sa résolution pour le cas de l’étude de la disparition du réactif A.

Hypothèse : La loi de vitesse s’écrit v = k [A]^a [B]^b avec a + b = 1.

Les conditions stœchiométriques impliquent alors : 𝑣(𝑡) = 𝑘 ∙ [𝐴](𝑡)

La vitesse d’une réaction est liée à la concentration des réactifs par la relation : 𝑣(𝑡) = 𝑘 ∙ [𝐴](𝑡) k est la constante de vitesse de réaction

L’équation différentielle par rapport aux réactifs a donc pour expression : −^{𝑑[𝐴](𝑡)}

𝑑𝑡 = 𝑘 ∙ [𝐴](𝑡) Séparons les variables A et t

L’équation différentielle peut s’écrire :

𝑑([𝐴](𝑡)) 𝑑𝑡

[𝐴](𝑡)

= −𝑘

𝑑[𝐴](𝑡)

[𝐴] = −𝑘 ∙ 𝑑𝑡 (pour une réaction d’ordre 1, k est homogène à l’inverse d’un temps t^-1) Si deux expressions sont égales alors leurs primitives par rapport à t sont égales à une constante près.

⟺ ln(|[𝐴(𝑡)]|) = −𝑘 ∙ 𝑡 + constante

⟺ 𝑒[ln(|[𝐴(𝑡)]|)]= 𝑒[−𝑘∙𝑡+𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒]

⟺ |[𝐴(𝑡)]| = 𝑒^{[−𝑘∙𝑡]}∙ 𝑒[𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒]

On appelle K la constante correspondant au terme 𝑒[𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒]

On peut écrire que la solution de l’équation différentielle a pour expression [𝐴(𝑡)] = 𝐾. 𝑒^{[−𝑘∙𝑡]}∙ où 𝐾 est une constante à déterminer

Rappels mathématiques :

si f(x) ) = 5x +2 alors f’(x) = 5 Réciproquement si f’(x) = 5 alors f(x) ) = 5x +K K étant une constante à déterminer.

La primitive de _𝑥¹𝑑𝑥 est ∫¹

𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐾

∫¹_𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐾 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

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Détermination de la constante K par les conditions initiales

On se place dans les conditions initiales : à t = 0 on a [𝐴(0)] = [𝐴₀] [𝐴₀] est la concentration initiale en réactif.

⟺ 𝐾 ∙ 𝑒^−𝑘.0 = [𝐴₀]

⟺ 𝐾 = [𝐴₀] avec 𝑒^−𝑘.0 = 1

La solution complète de l’équation différentielle est donc : [𝐴(𝑡)] = [𝐴₀] . 𝑒^{−𝑘∙𝑡}∙

Calcul du temps de demi-réaction (Chimie - Cinétique) ou de la demi-vie (Physique – Radioactivité)

Le temps de demi-réaction correspond à la durée nécessaire pour que la moitié de l’avancement final soit atteint Pour le temps de demi-réaction

on a donc :

2

On remplace cette valeur dans la solution de l’équation différentielle : [𝐴](𝑡_1/2) = [𝐴0] ∙ 𝑒^{−𝑘∙𝑡1/2}

⟺^[A0]

2 = [𝐴₀] ∙ 𝑒^{−𝑘∙𝑡1/2}

⟺¹

2= 𝑒^{−𝑘∙𝑡1/2}

⟺ 𝐿𝑛 (¹

2) = −𝑘 ∙ 𝑡1/2

⟺ 𝐿𝑛 1 − 𝐿𝑛 2 = −𝑘 ∙ 𝑡_1/2 or 𝐿𝑛 1 = 0

⟺ −𝐿𝑛 2 = −𝑘 ∙ 𝑡1/2

⟺ 𝑡1/2=^{𝐿𝑛 2}

𝑘

Variation de la concentration du réactif A

par rapport au temps t Représentation linéarisée Ln [A] = f (t)

Applications de cette équation différentielle et de sa solution :

- Etude de la disparition d’un réactif dans une réaction d’ordre 1.

- Etude de la décroissance radioactive d’un élément radioactif.

- Diminution de la température. Loi phénoménologique de Newton

- Etude de la décharge d’un condensateur dans un circuit RC.