A2826. Une erreur de calcul MB
Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi (i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calcule S =
∑
(xixj) = somme de toutes les fractions de la forme xixj avec i ≠ j, 1≤ i ≤ 20, 1≤ j ≤ 20.
Puce de son côté a choisi une suite de k nombres réels positifs yi (i = 1 à k) dont la somme est égale 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il affirme que la somme de toutes les fractions de la
forme yi
yj avec i ≠ j, 1≤ i ≤ k, 1≤ j ≤ k est aussi égale à S.
Déterminer S puis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.
Calcul de S : 85*24 = 20 + S donc S = 2040 – 20 , S = 2020
Pour Puce, calcul éventuel de k : 159*13 = k + 2020 k = 159*13 – 2020 k = 47 Pour toute suite de nombres réels positifs, leur moyenne harmonique est toujours égale ou inférieure à leur moyenne arithmétique , c'est à dire que
n∑
(1/xi)≤
∑
(xi)n
Dans notre cas, la moyenne harmonique est 47/13 , tandis que la moyenne arithmétique est 159/47, 47² = 2209 159*13 = 2067 2209 > 2067
On aurait donc 47/13 > 159/47 : ce n'est pas possible.
D 4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e s [
*
*
* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s é
