Mise en œuvre d'un modèle électromagnétique 3D dédié à l'analyse de milieux forestiers et à la détection de cibles sous couvert

HAL Id: tel-01760226

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01760226

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

à l’analyse de milieux forestiers et à la détection de

cibles sous couvert

Lydia Hettak

To cite this version:

Lydia Hettak. Mise en œuvre d’un modèle électromagnétique 3D dédié à l’analyse de milieux forestiers et à la détection de cibles sous couvert. Electromagnétisme. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2017. Français. �NNT : 2017PA066415�. �tel-01760226�

École doctorale : SMAER

Sciences Mécaniques, Acoustique, Électronique et de Robotique de Paris Laboratoire d1_{Électronique et Électromagnétisme (L2E)}

Thèse de Doctorat en Électronique

Mise en œuvre d’un modèle électromagnétique 3D

dédié à l’analyse de milieux forestiers et à la

détection de cibles sous couvert

Présentée par

Lydia HETTAK

Soutenue publiquement le 20 Octobre 2017 devant le jury composé de :

M. Christophe bourlier Directeur de recherche, CNRS Rapporteur

M. Herve Tortel Maitre de conférences, HDR, AMU Rapporteur

M. Philippe pouliguen Responsable scientifique, DGA Examinateur

M. Zhuoxiang ren Professeur, UPMC Examinateur

M. Sami bellez Ingénieur R&D,CMN Examinateur

Mme. Hélène roussel Professeur, UPMC Directrice de thèse

M. Massimilianno casaletti Maître de conférences, UPMC Co-Encadrant de thèse M. Raj mittra Professeur, EMC Lab , UCF Co-Directeur de thèse

Contents ii

List of Figures v

1 Introduction 3

1.1 Contexte et état de l’art . . . 3

1.2 Rayonnement et diffusion électromagnétique . . . 7

1.2.1 Champ proche et lointain . . . 7

1.2.2 Coefficient de diffusion et Surface Équivalente Radar . . . 9

1.3 Ondes électromagnétique et diffusion électromagnétique . . . 10

1.4 Méthodes numériques de Résolution . . . 12

1.4.1 La méthode des éléments finis (FEM) . . . 13

1.4.2 La méthode des moments(MOM) . . . 14

1.4.3 La méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD) . . . 15

1.5 Modèle dédié à la diffraction de la forêt . . . 16

1.5.1 Représentation d’une parcelle de forêt . . . 16

1.5.2 Modèle full wave basé sur la représentation intégrale . . . 17

1.5.3 Application de la Méthode des moments . . . 18

1.5.4 Accélération du modèle . . . 19

1.6 Plan de la thèse . . . 20

2 Modèle de diffusion d’une cible métallique 21 2.1 Diffraction d’une cible métallique placée en espace libre . . . 21

2.1.1 L’équation intégrale du champs électrique . . . 22

2.1.2 Application de la méthode des moments . . . 25

2.1.2.1 Développement des fonctions de base . . . 25

2.1.2.2 La procédure test . . . 27

2.1.2.3 Évaluation des éléments de la matrice d’interaction. . . 30

2.1.2.4 Extraction de la singularité . . . 33

Passage aux coordonnées polaires . . . 34

2.2 Diffraction d’une cible métallique placée au dessus d’un milieu semi-infini . . . 37

2.2.1 Calcul de la dyade de Green d’un milieu à deux couches . . . 38

2.2.2 Méthode des images complexes discrètes . . . 40

Formulation des images complexes . . . 41

Calcul des coefficients complexes . . . 43

2.2.3 Approximation et simplification du modèle . . . 44

2.2.3.1 Principe des images . . . 44

2.2.3.2 Méthode des images modifiées . . . 45

2.3 Diffraction d’une cible métallique placée dans la forêt . . . 48 ii

2.3.1 Formulation mixte . . . 49

2.3.2 Calcul des éléments d’auto-couplage . . . 51

2.3.3 Calcul de la matrice de couplage . . . 52

2.3.4 Calcul du vecteur source dû au couplage . . . 54

2.4 Conclusion de ce chapitre . . . 55

3 Validation numérique du modèle 57 3.1 Modèle de la cible métallique placée en espace libre . . . 57

3.1.1 Implémentation du modèle . . . 58

3.1.2 Convergence des résultats de simulation . . . 58

3.1.3 Validation du modèle de diffraction en espace libre . . . 60

3.1.3.1 Exemple d’une sphère . . . 60

3.1.3.2 Exemple d’une pyramide tronquée . . . 62

3.1.3.3 Exemple d’un Tank . . . 64

3.2 Modèle de la cible métallique placée au dessus d’un sol . . . 65

3.2.1 Validation du principe des images. . . 66

3.2.1.1 Cas d’un dipôle horizontal . . . 66

3.2.1.2 Cas d’un dipôle vertical . . . 68

3.2.2 Cible au dessus d’un sol PEC . . . 69

3.2.2.1 Exemple d’une sphère . . . 69

3.2.2.2 Exemple d’une pyramide tronquée . . . 71

3.2.2.3 Exemple d’un Tank . . . 72

3.2.3 Cible au dessus d’un sol réel . . . 74

3.2.3.1 Exemple d’une sphère . . . 74

3.2.3.2 Exemple d’une pyramide tronquée . . . 75

3.2.3.3 Exemple d’un Tank . . . 77

3.3 Modèle de la cible métallique placée dans un environnement forestier . . . 78

3.3.1 Étude de la diffusion par les arbres . . . 78

3.3.2 Validation de la formulation mixte . . . 81

3.3.2.1 Objets se trouvant en espace libre . . . 81

3.3.2.2 Objets se trouvant au dessus d’un sol PEC . . . 82

3.3.2.3 Objets se trouvant au dessus d’un sol réel . . . 83

3.3.3 Étude d’une scène réaliste . . . 86

3.4 Conclusion de ce chapitre . . . 91

4 Validation expérimentale du modèle 93 4.1 Configuration de Mesure . . . 93

4.2 Comparaison entre les résultats de mesures et de simulations . . . 95

4.2.1 Diffraction d’un objet métallique . . . 95

4.2.2 La diffraction par un objet diélectrique . . . 99

4.2.3 Validation de la formulation mixte . . . 103

4.2.3.1 Objet diélectrique se trouvant à coté de l’objet métallique . . . 104

4.2.3.2 Objet diélectrique se trouvant devant de l’objet métallique . . . 106

4.2.3.3 Objet diélectrique se trouvant derrière de l’objet métallique . . . 108

4.2.4 Scène complexe . . . 110

4.2.4.1 Diffraction d’un Tank . . . 110

4.2.4.2 Le Tank se trouvant à la position "1" . . . 111

4.2.4.4 Le Tank se trouvant à la position "3" . . . 114

4.2.4.5 Le Tank se trouvant à la position "4" . . . 115

4.2.5 Effet des arbres sur le champ diffracté par le tank. . . 116

4.3 Conclusion de ce chapitre . . . 120

5 Conclusion générale et perspectives 123 5.1 Conclusion générale. . . 123

5.2 Perspectives . . . 124

A Calcul du champ proche et champ lointain 126

B Calcul de la dyade de Green d’un milieu à deux couches 128

1.1 Une scène typique à étudier. . . 6

1.2 Zones de rayonnement d’un point source.. . . 8

1.3 Principe d’utilisation de la méthode des moment [1]. . . 14

1.4 Représentation d’un arbre.. . . 17

1.5 Représentation d’une parcelle de forêt par des cylindres droits (troncs) et verticaux (branches primaires) aux fréquences VHF (proches de 400 MHz) . . . 20

2.1 Champ électrique diffracté par un conducteur. . . 22

2.2 Paire de cellules Triangulaires adjacentes[2] . . . 26

2.3 Figure explicative de la procédure de réduction du nombre d’intégrales à calculer. Les triangles Tp et Tq interviennent à la fois dans le calcule de Z_mn et de Z_rs. . . 30

2.4 Couple de paires de face d’observation et source [3] . . . 31

2.5 Coordonnées barycentriques . . . 32

2.6 Apparition de singularité[4]. . . 34

2.7 Patch triangulaire en coordonnées cartésiennes locales pu, v, wq et coordonnées polaires pρ, θq (a). L’origine est à l’extérieur du triangle. (b) L’origine est à l’intérieur du triangle [4] . . . 35

2.8 Objet métallique au dessus du sol . . . 38

2.9 Dipôle vertical placé au dessus d’un sol réel . . . 41

2.10 Les images complexes d’un dipôle placé au-dessus d’un sol réel . . . 42

2.11 Chemins d’approximation pour une DCIM à 2 niveaux dans les plans : a)kz et kρ . . . 43

2.12 Passage du problème initial(a) au problème équivalent (b) où la source et son images se trouvent en espace libre . . . 44

