Théorie des semi-Groupes Problème de Cauchy Abstrait Exemples et Applications

epublique Algdrienne D6mocratique

et

Populairer

itdrre

de

l''Enseign.*ent

Supdrieur

et de

la

Re'sher'che

r.9;

lntitul6

r

:

Dr. HITTA

Amara

MCA

Univ'GuLelma Devant le

jury

ilti,1o

'oe\

,,rei

scientifique

Ijniversit6

8

Mai

1945

Guelma

Facult6

dtes

Mathdmatiques

et de

l'Informatique

et

des

Sciences

de

la Matidre

Ddpartement

de

Mathdmatiques

M6moire

Pr6serrt6

en

vue de

l'obtention du

dipl6me

dra

Masller

Acad6mique en Math6matiques

optiorl:EquationsauxD6riv6esPartie||e.'7@*-'

+,{

\*\1

Par:

_i;it."r&

iE'("

"rt"]\.[

_I'

tr4erre.

BENAMEUR

Khawla

i3

\r.,*r(r,

/

+

9 *.t UR

UR

Dr.

A.CIIAOUI

Dr.

IIITTA

Amara

Dr. BENAIOUA

Session

Juin

2014

MCA

UnLiv-Guelma

MCA

Unriv-Guelma

MCA

Umiv-Guelma PRESID]E RAPPOITT

BXAMII{4'

diorie

des

semi-Groupes

Probldme de

cauchy

Semi-Groupes _{et Applications}

o0000

ta,h

I l i I rl I I l i I 3.2 3.8

ion sur les s{mi-groupes

standard$

_et

_{semi-groupes de}

Matrices

ruetions _{standafds de semi_groupes}

Semi.groupes fsomorphes Semi-groupe _rpechelonn6

et

Gdndrater[r

_{Infinitdsimal}

Semi-grouOe _n[oduit ,roupes de matrices

oupe _{uniform6fnent continu sur un}

espace de Baaach g

I

15 15 15 16 16 16 22 25 25

4.2

T

r Khawh

_Semi-Groupes

et

Applications

Infinitdsirnal _{d'un semi_groupe}

de

_{HiIIe Ymhida}

_et

_{Lumer_phillios}

de Hille Yoshida .

de Lumer-Phillips

d'6volution

_:

problbme _{de Cauchy}

_abstrait

roblbme de Cauchy Abstrait

tion Mild d,un probllme _{de Cauchy Abstrait}

27 31 31 5.1 5.2 6.1 6.2 32 35 35 37

4

Ch pxtre

r

1-4

*__J

la th6ori,e

Iangages

:rlDerger

3:f"o**1

notamment.

E'e

est directement li6e aux vari6t6s _de

En

duction

_sur

_{les semi_groupes}

e _{des semi-groupes des op6rateurs rin6aires}

fait

partie _{cle |**alyse} elle De ce lait, _{elre a de grandes apprications}

dans res divers _branches

rlier:

:

I'Anielyse _{Harmonique, la}

th6orie des 6quations

_a'x

_d6rivries

lind,aires _{et non lin6aires.}

s semi-groupes, _{en tant que}

structure _alg6brique,

comnrence avec

,f;

ffii;:l?|

_{"_}

_":::::es,

notamment de

Anton

s uschkewitsch,_{t w ILrltUll,}

a, en _{192i3 la structure}

des semi_groupes _{simples finis, et}

Evgenii

i,:,,:f:jr.j:_,*,

ann6es plus

tid,

ie,

traoauxfondateurs furent

David

Rees, James _Arexande"

G";";il"illTilAHt:;

'reston.

derr semi-g.roupes _{finis s'est beaucoup}

d6veropp6e, _{en lieuison avec}

Hil:T::::

j:T :

T"l13"

de Marcer_paur sch iit zr_.nb _erger

ues, uI1 semi-groupe _{est une structure}

alg6brique _consistant

muni d'une roi _{de composition interne associative.}

Il

est dit La t; foncrtion L'6tude Ies trava qui d6 men6s Gordlon

Lat

et

Ben

_Khawla

Semi-Groupes

_et

_Applications

if si sa loi rest _{de plus commutative.}

Un monoide _{est un semi_groupe} 'est-d-dire _{poss6dant un 6l6ment neutre}

ille d'op'6rateurs

_("(t))r>o

_{sur un ensemble}

x

sat;isfaisant :

{rn,

*

s)

: r(r)"{s}

pour

rous r,

s

)

o

t

"(o)

:

.r

-

Idx.

est rr;ystlme _dynamique

_sur

_X.

comrnut unifilre, Une Ainsi

X

namique

r

f

€

o T(t

en Dans le un optir De tel.s appelle P ori

A

Ainsi, Ie Probldrne

r:onsid6r'6 _{comme l'ensemble de tous}

les

6tats

du sl,stdme

dy-ni, autre:ment, par :

