Modèle de diffusion d’une cible métallique
2.3 Diffraction d’une cible métallique placée dans la forêt
L’objectif de notre travail est la mise en ouvre d’un modèle électromagnétique pour l’étude de la diffraction de cibles métalliques placées dans une zone forestière1.1. A cette fin, nous avons décomposé le travail en trois grandes étapes. La première est l’élaboration d’un modèle électromagnétique pour la diffraction d’une vaste zone forestière utilisant une formulation volumique de l’équation intégrale du champs électrique (VEFIE). Les arbres sont discrétisés en cellules cubiques, les fonctions de base sont des fonctions rectangulaire et les fonctions test des Dirac (Point-matching Method). La deuxième étape de la mise en œuvre de notre modèle est le modèle concerne la diffraction de la cible métallique présenté dans ce chapitre basé sur la résolution d’une intégrale surfacique de l’équation intégrale du champ électrique. Les objets métalliques sont discrétisés en patchs triangulaires et les fonctions de base
et test de RWG sont utilisées. La dernière étape est l’hybridation de ces deux modèles afin de prendre en compte le couplage entre la forêt et la cible par une formulation hybride Surfacique-Volumique.
2.3.1 Formulation mixte
Le champ diffracté par l’ensemble objet métallique et objet diélectrique est calculé en combinant les deux formulations surfacique et volumique de l’équation intégrale du champ électrique donné par les équations (2.12) et (1.11). Cela se fait en ajoutant la contribution de l’objet métallique dans l’équation VFIE et la contribution des arbres diélectriques dans la la formulation surfacique. Pour ce faire, on considère que le champ incident sur l’objet métallique est égal à la somme de l’onde plane incidente et du champ diffracté par la forêt seule. De la même manière, on considère que le champ incident sur la forêt est égal à la somme de l’onde plane incidente et du champ diffracté par l’objet métallique si il était seul. On obtient alors :
$ ’ ’ & ’ ’ % ˆ
n ˆ`Eincprq ` Edif _diel ˘ “ ˆn ˆ ˆ ´jωµ0 ş S Gspr, r1q Jspr1q dr1 ˙ˇ ˇ ˇ ˇ rPS E prq “ jωε1 0 “∇∇. ` k2 0 ‰ ş Ω
Gvpr, r1q Jvpr1q dr1` Eincprq `Edif _met ˇ ˇ ˇ ˇ rPΩ (2.83)
où Edif _diel est le champ diffracté par l’objet diélectrique seul éclairé par une onde plane.
Edif _metreprésente le champ diffracté par l’objet métallique seul éclairé par à une onde plane incidente comme illustré sur la figure (2.15).
Figure 2.15: Les champs incidents sur les objets métallique et diélectrique
Afin de résoudre le système d’équations 2.83, chaque équation est projetée sur l’ensemble des fonctions de bases correspondantes, les fonctions de base de RWG pour les cibles métalliques et des
fonctions de base rectangulaires pour la forêt diélectrique. Les densités de courants induites sur la surface du métal et le volume du diélectrique sont alors données par :
$ ’ ’ & ’ ’ % Js“ Ns ř n“1 IsfnRWG Jv “ jω pε pr1q ´ ε0q E pr1q “ Nv ř n“1 Ivfnrect (2.84)
La résolution du système d’équation utilisant une méthode des moments conduit à un système matriciel par blocs, qui prend la forme suivante :
» – Zss Zsv Z vs Z vv fi fl » – Is Iv fi fl“ » – Vs Vv fi fl (2.85) Où Z ss et Z
vv les matrices d’auto-couplage des objets métallique et diélectrique respectivement. Z
sv et Z
vs représentent les matrices de couplage entre les objets diélectrique et métallique.
Vs et Vv sont les vecteurs sources, Is et Iv les courants induits sur la surface et le volume des objets métallique et diélectrique respectivement.