2.13 Application du principe des images sur les fonctions de base de RWG (Couple de triangles de source et son image) . . . 46

2.14 Application du principe des images modifiée . . . 46

2.15 Les champs incidents sur les objets métallique et diélectrique . . . 49

2.16 Calcul des éléments d’auto-couplage . . . 51

2.17 Calcul des matrices de couplage . . . 53

2.18 Calcul des vecteurs source dus au couplage . . . 54

3.1 Configuration d’intérêt. . . 59

3.2 Champ proche diffracté par le patch rectangulaire tracé dans le plan (XOZ). . . 59

3.3 Champ lointain diffracté par le patch rectangulaire tracé dans le plan (XOZ). . . 60

3.4 Sphère de Rayon 0.3m éclairé par une onde incidente de θ_i“ 20˝ et φ_i “ 90˝. . . 61

3.5 Variation du Champ diffracté (module et phase) par une sphère représenté dans le plan (XOZ)(polar VV). . . 61

3.6 Variation du Champ diffracté (module et phase) par une sphère représenté dans le plan (XOZ)(polar HH). . . 62

3.7 Pyramide tronqué de dimension (h=1.5m).. . . 62

3.8 SER de la cible placée en espace libre en polarisation VV (cas monostatique en θ) et pour (φi “ φs“ 0˝). . . 63 3.9 SER de la cible placée en espace libre en polarisation HH (cas monostatique en θ) et

pour (φi “ φs“ 0˝). . . 63 3.10 Tank placé en espace libre.. . . 64 3.11 SER d’un tank placé en espace libre en polarisation VV et HH pour une onde incidente

θi“ 30˝ et φi “ 45˝. . . 65 3.12 SER d’un tank placé en espace libre en polarisation croisées VH et HV pour une onde

incidente θi“ 30˝ et φi “ 45˝). . . 65 3.13 Dipôle horizontal orienté le long de l’axe OX. . . 66 3.14 Comparaison de l’amplitude du champ proche total généré par le dipôle vertical à une

distance r = 0.2m. . . 67 3.15 Comparaison de l’amplitude du champ total généré par le dipôle vertical à une distance

r = 10m (région du champ lointain). . . 67 3.16 Dipôle vertical orienté le long de l’axe OZ. . . 68 3.17 Comparaison de l’amplitude du champ proche total généré par le dipôle vertical à une

distance r “ 0.2m. . . 68 3.18 Comparaison de l’amplitude du champ total généré par le dipôle vertical à une distance

r “ 10m (région du champ lointain). . . 69 3.19 Sphère de Rayon 0.3m placée au dessus d’un sol. . . 70 3.20 Variation du Champ diffracté (module et phase) par la sphère placée au dessus d’un sol

PEC représentée dans le plan (XOZ)(Polar VV). . . 70 3.21 Variation du Champ diffracté (module et phase) par la sphère placée au dessus d’un sol

PEC représentée dans le plan (XOZ)(Polar HH). . . 71 3.22 Pyramide tronquée de dimension (h “ 1.5m) placée au dessus d’un sol. . . 71 3.23 SER de la cible placé au dessus d’un sol PEC en polarisation VV (cas monostatique en

θ) et pour (φi “ φs“ 0˝). . . 72 3.24 SER de la cible placé au dessus d’un sol PEC en polarisation HH (cas monostatique en

θ) et pour (φi “ φs“ 0˝). . . 72 3.25 Tank placé au dessus d’un sol. . . 73 3.26 SER d’un tank placé au dessus d’un sol PEC en polarisation VV et HH pour une onde

incidente θ_i“ 30˝ et φ_i “ 45˝.. . . 73 3.27 SER d’un tank placé au dessus d’un sol PEC en polarisation croisées VH et HV pour

une onde incidente θi “ 30˝ et φi“ 45˝). . . 74 3.28 Variation du champ diffracté par la sphère placée au dessus d’un sol sec représentée dans

le plan (xoz) pour (φs“ 0˝) et (0˝ă θsă 89˝) (polar HH). . . 75 3.29 Variation du champ diffracté par la sphère placée au dessus d’un sol humide représentée

dans le plan (xoz) pour (φs“ 0˝) et (0˝ă θs ă 89˝) (polar HH). . . 75 3.30 SER de la cible placée au dessus d’un sol sec en polarisation VV (cas monostatique en

θ) et pour (φi “ φs“ 0˝). . . 76 3.31 SER de la cible placé au dessus d’un sol humide en polarisation VV (cas monostatique

en θ) et pour (φ_i “ φs“ 0˝). . . 76 3.32 Variation de la SER du tank placé au dessus d’un sol humide en polarisation HH et pour

(φ_i “ φs“ 0˝). . . 77 3.33 Variation de la SER du tank cible placé au dessus d’un sol humide en polarisation HH

et pour (φ_i “ φs“ 0˝). . . 78 3.34 Génération de la structure d’un arbre en utilisant ARBARO. a)Tronc seul.

b) Tronc+branches primaires. c).Tronc+branches primaires+ branches secondaires. d)Arbre entier. . . 79

3.35 (a) Le modèle d’un arbre de type peuplier (Quacking Aspen) généré par Arbaro (b) Le

modèle équivalent dans la bande VHF-UHF. . . 79

3.36 Comparaison de la SER obtenu avec FEKO et notre modèle pour la polarisation VV. . 80

3.37 Comparaison de la SER obtenues avec FEKO et notre modèle pour la polarisation HH. 80 3.38 Configurations d’intérêt. . . 81

3.39 Comparaison pour la polarisation VV (module et phase) du champ diffracté dans le plan (xoz)(φ_s“ 0˝) et (0˝_{ă θ} să 89˝). . . 82

3.40 Comparaison pour la polarisation HH (module et phase) du champ diffracté dans le plan (xoz)(φs“ 0˝) et (0˝ă θsă 89˝). . . 82

3.41 Comparaison pour la polarisation VV du champ diffracté dans le plan (xoz)(φ_s“ 0˝) et (0˝ _{ă θ} să 89˝). . . 83

3.42 Comparaison pour la polarisation HH du champ diffracté dans le plan (xoz)(φ_s“ 0˝) et (0˝ ă θsă 89˝). . . 83

3.43 Configuration d’intérêt. . . 84

3.44 Comparaison de la polarisation HH (module et phase)du champ diffracté dans le plan (xoz)(φs“ 0˝). . . 85

3.45 Comparaison de la polarisation VV (module et phase)du champ diffracté dans le plan (xoz)(φs“ 0˝). . . 85

3.46 Scène réaliste étudiée. . . 86

3.47 Amplitude du champ diffracté sans et avec la cible (polarisation HH).. . . 87

3.48 Amplitude du champ diffracté sans et avec la cible (polarisation VV).. . . 87

3.49 Amplitude du champ diffracté sans et avec la cible (polarisation HV).. . . 88

3.50 Amplitude du champ diffracté sans et avec la cible (polarisation VH).. . . 88

3.51 Amplitude du champ diffracté avec et sans l’effet du couplage (polarisation HH). . . . 89

3.52 Amplitude du champ diffracté sans et avec la cible (polarisation HH).. . . 89

3.53 Amplitude du champ diffracté sans et avec la cible (polarisation VV).. . . 90

3.54 La SER de la polarisation HH. . . 90

3.55 Temps d’exécution en fonction du nombre d’arbres. . . 91

4.1 mobile . . . 94

4.2 Premier cas étudié – cible métallique en forme de L placée sur un disque en métal et éclairé sous une incidence θi variant de 0˝ à 90˝.. . . 95

4.3 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un L métallique à f “ 8GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar VV). . . 96

4.4 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un L métallique à f “ 11GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar VV). . . 96

4.5 Variation de la polarisation VV du champ diffracté par le ’L’ métallique. . . 97

4.6 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un L métallique à f “ 8GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar HH). . . 98

4.7 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un L métallique à f “ 11GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar HH). . . 98

4.8 Variation de la polarisation HH du champ diffracté par le ’L’ métallique. . . 99

4.9 Le cas étudié ici est un cylindre diélectrique placé sur un disque en métal. . . 99

4.10 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un cylindre diélectrique à f “ 8.5GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar VV). . . 100

4.11 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un cylindre diélectrique à f “ 10.5GHz représentée dans le plan (XOZ)(polar VV). . . 100

4.13 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un cylindre diélectrique à f “ 8.5GHz représentée dans le plan (XOZ)(polar HH).. . . 101 4.14 Variation du Champ diffracté (module et phase) par un cylindre diélectrique à f “

