Qa. — Considérons deux cas particuliers de construction, donnant les droites C0D0 et CD [attention aux couleurs croisées sur la figure ci-contre…]. Nous allons utiliser le
"théorème du neuvième point" : si une cubique passe par huit des neuf points d'intersection entre deux cubiques, alors elle passe par le neuvième.
La figure montre deux cubiques Γv et Γb (verte et bleue) et nous considérons comme troisième cubique la réunion Γ de l'hyperbole et de la droite de l'infini.
Les neuf points d'intersection entre Γb et Γ sont les six points visibles sur la figure et les trois points situés sur la droite de l'infini : les deux points cycliques et l'intersection de cette droite avec la droite ∆0 = C0D0. La cubique Γv coupe l'hyperbole aux mêmes points que la cubique Γb ; elle passe aussi par les points cycliques, elle coupe donc la droite de l'infini au même point P∞ que C0D0 , ce qui assure que CD et C0D0. sont effectivement toujours parallèles.
En considérant le cas où M est sur l'axe de l'hyperbole, on voit par symétrie que la direction ∆’ des droites CD est symétrique de celle de AB par rapport à cet axe.
D'autre part, le lieu des milieux des segments CD n'est autre que la polaire du point P∞ par rapport à l'hyperbole. Elle passe par le centre O, et on peut donc considérer le cas où la sécante CD passe par O, ainsi que le cercle C0D0BA correspondant. Les tangentes à l'hyperbole en C0 et D0 sont parallèles [puisque O est le centre] et se coupent [sur la droite de l'infini] au point P’∞ qui est le pôle de ∆0 , c'est-à-dire que ces tangentes sont parallèles à la polaire de P∞. En échangeant les rôles de AB et C0D0 , on voit enfin que la droite symétrique de la polaire par rapport à l'axe de l'hyperbole est la polaire du point à l'infini de AB et passe donc par le milieu I de AB..
Qb. — Les propriétés précédentes ne supposent pas que l'hyperbole soit équilatère. On aura répondu à toutes les questions si on montre que la polaire de P∞ est parallèle à la médiatrice de AB. En effet, il est clair que MJOI sera un parallélogramme, donc que MJ restera constante. Par ailleurs, OI [par la symétrie évoquée précédemment] sera perpendiculaire à C0D0 , donc sera la médiatrice de C0D0 , et finalement I sera bien le centre du cercle correspondant au cas où CD passe par O.
Cela étant, compte tenu du fait que la direction de CD est symétrique de celle de AB par rapport à l'axe horizontal, la polaire de P∞ — c'est-à-dire l'orthogonale de CD dans la forme quadratique correspondant à l'hyperbole — sera perpendiculaire à AB si sa direction est symétrique de celle de CD par rapport à une bissectrice du repère. C'est évidemment le cas puisque la forme quadratique s'écrit x 2 – y 2 dans ce repère.