Afin d’obtenir les éléments de couplage de la matrice Z
sv on utilise des fonctions de base rectangulaire et des fonctions test de RWG. En ce qui concerne les éléments de la matrice Z
vs on utilise des fonctions de base de RWG et des fonctions test de Dirac. De plus étant donné que les fonctions de base de RWG sont à coefficients réels la matrice Z
vs est la matrice transposé de Z sv.
En réécrivant le système d’équation 2.85 et en séparant les inconnus Is et Iv on obtient les deux équations suivante ” Zss´ ZCouplage_s ı Is“ Vs´ ZsvZ´1vvVv (2.86) et ” Z vv´ ZCouplage_v ı Iv “ Vv´ ZvsZ´1 ssVs (2.87) avec Z Couplage_s“ ZsvZ´1 vvZ vs et Z Couplage_v “ ZvsZ´1 ssZ
sv les matrices de couplage calculées numé-riquement.
Dans notre approche, la formulation volumique de la VEFIE est utilisée pour synthétiser nu-mériquement la fonction de Green du milieu forestier afin de déterminer la matrice de couplage. Le résultat est ensuite introduit dans le programme utilisant la formulation surfacique de l’EFIE afin de déterminer la densité de courant Isinduite sur la surface des objets métalliques en résolvant l’équation (2.86). Nous résolvons ensuite l’équation linéaire (2.87) pour définir la densité de courant Iv .
L’avantage de notre approche est qu’elle prend en compte tous les couplages présents entre la forêt et la cible. De plus, l’utilisation de la CBFM-E génère des matrices compressées permettant ainsi
le traitement de grands scénarios (avec un nombre considérable d’inconnus) avec un espace mémoire réduit et des temps d’exécution significativement diminués par rapport à une méthode de moments classique. Grâce à cela, notre modèle peut traiter des zones forestières réalistes et leur interaction avec des cibles métalliques de grandes dimensions (plusieurs λ).
Afin de déterminer les densités de courants Is et Iv il faudra dans un premier temps déterminer les composantes impliquées dans les équations (2.86) et (2.87).
2.3.2 Calcul des éléments d’auto-couplage
Nous allons dans un premier temps expliquer le sens donné par les éléments d’auto-couplage (Z vv,Z
ss) et les vecteurs sources Vs et Vv.
Les éléments d’auto-couplage sont déterminés en considérant la contribution directe de l’onde plane incidente. Ces éléments sont calculés dans chaque modèle indépendamment les uns des autres comme si les objets métallique et diélectrique étaient indépendants (comme illustré dans la figure2.16)
Figure 2.16: Calcul des éléments d’auto-couplage
Pour le modèle surfacique de la cible métallique nous utilisons les fonctions de base et test de RWG et pour la formulation volumique de la forêt des fonctions de base rectangulaires sont utilisées et des Dirac
comme fonctions test. Les composantes d’auto-couplage étant déterminées, on cherche les composantes dues au couplage entre les objets métallique et diélectrique.
2.3.3 Calcul de la matrice de couplage
Le point de départ de notre travail est le modèle 3D full wave de la forêt qui présente de très grandes performances en terme de temps de calcul et d’espace mémoire parce qu’elle autorise un taux de compression de la matrice d’interaction de l’ordre de 10%. De plus, l’application de la CBFM rend le problème fortement parallélisable donc efficace en terme de temps de calcul.
Notre idée principale est d’utiliser le modèle de la diffraction du milieu forestier comme une boite noire qui a comme entrée un champ incident et comme sortie un champ diffracté (sans modifica-tions majeures sur le modèle de la forêt). Il s’agit de définir une procédure qui permet de déterminer ZCouplage_sen utilisant le champ diffracté par le milieu forestier.