10.5GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar HH).. . . 102 4.15 Variation de la polarisation HH du champ diffracté par un cylindre diélectrique. . . 102 4.16 la variation de la partie réelle Eps1_{r et de la partie imaginaire Eps}2_{r du liquide à}

permittivité élevée dans la plage de fréquences 8GHz – 12GHz. . . 103 4.17 Positions du cylindre diélectrique (carré bleu) par rapport au L métallique (rectangle

gris) pour les 3 cas de figure : devant, derrière et à coté. . . 104 4.18 cible métallique en forme de L et barreau diélectrique fort indice (se trouvant à coté de

la cible) placés sur un disque en métal et éclairés sous une incidence θ_i variant de 0˝ _à 90˝_{. . . . . 105} 4.19 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le L métallique est placé à coté

du cylindre diélectrique à f “ 11GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar VV). . . . 105 4.20 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le L métallique est placé à coté

du cylindre diélectrique à f “ 11GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar HH). . . . 106 4.21 cible métallique en forme de L et barreau diélectrique fort indice (se trouvant devant la

cible) placés sur un disque en métal et éclairé sous une incidence θi variant de 0˝ à 90˝. 106 4.22 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le cylindre diélectrique est placé

devant le L métallique à f “ 10GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar VV). . . 107 4.23 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le cylindre diélectrique est placé

devant le L métallique à f “ 10GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar HH). . . 107 4.24 cible métallique en forme de L et barreau diélectrique fort indice (se trouvant derrière

la cible) placés sur un disque en métal et éclairé sous une incidence θ_i variant de 0˝ _{à 90}˝_.108 4.25 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le cylindre diélectrique est placé

derrière le L métallique à f “ 8GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar VV). . . 109 4.26 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le cylindre diélectrique est placé

derrière le L métallique à f “ 10GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar HH). . . . 109 4.27 Cible métallique de forme complexe (maquette d’un tank).(a) structure du tank (b) tank

à l’intérieur du block en polystyrène. . . 110 4.28 Les positions de mesure du tank. . . 111 4.29 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

1 à f “ 11.5GHz (polar VV). . . 112 4.30 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

1 à f “ 11.5GHz (polar HH). . . 112 4.31 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

2 à f “ 10GHz (polar VV). . . 113 4.32 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

2 à f “ 10GHz (polar HH). . . 113 4.33 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

3 à f “ 8.5GHz représenté dans le plan (XOZ)(polar VV).. . . 114 4.34 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

3 à f “ 8.5GHz (polar HH).. . . 114 4.35 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

2 à f “ 8.5GHz (polar VV).. . . 115 4.36 Variation du Champ diffracté (module et phase) quand le tank est placé dans la position

2 à f “ 8.5GHz (polar HH).. . . 115 4.37 Maquette d’une cible métallique complexe (tank) placée au milieu d’un ensemble de 5

4.38 Variation du Champ diffracté par les arbres et le tank à f “ 8GHz et f “ 11GHz

(polar VV). . . 117

4.39 Variation du Champ diffracté par les arbres et le tank à f “ 9GHz et f “ 10GHz (polar VV). . . 117

4.40 Variation du Champ diffracté par les arbres et le tank à f “ 8GHz et f “ 11GHz (polar HH). . . 118

4.41 Variation du Champ diffracté par les arbres et le tank à f “ 9GHz et f “ 10GHz (polar HH). . . 118

4.42 Variation du Champ diffracté par les arbres et le tank à f “ 8GHz et f “ 11GHz (polar VV). . . 119

B.1 Dipôle orienté suivant OX. . . 132

B.2 Dipôle orienté suivant OY. . . 136

Durant ces dernières années, nous avons assisté dans le domaine radar à une course vers les hautes fréquences. Les chercheurs ont progressivement augmenté la fréquence utilisée dans les solutions radars proposées, de la bande X à la bande Ku en passant par la bande Ka. Cet intérêt pour les hautes fréquences s’explique par la très grande résolution qu’elles autorisent. Cependant, un nouveau type d’application a amené les concepteurs de radars, aéro ou spatio-porté, à s’intéresser de nouveau à des bandes de fréquences plus basses comme les bandes VHF, UHF et L. En effet, ces bandes de fréquences sont très intéressantes lors des applications de détection de cibles placées sous couvert forestier car les ondes associées pénètrent plus facilement la canopée. Ce type de détection permet de réaliser des radars de détection de cibles sous feuillage appelés en anglais FoPen (Foliage Penetrating) radars [5–7].

La réalisation de ce type de radars nécessite la mise en œuvre de programmes de mesures d’en-vergure qui souvent sont coûteux à la fois en temps et financièrement. Ainsi afin de mieux préparer ces campagnes, il semble opportun de développer des modèles électromagnétiques permettant de prédire le champ diffusé par de larges zones forestières en présence d’objets métalliques. Ce type de modèles permettrait ainsi de réduire considérablement le nombre de campagnes de mesures en anticipant les résultats attendus, réduisant ainsi par la même occasion leur coût. La liberté offerte par un modèle offre la possibilité de faire varier grandement les paramètres des scénarios étudiés, comme les angles d’incidence, la fréquence de travail et le type de radar (monostatique ou bistatique). Nous avons fait le choix de proposer un modèle full-wave car il existe déjà des modèles approchés de diffusion (modèle basé sur la théorie du transfert radiatif ou du simple rebond) par des parcelles de forêt qui ne per-mettent pas de prendre en compte de façon satisfaisante l’ensemble des interactions mises en jeux dans une zone dense avec cible et ne donnent pas accès à la phase du signal diffusé.

La développement d’un tel modèle implique deux problématiques principales, d’une part la scène

étudiée est composée de milieux fortement hétérogènes (diélectrique à pertes pour les arbres et métal-lique pour les cibles), et d’autre part, la taille de la zone éclairée. En effet, la tâche focale de l’antenne radar UHF est de grande dimensions (jusqu’à 50λ ˆ 50λ à f “ 300M Hz) et il peut être très difficile voir impossible de la simuler avec des méthodes dites « exactes » conventionnelles.

Dans le cadre des modèles full-wave en régime fréquentiel, plusieurs approches sont envisageables afin de simuler le champ diffracté par un environnement mixte (diélectrique et métallique). Une pre-mière approche serait d’utiliser une formulation surfacique à la fois pour le métal et pour le diélectrique. L’inconvénient de cette méthode est qu’elle n’est applicable que pour des diélectriques homogènes, ce qui n’est pas forcément le cas pour un milieu naturel. Une seconde approche est l’utilisation d’une formulation volumique pour le diélectrique et une formulation surfacique pour le métal et de combiner les deux afin de mieux décrire la scène simulée. Du fait qu’elle soit plus générale, nous avons fait le choix de la deuxième approche. Ce choix se justifie également par les travaux antérieurs menés au L2E qui permettent d’appuyer notre approche sur un modèle existant qui a déjà été développé et validé par des mesures et logiciels commerciaux [8] et [9].

Différentes approches sont déjà proposées dans la littérature, elles permettent de caractériser la diffraction par des milieux hétérogènes grâce à une formulation mixte (volumique-surfacique) [10],[11] et [12]. La formulation mixte présente l’intérêt de pouvoir traiter de nombreux cas concrets d’appli-cations comme par exemple l’étude d’antennes, ou de circuits micro-ondes imprimés. Cependant, les solutions proposées ne répondent pas à la deuxième problématique inhérente à notre étude, l’analyse de structure de très grandes dimensions par rapport à la longueur d’onde.

Durant cette thèse, l’objectif est de réaliser un modèle électromagnétique de type full-wave nommé DEMOS (Domain decomposition Model for Scattering in forest environments) qui permette de répondre à nos deux problématiques, mise en œuvre d’une formulation mixte tout en considérant des structures de grandes dimensions. Pour cela, nous nous basons sur des travaux antérieurs effectués au sein du laboratoire L2E de l’UPMC. Un modèle Full-wave pour la simulation de larges zones fores-tières en bandes VHF et UHF a déjà été réalisé au sein du laboratoire [13]. Ce modèle se base sur la formulation volumique de l’EFIE (Volumic Electric Field Integral Equation) [9] couplée à la CBFM (Characteristics Basis Functions Method) [8]. Les cibles métalliques seront simulées en utilisant un code de méthode des moments (MoM) conventionnelle que nous avons développé. Nous combinons ensuite les deux formulations pour proposer un modèle répondant à nos besoins, il s’agit de la formulation hybride pour l’étude de cibles placées dans un environnement naturel.

