G10259. Concours d’anniversaires
Un groupe denpersonnes est r´euni dans une salle. Quelle est la probabilit´e pour que deux d’entre elles aient la mˆeme date d’anniversaire ?
a) Deux au moins.
b) Deux et deux seulement.
On admettra que personne n’est n´e un 29 f´evrier.
Solution
a) La probabilit´e compl´ementaire de “au moins une co¨ıncidence” est celle de “aucune co¨ıncidence”. Pour cette derni`ere, on a C365n fa¸cons de choisir n anniversaires distincts, n! fa¸cons de les r´epartir entre lesnpersonnes, alors que le nombre de cas possibles est 365n. D’o`u la probabilit´e pour aucune co¨ıncidencen!C365n 365−n, et la probabilit´e pour au moins une co¨ıncidence
pa= 1−n!C365n
365n = 1− 365!
(365−n)!365n
b) On aCn2 fa¸cons de choisir les deux personnes, 365 fa¸cons de choisir leur anniversaire commun,C364n−2fa¸cons de choisir les autres anniversaires, (n−2)!
fa¸cons d’affecter ces dates aux n−2 personnes sans co¨ıncidence. D’o`u la probabilit´e
pb = 365!n(n−1)/2 (366−n)!365n Voici quelques valeurs de ces probabilit´es
n pa pb
22 0,475695 0,352077 23 0,507297 0,363422 27 0,626859 0,386349 28 0,654461 0,386431 29 0,680969 0,384352
La probabilit´e du cas a) augmente continˆument avecn, et d´epasse 50% d`es n= 23, alors que celle du cas b) plafonne `a 39% environ pour n= 28, puis d´ecroˆıt.
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