Afin de calculer le champ diffracté par une cible métallique dans un environnement forestier, on cherche en premier la densité de courant induite sur sa surface Is en présence des arbres. Ceci revient à la résolution de l’équation (2.86). D’une manière générale cette équation s’écrit comme étant
ZtIs “ Vt (2.88) et Vt“ Vs` Vcouplage. (2.89) avec Z t“ Zss` ZCouplage_s et Vcouplage “ ´Z svZ´1vvVv
Afin de résoudre cette équation, on cherche à déterminer la matrice d’interaction Z
Couplage´s et le vecteur source de l’objet métallique dû à la présence d’un environnement complexe (milieu forestier),Vcouplage.
L’élément Zmnde la matrice Z
treprésente l’interaction entre le couple de triangles d’observation m et le couple de triangles source n. Le couple de triangles source est considéré comme un dipôle ou source rayonnante. En présence de l’objet diélectrique on distingue deux champs qui arrivent au couple observation. D’une part le champ direct qui représente l’élément de la matrice d’auto couplage Z
ss et d’autre part le champ indirect qui est diffracté par l’objet diélectrique représente par l’élément de la matrice de couplage Z
Figure 2.17: Calcul des matrices de couplage
Pour résumer, la matrice d’auto-couplage Z
ss (contribution directe) est calculée en utilisant la procédure décrite précédemment. La matrice de couplage (Zmn´Couplage´s ) est quant à elle calculée en déterminant le champ diffracté par la forêt en des points de quadrature du couple de triangle d’observation m et cela en considérant comme champ de référence le champ rayonné par le couple source n. On utilisera alors la formule suivante :
Zmn´Couplage´s“ lm „ Ecouplage`rmc`˘ .ρc`m 2 ` E couplage`rmc´˘ .ρc´m 2 (2.90)
Où lm est la longueur de l’arête commune du couple d’observation m. ρ˘
m est le vecteur défini par le sommet libre de T˘ n.
La procédure du calcul des éléments Zmn´Couplage´s de la matrice de couplage est alors la suivante :
— Pour chaque couple de triangles de base n (dipôle source), on calcule le champ proche diffracté au centre de chaque cellule cubiques.
— Ces champs sont utilisés comme étant un vecteur source dans le modèle de la forêt.
— Le champ diffracté par la forêt dû à ce vecteur est calculé en chaque barycentre (ou point de quadrature) du triangle du couple d’observation m.
2.3.4 Calcul du vecteur source dû au couplage
En ce qui concerne le vecteur source du couplage Vcouplage. On utilise le premier rebond de l’onde plane incident sur les objets diélectriques comme illustré dans la figure2.18.
D’une manière générale le champ incident sur l’objet métallique (vecteur source) correspond à l’onde plane (contribution directe Vs plus le champ diffracté par la forêt dû à l’incidence de l’onde plane).
Figure 2.18: Calcul des vecteurs source dus au couplage
Vm´couplage“ lm „ Em´coup`rmc`˘ .ρc`m 2 ` E m´coup`rmc´˘ .ρc´m 2 (2.91) Pour le calcul des éléments Vm´couplage de vecteur source du couplage on utilise la procédure suivante :
— On utilise le champ incident dû à l’incidence de l’onde plane comme vecteur source sur l’objet diélectrique.
— On calcule le champ diffracté dû à ce champ incident dans les positions des barycentres des tringles pour chaque couple test m.
— Les éléments du vecteur source de couplage sont calculés en utilisant la relation2.91.
Dans cette section la méthode de calcul des composantes impliquées dans l’équation (2.86) est présentée mais le même raisonnement est utilisé pour la détermination des éléments impliquées dans l’équation (2.87).
Après avoir calculé le vecteur source et la matrice d’interaction, on peut trouver la densité de courant induite à la surface de l’objet métallique Is et ainsi déterminer le champ rayonné en un point de l’espace. Finalement, le champ diffracté par le couple va être égale à la somme du champ diffracté par l’objet métallique (en utilisant la formulation mixte) et du champ diffracté par la forêt en présence de l’objet métallique.