Ces travaux se font dans le cadre d’un projet ANR ASTRID intitulé MOBILE (MOdèle BIsta-tique dédié à l’analyse de milieux forestiers et à la détection de cibLEs sous couvert) en partenariat avec le Professeur Raj Mittra.

Introduction

1.1

Contexte et état de l’art

La détection et l’identification d’une cible métallique placée dans un environnement complexe ont toujours été des problèmes d’envergure dans le domaine des radar et de la télédétection. Afin de détecter les cibles dissimulées dans la forêt, deux grand défis sont à relever : 1) Comment acquérir à distance les informations relatives aux caractéristiques principales de la cible. 2) Comment distinguer une cible métallique du fouillis composé, dans notre cas d’intérêt, par les arbres de la forêt.

La capacité des ondes électromagnétiques à pénétrer facilement la canopée à basse fréquence a fait des radars SAR (Synthetic Aperture Radar) opérant dans les bande de fréquence VHF (Verry High Frequency) [5,14] l’outil idéal pour la détection de cibles enfouies sous la canopée. Le premier défi peut donc à priori être traité. En ce qui concerne le second défi une étude phénoménologique est nécessaire afin d’examiner avec précision l’interaction électromagnétique de la forêt avec une cible métallique de forme arbitraire et vice versa. En effet, la diffraction des constituants des arbres peut déformer le front d’onde du signal ce qui réduirait par conséquent la résolution SAR modifiant ainsi la signature radar de la cible [6].

La réalisation des radars de type FOPEN (Foliage Penetrating) et la récolte de nouvelles si-gnatures radar nécessite la mise en œuvre de programmes de mesures d’envergure qui sont souvent coûteux à la fois en temps et financièrement. Ainsi, afin de mieux préparer ces campagnes, il semble opportun de développer des modèles électromagnétiques permettant de prédire le champ diffusé par de larges zones forestières en présence d’objets métalliques. Ce type de modèles permettrait ainsi de

réduire considérablement le nombre de ces campagnes de mesures en anticipant les résultats attendus, réduisant ainsi par la même occasion leur coût. En effet, un modèle offre la possibilité de faire varier grandement les paramètres des scénarios étudiés, comme les angles d’incidence, la fréquence de travail et le type de radar (monostatique ou bistatique). De plus, les radars de type Fopen fonctionnent le plus souvent à basses fréquences pour que l’onde puisse pénétrer la canopée et nécessitent une grande bande passante relative pour avoir une bonne résolution. Une compréhension détaillée de la diffusion à ces fréquences à la fois de la cible et de la forêt est essentielle pour évaluer les performances du radar FOPEN et répondre à des questions fondamentales sur la diffusion des cibles. Cette analyse est vitale pour la réalisation de ces radars et le développement des concepts de détection. Cela dans le but d’améliorer et d’évaluer la performance de ces systèmes au début de la phase de conception.

La modélisation numérique de tels problèmes est basée sur la résolution d’équations intégrales [15–18] et différentielles [19–21]. Pour la résolution d’équations intégrales dans le domaine fréquentiel, on peut mettre en œuvre soit une méthode des moments (MOM :Method Of Moment)[2,16,18,22–24] soit une méthode d’éléments finis (FEM :Finite Elements Method) [17, 24, 25]. Dans le contexte de la résolution des équations différentielles dans le domaine temporel, la méthode des différences Finies (FDTD : Finite Difference Time Domain) [20,21,26] est essentiellement utilisée et plus récemment, la méthode des multi-résolutions (MRTD : Mutiresolution Time Domain Method) [27, 28]. Chacune de ces techniques et méthodes numériques a ses points forts et faiblesses et sont le plus souvent applicables à des cibles de dimensions relativement petites (quelques longueurs d’onde). Il existe plusieurs appli-cations pour lesquelles la cible peut avoir des dimensions relative à la longueur d’onde importante. Par exemple dans notre cas d’intérêt, la diffraction de véhicules militaires ou civils en présence d’arbres (en bande VHF par exemple). Les méthodes et algorithmes mentionnés auparavant MoM, FEM, FDTD et MRTD peuvent gérer ces cas d’étude en principe, mais les exigences en terme d’espaces mémoires informatiques et de temps de calcul deviennent excessives.

Par conséquent, une nouvelle génération d’algorithmes rapides a été développée afin de couvrir les gammes de fréquences pour lesquelles les méthodes mentionnées ne sont pas adaptées et pour les-quelles les techniques asymptotiques hautes fréquences et les méthodes approchées (PO, GTD et UTD) ne sont plus applicables ou sont difficiles à implémenter. Par exemple, la méthode Multipolaire rapide (FMM : Fast Multipole Method) a été proposée par Rhoklin et ses collègues [29] afin d’accélérer le sol-veur itératif dans la méthode des moments appliquée aux problèmes de diffraction électromagnétique. Plus récemment, Chew et ses collègues ont implémenté la FMM [30] et l’ont étendu à un système à plusieurs niveaux et donne naissance à la MLFMA (Multi Level Fast Multiple Algorithm)[31].

Plus récemment, Raj mittra et ses collègues ont développé une approche permettant de rendre la résolution par une MOM plus efficace. Il s’agit de la méthode des fonctions de base caractéristiques

(CBFM :Charachteristic Basis Function Method)[32,33]. Cette méthode est conçue pour résoudre des problèmes électromagnétiques à grande échelle comme par exemple des circuits micro-ondes complexes ou des problèmes de rayonnement électromagnétique.

On trouve de nombreux modèles électromagnétiques dédié à l’étude de la diffusion par une zone naturelle de végétation. Ils sont le plus ouvent adaptés aux différents degrés de complexité de cette dernière [34–42]. Cependant, le problème de la modélisation précise et exacte de la diffusion de cibles dissimulées dans la forêt reste un problème non résolu [7, 43, 44]. Les difficultés associées au développement d’un tel modèle d’un point de vue électromagnétique sont triples : la première vient du calcul exacte du champ diffracté par la forêt. La seconde résulte de la caractérisation du champ diffracté par une cible illuminée par un champ diffus présent à l’intérieur d’une forêt et la troisième difficulté consiste en la prise en compte de l’interaction forêt-cible. L’élaboration d’un modèle full-wave exact et rigoureux peut répondre a toutes ces problématiques. A cette fin notre équipe a développé dans un premier temps un modèle dédié à l’étude de la diffusion d’une vaste zone forestière basé sur un modèle full-wave [9,13]. Il existe déjà des modèles approchés de diffusion par des parcelles de forêt (modèle basé sur la théorie du transfert radiatif ou modèle simplifié ne prenant pas en compte tous les couplages. Ces modèles ne permettent pas de prendre en compte de façon satisfaisante l’ensemble des interactions mises en jeux entre les arbres et potentiellement la cible. De plus, les méthodes basées sur le transfert radiatif ne donnent pas accès à la phase du signal diffusé. Un modèle de la diffusion d’une parcelle de forêt permettant de calculer le champ diffracté en un point d’observation (à l’intérieur ou à l’extérieur de la forêt) a été proposé par notre équipe [9, 13]. Ce modèle, basé sur la méthode des moments donne une solution partielle aux problématiques posées dans le cadre de cette thèse. Le but de mon travail est d’améliorer ce modèle en y introduisant des cibles métalliques.

Une scène typique de notre étude est représentée sur la figure1.1. La scène est composée d’une cible métallique placée dans un environnement naturel composé d’arbres. Le modèle électromagnétique à développer a pour objectif le calcule du champ diffracté par la forêt, en présence de la cible métallique en prenant en compte le couplage entre les deux.

La réalisation d’un tel modèle implique deux problématiques principales, d’une part la scène étudiée est composée de milieux fortement hétérogènes (diélectrique à pertes pour les arbres et métallique pour les cibles), et d’autre part, la taille de la zone éclairée. En effet, la tâche focale de l’antenne radar VHF est de grande dimension (jusqu’à 50ˆ50m2, ce qui correspond à 65ˆ65 longueurs d’onde à 400MHz) et il peut être très difficile voir impossible de la simuler avec des méthodes dites exactes conventionnelles.

Plusieurs techniques ont été proposées dans la littérature pour la simulation électromagnétique de ce type de scénarios. Dans [7] Sarabandi et son équipe ont proposé un modèle hybride cible-forêt.

Figure 1.1: Une scène typique à étudier.

Le modèle proposé par cette équipe est composé de deux modèles existants, l’un pour la forêt utilisant une diffusion simple rebond cohérente et l’autre pour la cible utilisant la FDTD. Dans une première étude, le couplage forêt-cible est calculé en utilisant des surfaces de Huygens. Par la suite, la même équipe a proposé une approche utilisant une technique itérative de l’optique physique pour calculer ce couplage [45]. Dans [43], la MLFMA a été utilisée pour évaluer les caractéristiques de diffusion des cibles métalliques et diélectriques placées au dessus d’un sol diélectrique.

Le travail proposé dans cette thèse prend la suite des travaux de recherche précédents traitant de la diffusion de zones forestières. Afin de simuler le champ diffracté par un environnement mixte (diélectrique et métallique) tout en se basant sur la MoM, plusieurs approches sont envisageables. Une première approche serait d’utiliser une formulation surfacique de l’équation intégrale du champ électrique à la fois pour l’objet métallique et pour l’objet diélectrique [46]. L’inconvénient de cette méthode est qu’elle n’est applicable que pour des diélectriques homogènes, ce qui n’est pas forcément le cas pour un milieu naturel. Une seconde approche peut se baser sur une formulation volumique pour l’objet diélectrique et une formulation surfacique pour l’objet métallique et de combiner les deux afin de mieux décrire la scène simulée [47,48]. De part son aspect général, nous avons fait le choix de la deuxième approche. Ce choix se justifie également par les travaux de recherche antérieurs menés au L2E qui permettent d’appuyer notre approche sur le modèle existant.

Durant cette thèse, l’objectif est de réaliser un modèle électromagnétique de type full-wave qui va nous permettre de répondre à différentes problématiques : mise en œuvre d’une formulation mixte

tout en considérant des structures de grandes dimensions en prenant comme point de départ le modèle Full-wave pour la simulation de larges zones forestières en bandes VHF et UHF déjà réalisé dans le cadre de travaux antérieurs [9,13]. Le modèle existant se base sur la formulation volumique de l’EFIE (Volumic Electric Field Integral Equation) couplée à la CBFM (Characteristics Basis Functions Me-thod). Les cibles métalliques seront simulées en utilisant un code de méthode des moments (MoM) conventionnel que nous avons développé. Nous combinons ensuite les deux formulations (volumique et surfacique) afin de répondre à nos besoins. Finalement nous disposons d’une formulation hybride (Vo-lume/Surface) pour l’étude de cibles placées dans un environnement naturel. En plus de la détection de cibles, ce modèle permettra comme dans le cadre d’un projet futur (intitulé Biomass) d’estimer la quantité de bois présente dans une parcelle de forêt en estimant la hauteur d’un couvert forestier et sa densité.

Ces travaux se font dans le cadre d’un projet ANR ASTRID intitulé MOBILE (MOdèle BIsta-tique dédié à l’analyse de milieux forestiers et à la détection de cibLEs sous couvert) en partenariat avec le Professeur Raj Mittra. Ce projet nous a permis de bénéficier d’une validation expérimentale du modèle s’est déroulée au CCRM (Centre Commun de Ressources en Microondes de Marseille) et à laquelle ont participé J-M.GEfferin (Ingénieur de recherche CNRS) et H.Saleh (doctorant à l’institut Fresnel).

Dans ce qui suit, nous rappelons brièvement quelque notions d’électromagnétisme, afin de mieux comprendre et d’introduire les équations et les notions qui seront utilisées dans les prochains chapitres de ce présent rapport. Les vecteurs seront dénotés par des caractères gras et les tenseurs par des caractères gras soulignés par une double barre. La convention temporelle utilisée est e`jωt_.

1.2

Rayonnement et diffusion électromagnétique

L’onde électromagnétique n’a pas les mêmes propriétés de propagation dans tout l’espace entourant une source. Pour modéliser la propagation d’une onde dans un environnement global, il convient donc de découper l’espace en zone, celle du champ proche et celle du champ lointain.

1.2.1 Champ proche et lointain

En s’éloignant de la source de rayonnement, on distingue trois régions différentes de propagation (voir figure 1.2), à savoir la région du champ proche réactif (Zone de Rayleigh), la région du champ proche rayonné (zone de Fresnel) et la région du champ lointain (zone de Fraunhofer). Ces régions sont ainsi désignées pour la classification de la structure des champs dans chacune d’elles. Bien qu’il

n’existe aucun changement notable de configuration des champs à la limite de séparation entre ces régions (pas de discontinuités), les puissances rayonnées sont différentes. Comme la délimitation de ces régions n’est pas unique, différents critères ont été établis et sont très souvent utilisés pour identifier ces trois régions.

Figure 1.2: Zones de rayonnement d’un point source.

Zone du champ proche réactif (zone de Rayleigh) C’est une région qui entoure immédiatement la source de rayonnement où prédomine le champ réactif. Les champs électriques et magnétiques ne sont pas nécessairement en phase l’un par rapport à l’autre et la répartition du champ angulaire dépend fortement de la distance et de la direction de la source. Dans cette zone, seules les méthodes numériques (ou beaucoup de calcul) peuvent déterminer la structure du champ. Cette région est un volume qui prépare le champ qui rayonnera.

Zone du champ proche rayonné (zone de Fresnel) C’est une région entourant la région de champ proche réactif décrite sur la figure1.2. Ici, les champs de rayonnement prédominent. Les champs électrique et magnétique sont en phase mais la répartition du champ angulaire dépend toujours de la distance de l’antenne. Cela signifie que presque tout le champ de cette région rayonne mais que nous sommes encore proche de la source rayonnante.

Zone du champ lointain (zone de Fraunhoffer) C’est une région entourant les régions du champ proche décrites ci-dessus. Elle s’étend jusqu’à l’infini et représente la grande majorité de l’espace que

l’onde parcourt habituellement. Dans cette zone, tout le champ rayonne. La distribution du champ angulaire est indépendante de la distance de l’antenne et peut être approchée avec des fronts d’onde sphériques. Comme nous sommes très éloignés de la source, sa taille et sa forme ne sont plus importantes et nous pouvons l’approximer comme une source ponctuelle. Les champs électrique et magnétique sont en phase, perpendiculaires l’un à l’autre et perpendiculaires également à la direction de propagation.

1.2.2 Coefficient de diffusion et Surface Équivalente Radar

La surface équivalente radar (SER ou RCS pour Radar Cross Section) est une grandeur s’ex-primant en m2 et qui permet de caractériser la capacité d’une cible à refléter l’énergie radar. Elle dépend de la forme des cibles, la nature de ses matériaux constitutifs, aussi bien que de la direction, la fréquence et de la polarisation de l’onde incidente. Elle est définie par le rapport de la puissance totale diffusée dans une direction donnée et sur densité de puissance incidente. Elle s’exprime dans la zone de champ lointain pr ÝÑ 8q de la façon suivante[9] :

SERςζpθi, θs, φi, φsq “ lim rÑ84πr 2|E s ς|2 |Ei_ξ|2 (1.1)

pθi, φiq sont les angles d’incidence décrivant la direction de l’onde incidente.

pθs, φsq sont les angles de diffusion décrivant la direction de propagation de l’onde diffractée, r est la distance au point d’observation, Es_ς est le champ diffracté ou diffusé en polarisation ς “ v, h, Ei_ζ est le champ incident en polarisation ξ “ v, h.

On considère un champ incident d’amplitude normalisée à 1V {m et on calcule le champ dans la zone de champ lointain. Ainsi, l’équation (1.1) devient comme suit :

SERςζpθi, θs, φi, φsq “ 4πr2|Esςξ|2 (1.2)

où E_ςξ est le champ diffracté en polarisation ς pour un champ incident de polarisation ξ.

La SER est obtenue en mode monostatique lorsque θs“ θi et φs“ φi aussi bien qu’en mode bistatique lorsque θs ‰ θi et φs‰ φi. Elle est exprimée en dBm2 si nous considérons la formulation suivante :

SERςζpθi, θs, φi, φsq “ 10 log`4πr2|Esςξ|2 ˘

(1.3)

Les ondes électromagnétiques utilisées pour la calcul de la SER sont régies par les équations de Maxwell. Ces équations ainsi que les méthodes permettant de les résoudre sont présentées dans ce qui suit.

1.3

Ondes électromagnétique et diffusion électromagnétique

La théorie des ondes et des champs électromagnétiques est une discipline qui englobe l’étude des charges, en repos ou en mouvement, qui produisent des courants et des champs électrique et magnétique. Cette théorie est fondamentale pour la compréhension, conception et le fonctionnement de nombreux systèmes pratiques utilisant les antennes, la diffraction, les circuits et les dispositifs micro-ondes, les radars, la communication radio-fréquence et optique, la diffusion, la conversion d’énergie électromécanique.

Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell décrivent tous les phénomènes électromagnétiques en modélisant toutes les interactions entre les charges électriques et magnétiques, les courants électriques et magné-tiques et les champs électromagnémagné-tiques. La résolution de ces équations pour un système électroma-gnétique donné dans un environnement donné permet d’établir la propagation des ondes en tout point de l’espace. Elles sont au nombre de quatre regroupées dans le tableau suivant, auxquelles s’ajoute l’équation de continuité qui spécifie la conservation de la charge [49] : Où E pV{mq et H pA{mq

repré-lois physiques Forme Intégrale Forme différentielle

Loi de Gauss pour l’induction électrique ű s

D.ds “ş_vρedv ∇ ¨ D “ ρe

Loi de Gauss pour l’induction magnétique ű s B.ds “ ρm ∇ ¨ B “ ρm Loi de Maxwell-Faraday ű E ¨ dl “ ´ ş s `M ` BB Bt ˘ ¨ ds ∇ ˆ E “ ´M ´BB_Bt Loi de Maxwell-Ampère ű H ¨ dl “ ´ ş s `Jc`BD_Bt ˘ ¨ ds ∇ ˆ H “ Jc`BD_Bt l’équation de continuité ű s J.ds “ ´B Bt ş v ρedv ∇J “ ´_BtBρe

Table 1.1: Formes intégrales et différentielles des équations de Maxwell

sentent les vecteurs champs électrique et magnétique respectivement. ρe`CLm3

˘

, J`A{m2˘ désignent respectivement les densités de charge et de courant électrique dans le milieu et ρm`Webers{m3

˘

, M`V{m2˘ désignent respectivement les densités de charge et de courant électrique dans le milieu.

D`C{m2˘

et B pTeslaq sont les vecteurs inductions électrique et magnétique respectivement. Ces vec-teurs sont liés aux vecvec-teurs champs électrique et magnétique via des relations et des constantes relatives au milieu considéré (vide, matériaux diélectrique ou métallique...). Pour un milieu homogène, linéaire et isotrope les relations constitutives entre ces entités précédente sont [50].

D “ εE “ ε0εrE (1.4)

B “ µH “ µ0µrH (1.5)

J “ σE (1.6)

Où ε0 et µ0 sont la permittivité et la perméabilité du vide, respectivement.

εr et µr et σ sont la la permittivité relative, la perméabilité relative et la conductivité des milieux considérés respectivement. Dans le cas des milieux dit non magnétique µr “ 1.

Équation d’onde

Les équations de Maxwell couplent les champs électrique et magnétique. En cherchant à découpler ces champs et avoir l’un indépendamment de l’autre, on trouve ce qu’on appelle l’équation d’onde électrique (1.7) et l’équation d’onde magnétique (1.8). Ces équations sont obtenues en partant des équations de Maxwell et des relations constitutives. On trouve alors [49]

∇2E ´ εµB 2 Bt2E “ ∇ ˆ M ` µ B BtJ ` 1 ε∇ρe (1.7) ∇2H ´ µεB 2 Bt2H “ ´∇ ˆ J ` ε B BtM ` 1 µ∇ρm (1.8)

Dans le domaine de l’électromagnétisme, des solutions à de nombreux problèmes sont obtenues en utilisant l’équation d’onde aux dérivés partielles du second ordre découlant des équations de Maxwell et des conditions aux limites appropriées. Cette equation s’écrit en régime harmonique sous cette forme ∇2_{A ` k}2_{A “ f avec ∇}2 _{est le Laplacien, k est le nombre d’onde, A l’inconnue et f la source ou la} force (constante). Ce type d’équation se nomme équation de Helmholtz.

La fonction de Green est la solution de l’équation différentielle lorsque la source f est unitaire (impul-sion, delta de Dirac )[49].Dans le cas de l’équation d’Helmholtz, on aura [49]

`∇2

` k02˘ G “ Iδpr ´ r1q (1.9)

avec G est la fonction dyadique de Green et I la matrice identité.

r et r1 _{les positions des vecteurs positions des points d’observation et source respectivement δpr ´ r}1_q est la fonction delta de Dirac. En espace libre cette fonction a les mêmes caractéristiques dans tout

l’espace et suivant toutes les directions px, y, zq. La fonction de Green est définie comme la solution de l’équation2.13qui correspond physiquement au rayonnement d’une source ponctuelle d’orientation quelconque. La fonction de Green scalaire dans le cas de l’espace libre est la solution de Helmholtz scalaire et elle est définie comme étant [49,51] :

gpr, r1q “ e

´jk||r´r1||

4π||r ´ r1_|| (1.10)

Dans le cas des structures complexes et de milieux complexes, la résolution des équations de Maxwell se fait généralement numériquement en utilisant des méthodes de résolution numériques.

1.4

Méthodes numériques de Résolution

Pour des structures très simples, les équations de Maxwell peuvent être résolues analytiquement. Cependant, dès que les structures commencent à devenir légèrement plus complexes, des méthodes numériques doivent être utilisées. Les trois méthodes les plus couramment utilisées que nous allons exposer sont la méthode des moments (MoM), la méthode des éléments finis (FEM) et la méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD).

Pourquoi modéliser ?

Caractériser la propagation et les dispositifs électromagnétiques est devenue indispensable de nos jours pour assurer et comprendre le fonctionnement des systèmes complexes. La liberté garantie par la modélisation nous permet de remplacer plusieurs expériences qui sont très couteuses financièrement et qui demandent beaucoup de temps pour leur mise en œuvre. De plus, la prédiction des champs rayonnés par les modèles (par exemple les radars) peut réduire les risques d’exposition à des niveau de champs dangereux. L’évolution des outils de simulations et des ressources informatiques disponibles permet la modélisation de systèmes complexes et la caractérisation de la propagation électromagnétique dans un milieu fortement hétérogène.

Choix de la méthode d’analyse électromagnétique

Afin de décrire le comportement d’un système électromagnétique deux types d’analyses ou d’ap-proches sont possibles à savoir l’analyse temporelle et l’analyse fréquentielle. Bien que les deux soient

équivalentes elles présentent des dispositions différentes lors de la mise en œuvre du modèle. Chaque ap-proche a ses avantages et inconvénients. Le choix de la méthode à utiliser va alors dépendre du problème étudié. L’analyse fréquentielle facilite la discrétisation des équations et nécessite une durée d’analyse relativement faible. Cependant, elle présente deux inconvénients majeurs qui sont l’impossibilité de modéliser les non-linéarités et la nécessité de connaître au préalable les fréquences caractéristiques du système. Tandis que l’analyse temporelle peut traiter les modèles non-linéaire et permet d’obtenir des caractéristiques large bande en un seul calcul.

D’un autre coté il existe plusieurs méthodes de simulation d’un système électromagnétique qui peuvent être rigoureuses ou approchées. Les méthodes rigoureuse réalisent une résolution dite "exacte" du problème et peuvent traiter des structures et des systèmes relativement quelconques. L’inconvénient majeur de ces méthodes est le nombre d’inconnues qui peut devenir très important pour des systèmes qui sont de très grandes dimensions par rapport à la longueur d’onde. Le problème devient alors encombrant en terme d’espace mémoire et de temps de calcul.

Les méthodes rigoureuses sont regroupées en deux grandes catégories qui sont les méthodes intégrales et différentielles. Les méthodes intégrales sont utilisées pour résoudre des problèmes aux limites, à l’intérieur ou à l’extérieur d’un domaine, avec des opérateurs linéaires à coefficients constants. Le plus grand avantage des ces méthodes réside dans le fait que les calculs sont limités à la structure, contrairement à d’autres méthodes où il est nécessaire de mailler un volume plus grand que celui occupé par la structure. La plus célèbre des méthodes utilisable dans ce contexte est la Méthode des Moments [16,18,22].

La méthode différentielle repose sur une représentation du problème sous forme d’équations aux dérivées partielles. Deux méthodes largement employées dans ce type de méthodes numériques sont la méthode des éléments finis [17, 24,25] et la méthode des différences finies [21, 26] qui permettent de résoudre le problème dans le domaine fréquentiel ou temporel respectivement.

1.4.1 La méthode des éléments finis (FEM)

La méthode des éléments finis (FEM) est une méthode numérique permettant d’obtenir des solutions approchées d’une formulation faible des équations aux dérivées partielles associées à des conditions limites. Cette méthode repose sur la discrétisation de domaine grâce à des éléments élémen-taires (éléments finis).

La méthode des éléments finis s’effectue en suivant les étapes suivantes :

— Dérivation des équations régissant le problème pour chaque élément. — Assemblage de tout les éléments afin de former une équation matricielle — Résolution du système matricielle afin d’obtenir la solution en chaque élément.

Cette méthode présente l’avantage de pouvoir traiter des géométries complexes et inhomogènes. En effet, chaque élément est traité séparément et peut avoir ses propre propriétés. De plus, cette méthode génère des matrices d’interaction creuses (chaque élément interagit seulement avec ses voisins). Cependant, la méthode des éléments finis nécessite le maillage de tout le domaine d’analyse (objets et milieux). De plus, des conditions aux limites doivent être imposées afin de traiter les problèmes non bornés. Ceci rend le traitement des milieux ouverts plus complexe.

1.4.2 La méthode des moments(MOM)

La méthode des moments est une méthode fréquentielle basée sur la résolution des équations intégrales. Elle permet de déterminer directement, et de manière précise, la distribution du courant dans les structures étudiées et de remonter ensuite aux champs rayonnés en tout point de l’espace. Son objectif est de transformer une équation intégrale en un système d’équations linéaires. La résolution de ce système est obtenue numériquement par inversion matricielle. L’avantage principal de cette méthode vient du fait que seule la structure rayonnante doit être maillée contrairement aux autres méthodes où l’espace environnant doit être aussi maillé. Son principe est le suivant :

Suivant le type de problèmes électromagnétique à traiter dans le contexte de la méthode des moments on distingue deux types de formulations

— Formulation intégrale surfacique basée sur le principe d’équivalence surfacique dans laquelle les champs sont calculés dans une surface imaginaire. Cette formulation est adaptée aux courants électrique et magnétique qui satisfont les conditions aux limites. Elle est aussi adaptée pour le traitement des objets métalliques parfaitement conducteur (PEC) et des milieux homogènes. — Formulation intégrale Volumique basée sur le principe d’équivalence volumique qui consiste

à remplacer les inhomogénéités d’un objet par des courants électriques et magnétiques équiva-lents qui rayonnent. Cette formulation est adaptée aux milieux ou structures inhomogènes. La MOM est puissante dans la résolution de problèmes impliquant des domaines ouverts (non-bornés) et des objets métalliques et diélectriques (homogènes et inhomogènes). De plus, elle a été appliquée avec succès à des problèmes fermés comme les guides d’ondes et les cavités avec une contrainte qui est de bien calculer la fonction de Green.

1.4.3 La méthode des différences finies dans le domaine temporel (FDTD)

La FDTD est une méthode temporelle rigoureuse qui s’appuie sur les équations différentielles qui sont remplacées par des équations aux différences finies spatiales et temporelles. Du fait qu’elle se base sur la résolutions directe des équations de Maxwell, la FDTD peut traiter facilement des structures très complexes et inhomogénes et ne présente pas de système matricielle à résoudre.

La FDTD est une méthode simple à comprendre et à implémenter dans les coordonnées cartésiennes, facile à paralléliser et c’est la méthode la plus performante dans le domaine temporel pour la résolutions des problèmes électromagnétiques. De plus, c’est une méthode qui modélise facilement les structures complexes. Cependant le maillage entier du domaine est nécessaire. De plus, du fait que la structure du maillage en maillage carrées, une erreur en escalier pour les structures courbées est introduite.

Comparaison des trois méthodes

Méthodes FDTD MOM FEM

Équation Équations

différen-tielles

Équations Intégrales Équations différen-tielles

Principe Résolution directe des équations de Maxwell

Besoin d’une fonction de Green dépendante de la fréquence Principe variationnelle (minimisation d’éner-gie) Temporelle ou fré-quentielle

Résolution dans le do-maine temporel ; Ob-tention de réponses sur une large bande de fré-quences via une trans-formée de Fourier

Résolution dans le do-maine fréquentiel- ré-solution du système matriciel se fait pour une seule fréquence

Résolution dans le do-maine fréquentiel- ré-solution du système matriciel se fait pour une seule fréquence. Maillage Domaine entier

discré-tisé

Généralement, que les structures sont discré-tisées

Domaine entier discré-tisé

Équation matri-cielle

Pas d’équation matri-cielle

matrice pleine matrices creuses Problèmes appro-prié La méthode la plus performante dans le domaine temporelle. Applicable à une variété de problèmes électromagnétiques

Plus efficace pour résoudre les problèmes de domaine non-borné impliquant les objets métalliques et diélec-triques (les conditions aux limites sont par-tiellement incluses dans la fonction de Green)

Plus efficace pour les problèmes de domaine borné impliquant des géométries complexes et des objets inhomo-gènes

Table 1.2: Comparaisons entre les trois méthode numériques FDTD, MOM, FEM.

Le tableau1.2présente une comparaison des trois méthodes citées précédemment. Les scènes typiques de notre étude (zone forestière plus cible métallique) sont des problèmes ouverts faisant intervenir de larges environnements. Mailler un tel domaine serait alors très couteux en terme de mémoire. De ce fait, et à la lumière des éléments du tableau de comparaison des différentes méthodes, la méthode des moments semble la plus adaptée à notre étude.

1.5

Modèle dédié à la diffraction de la forêt

1.5.1 Représentation d’une parcelle de forêt

Dans les bandes de fréquences VHF-UHF, les arbres sont modélisés par des parallélépipèdes diélectriques verticaux et inclinés de section circulaires ou carrées, représentant respectivement les

troncs et les branches primaires1.4. Les arbres sont placés sur un plan horizontal séparant deux milieux homogènes semi-infini, qui sont l’air et le sol de la forêt (il est considéré comme étant homogène). Dans la bande de fréquence considérée, les effets des feuilles, des branches secondaires et la rugosité du sol sont suffisamment faibles pour être négligés. L’orientation de chaque branche est décrite par deux angles : β (angle d’élévation) et α (Angle d’azimut).

Figure 1.4: Représentation d’un arbre.

1.5.2 Modèle full wave basé sur la représentation intégrale

Afin de caractériser rigoureusement les interactions de la forêt avec une onde plane de polarisation arbitraire, un modèle 3-D Full wave a été développé. Ce modèle est basé sur la formulation volumique de l’équation intégrale du champ électrique et ce en utilisant la fonction de Green dyadique d’un milieu stratifié à deux couches [9],[52].

La formulation considérée dans [9] est basée sur la représentation intégrale du champ électrique dont le noyau est la fonction de Green d’un milieu stratifié à deux couches. Le champ total ( Et ) en tout point r est composé du champ de référence Eref et du champ diffracté par les diffuseurs Es,

Etprq “ Erefprq ` Esprq (1.11)

Dans notre cas, Eref est la somme des champs incident, Ei, et réfléchi par le sol, Er.

Le champ diffracté Es _{est dû aux arbres composés de troncs et de branches occupants un domaine Ω} et est lié au champ à l’intérieur des objets diffractant Et par la relation suivante

Esprq ““∇∇. ` k20 ‰

ż

Ω

χpr1qGpr, r1qEtpr1qdr1 (1.13)

Ω est le domaine ou le volume occupé par les objets diffractants. χpr1_{q “} εpr1q´ε0

ε0 est le contraste diélectrique entre les arbres et l’air. r est le point d’observation et r1 _{indique la position de la source, k}

0 est le nombre d’onde en espace libre, G la fonction de Green dyadique de deux milieux stratifiés diélectriques semi-infinis.

Afin de calculer le champ total E_t, on doit d’abord déterminer le champ Et dans le domaine Ω en résolvant l’équation (1.13) quand r P Ω. Afin de résoudre cette équation, on utilise une méthode des moments. Une fois E_t déterminé, Es est calculé en tout point r au dessus du sol par la relation (1.13).

1.5.3 Application de la Méthode des moments

L’équation intégrale donné en (1.11) est résolue en utilisant une méthode des moments. Les arbres du domaine Ω sont discrétisés en cellules cubiques élémentaires de taille inférieure à λs

10 (où λs est la longueur d’onde à l’intérieur des diffuseurs), de telle façon que le champ total à l’intérieur de chaque cellule puisse être supposé constant. L’équation (1.11) est projetée sur des fonctions de base rectangulaires et testée par des deltas de Diracs (la méthode du Point-matching). L’équation (1.11) est réduite en un système de 3N équations linéaires donné par :

3 ÿ q“1 N ÿ n“1 ´ δmnδpq´ I mn pq ¯ Et_qprnq “Erefq prmq (1.14) Avec m, n “ r1....N s ;p, q “ r1...3s δmn“ 1 si m “ n sinon δmn“ 0 δpq “ 1 si p “ q sinon δpq “ 0 Imn_pq ““∇∇. ` k₀2‰ χprnq ş V celllule Gpqprm, rn1qdrn1

On note que p et q sont les trois composantes x, y et z des champs, N est le nombre total de cellules nécessaires pour discrétiser le domaine Ω occupé par les arbres. m et n sont respectivement les indices des cellules des points d’observation et source.

champ à l’intérieur des cellules diélectriques Et

qprnq peut être trouvé en résolvant (1.14). Le champ diffracté est obtenu en utilisant (1.13) (où rm est la position du point d’observation).

Es_pprmq ““∇∇. ` k02 ‰ ˆ 3 ÿ q“1 N ÿ n“1 χprnqEtqprnq ż V cell Gpqprm, rn1qdrn1 (1.15)

Le modèle à été validé numériquement en faisant des comparaisons avec les résultats obtenus à partir d’un logiciel commercial (FEKO) et expérimentalement avec des mesures effectuées dans une chambre anechoïque sur des maquettes [53,54].

Le problème de cette approche rigoureuse c’est qu’elle devient intenable lorsque le problème élec-tromagnétique traité devient très grand et donc très couteux en temps de calcul et en mémoire. La solution proposée dans les travaux de recherche de Ines Fenni [8] est l’utilisation de fonctions de bases caractéristiques adaptées au problème traité dans le but de réduire la talle de la matrice d’interaction.

1.5.4 Accélération du modèle

Dans le contexte de la méthode des Moments (MoM), la CBFM (Characteristic Basis Function Method) met en œuvre des fonctions de base adaptées au problème d’intérêt en tenant compte de la géométrie des diffuseurs et des propriétés physiques de ces derniers. Elle permet, par conséquent une réduction importante de la taille du système matriciel associé au problème électromagnétique consi-déré. Cette méthode, basée sur la décomposition du domaine de calcul en blocs, permet donc de traiter des grandes parcelles de forêt (exemple donné en figure 1.5) puisqu’elle est moins sensible aux limites imposées par la MoM en terme de temps calcul et d’espace mémoire utilisés.

La CBFM-E (Extended Characteristic Basic Function Method), en réalisant un taux de com-pression important, permet de traiter des problèmes faisant intervenir un nombre d’inconnues supérieur à un million. La méthode proposée est performante en terme de temps de calcul et d’utilisation d’es-pace mémoire. Elle permet ainsi de résoudre des problèmes électromagnétiques associés à des parcelles forestières de grandes dimensions (10m ˆ 10m dans l’exemple donné).

Une fois correctement définie, la CBFM-E est si efficace que nous sommes en mesure de traiter en quelques minutes des problèmes électromagnétiques que l’on ne peut traiter avec le MoM classique. Par ailleurs, étant donné que la CBFM est une méthode de décomposition de domaine fortement parallélisable, la version OpenMP de la solution CBFM-E ainsi que la version MPI [55] ont été im-plémentées. Ceci permet de traiter une augmentation sensible de la taille des problèmes considérés, jusqu’à plusieurs millions d’inconnues, et donc de résoudre des problèmes comportant de grandes zones

Figure 1.5: Représentation d’une parcelle de forêt par des cylindres droits (troncs) et verticaux (branches primaires) aux fréquences VHF (proches de 400 MHz)

forestières.

Le modèle électromagnétique dédié à l’étude de la diffraction d’objets métalliques nécessite une discrétisation surfacique tandis que le modèle permettant de caractériser la diffraction d’une parcelle de forêt est basé sur une discrétisation volumique de la VEFIE . Pour coupler les deux méthodes il est donc nécessaire d’utiliser une formulation mixte, c’est en partie l’objectif de cette thèse.

1.6

Plan de la thèse

La suite de ce présent rapport se décompose en quatre chapitres :

— Chapitre 2- Modèle de diffraction d’une cible métallique : Ce chapitre détaille les étapes de la formulation du modèle de diffraction d’une cible métallique et ce pour trois types de configuration : En espace libre, au dessus d’un sol et à l’intérieur d’un milieu forestier. — Chapitre 3- Validation numérique : Dans ce chapitre, le modèle développé est implémenté

sous MATLAB et Fortran. Les résultats donnés par le modèle développé nommé "DEMOS" sont ensuite comparés avec ceux d’un simulateur commercial (FEKO) utilisant une méthode des moments et ce pour différentes configurations.

— Chapitre 4- Validation expérimentale du modèle : Dans ce chapitre, on présente les résultats de mesures effectuées dans une dans une chambre anéchoïque au Centre Commun de Ressources en Micro-ondes de Marseille (lié à l’Institut Fresnel) pour plusieurs configurations d’intérêt.

— Chapitre 5- Conclusions générales et perspectives : Dans ce dernier chapitre, on présente les conclusions de ce rapport de thèse. De plus, plusieurs axes d’amélioration du modèle sont énumérés.

Modèle de diffusion d’une cible métallique

Dans ce chapitre, le modèle de diffraction d’une cible métallique dans un environnement complexe (ou forestier) est développé. Dans la première partie, le modèle de la diffraction d’un objet métallique placé en espace libre est présenté. Le modèle développé est basé sur une méthode des moments classique. Dans la deuxième partie du chapitre, la présence d’un sol en dessous de la cible métallique est prise en compte. L’effet du sol est modélisé en utilisant les coefficients de réflexion de Fresnel. Dans la dernière partie, notre approche est couplée avec un modèle de diffusion de zone forestière utilisant une méthode des moments couplée à la CBFM réalisé précédemment dans le laboratoire. Le couplage entre la cible métallique et la zone forestière est pris en compte en considérant toutes les interactions.

2.1

Diffraction d’une cible métallique placée en espace libre

Dans cette partie, le modèle de diffraction d’une cible métallique placée en espace libre est présenté. L’équation intégrale du champ électrique qui donne la relation entre la densité de courant induite sur la surface du conducteur métallique et le champ incident est développée. Elle est obtenue en combinant la formulation intégrale des équations de Maxwell et les conditions aux limites sur la surface de l’objet métallique. Cette équation est ensuite résolue numériquement par une méthode des moments afin de déterminer les courants sur la surface des conducteurs. Ces courants sont ensuite utilisés afin de déterminer le champ diffracté en tout point de l’espace.

2.1.1 L’équation intégrale du champs électrique

On considère un objet parfaitement conducteur placé dans un milieu homogène de perméabilité µ et de permittivité . On note S la surface de ce conducteur et ˆn le vecteur unitaire normal à cette dernière. L’objet est illuminé par un champ incident pEi, Hiq. Ce champ induit sur la surface du conducteur une densité de courant J qui génère un champ électromagnétique diffracté noté pEd, Hdq comme indiqué sur la figure2.1.

Figure 2.1: Champ électrique diffracté par un conducteur.

Le champ extérieur en tout point est la superposition du champ diffracté avec le champ incident, soit :

E “ Ei` Ed (2.1)

H “ Hi` Hd (2.2)

La densité de courant induite sur la surface du conducteur est liée à la composante tangentielle du champ magnétique par la relation pJ “ ˆn ˆ Hq. Il s’agit donc dans un premier temps de déterminer cette densité pour calculer dans un second temps le champ diffracté en tout point. Pour cela, on établit l’équation intégrale liée à notre problématique. La résolution de cette équation par une méthode des moments va nous permettre de trouver toute autre quantité électromagnétique à partir de la valeur de la densité de courant J.

Pour obtenir la formulation intégrale, nous commençons par écrire les équations de Maxwell reliant les champs électriques et magnétiques pour un milieu linéaire et homogène de permittivité  et

perméabilité µ. En présence de courants on a : ∇ ˆ Ed “ ´jωµHd (2.3) et aussi ∇ ˆ Hd “ jωε Ed` J (2.4)

De plus, la divergence du champ magnétique sera nulle

∇ ˆ Hd “ 0 (2.5)

L’analyse vectorielle indique qu’un champ vectoriel tridimensionnel de divergence nulle (qui dérive d’un potentiel vecteur) peut toujours s’exprimer sous la forme d’un rotationnel d’un champ vectoriel (en utilisant la condition de rayonnement de Sommerfeld), noté A . On a ainsi

∇ ˆ A “ µHd (2.6)

A est appelé "potentiel vecteur du champ magnétique" et par abus de langage on l’appellera potentiel vecteur. En substituant cette équation avec celles qui précédent on obtient

∇ ˆ pEd

` jω Aq “ 0 (2.7)

Comme tout vecteur dans une région convexe dont le rotationnel est nul peut s’écrire comme le gradient d’un scalaire, on peut écrire :

Ed` jωA “ ´∇Φ (2.8)

où φ est appelé "potentiel scalaire du champ électrique". En utilisant la jauge de Lorentz on peut montrer que le potentiel vecteur vérifie l’équation d’Helmholtz donnée par [49] :

∇2A ` k2A “ ´µJ

tel que, la solution de cette équation pour A est

Aprq “ µ 4π

ż

s