't-

== _[0, oof _{ensemble temps.}

est I'applicretion _{d6crivant ie changement}

d,un 6Lat

T(0)e::

r

_€

x

=

0 i, 1'6tat

f (flr

A, l,instant f.

lin6aire, _{l'espace d,1!at}

_X

_est

_ur

espace vectoriel, _chaque

_?(f)

_est

: lin6aire sur X _{et (?(t))r>s est appel6}

semi_groupe d,op,drateurs.

t-groupes rl'op6rateurs _{apparaissent naturellement}

dans ce qu,on rnun6ment :

glle

Cau,chv

(p.e.):

["'(t):Au(t) t>0

(

[u(o)

_

6

un

_{opdrateur lin6aire}

_{sur un}

_{espace de}

Banach _f.

Nreme _{consiste i, touver une}

fonction u d.drivable sur IR+ tei que re

Cauchy _{soit satisfait.}

a

est un Si Alors ddlinit Ainsi,

r$(

Dan's la rela En gindr Cepend tions. C' ur

_Khali'la

Semi-Groupes

_et

_{l\pp.lications}

*que va*:ur initiaJe _{:x €}

_x

_une

sorution unique initiare _{u(.,;r.lexiste,}

f:ft)r

::

u(t,x),,

_>

0,

r

_{€ X.}

semi-grorrpe _d'op6rateur.

p::'bldme _{peut .tre}

consid6r6 de deux points _{de vues oppos6s}

:

est Ie probldme _{et la famille (T(t))Do}

est la solution c:herch6e

j3::: Hj::j::j'-1le

d'on611!eurs

_(?(r)),'0,

_*ou,

queues

condi-t-on trouver :i

i::;':::,

_I'op6rteur

:::::.:-"',

_,4.un probrdm.

d;

i;;"hi:

F:

illf

:;JAT;

*es

situarbions _{simples et}

concrdtes

_que'on

_traitera

d.ans _{Ia suite,}

entre _{(T(t))r>o et I'op6rateur}

,4 est donn6e par _{les formrures}

'

ttne relation aussi simple _{que celle lA semble}

6tre hors d.e port6e.

'

r*e

hypol;hbse de continuit6 sur Ie _{semi-groupe, dans le}

cas ou

x

ce de Banach, produit _{une th6ori.}

"i"t * en r6surtat, ut _"o apprica_

; ce que norus _{allons abord6, dor6navant, dans}

ce m6moire.

Ce @ (a (a

o

@ Semi-Groupes

_{et,Applications}

o

es' compos6 _{d'une introduction et}

des chapitres _suirants

:

On

ffijnffi.p{ecises

des semi groupes fortement conrinus et leurs

0nt

_{les contructions}

spandards des semi-groupes _{et les semi groupes} de

On

de

On

On

ru##*u

sur le$ r6solvantes et les g6ndrateurs infinit6simaux

les r6sultats de l{ille yoshida _et

ceux de Lumer-philtips

qqe

_la

_{th6orie d.es semi_groupes}

aux problbme _{de Cauchy}

ab_

:H:Y:HT'$-

aux6quauons d'6votution et les cquations

strait

avec seeond _membre.

()

Ctr

rlre

$(

rg(

l'.

-L_I

i--,groupes

_fortement

_continus

2.1

f)6finitions et

_propri6t6s

_de

_base

une fois _{pour toute, un} espace de Banach X.

r

2.1.1

une famille

(r(t))r>o

d'oplrateurs _{findarres bornes sur}

_X

est dit ri-groupe

_{fortement continu}

_sj:

t)lr>o un systbme dynamique sur

X

t))ro

esf

fortement continue

_(F.c.)

_c-d-d

_:

_{paur tout}

_{n e}

_x

/es

€* :

t

-+

_€,(t)

z:

T(t)s

t:ontinues de lR-+ dans

X.

.irit6 (F'c.) peut _{6galement 6tre exprim6e par re tait que |application}

Khawla

_Seqi-Groupes

_et

_Applications

I

;:-';

de ie de forte.

R*

dans l'espac e ,56(X) des op6rateurs bornr5s sur

X

Notre ior objectif _{est de rn6rifier la continuite forte (F.c.) qui est n6cessaire} muni

5la

d6fi

tude U

Comme ("(t)),>o peut-6tre :l,rl.f,,Sort

F

,dhas-,66(X).

ition _{pr6c6dente. Cqci est possible gr6ce au}

principe

_de

_la

_{Borni_}

)rme suivant,

i

savoir :

ddfinie sur eafiernbJe,corrrpar:t

K c

_R

Jes.assertjo*s suivttntes rcnt'fuuiualentes .

K

>t

_->

F(t)r

e

X

It tan*k*tes pour

r

_€

_X

_{c'est h, dire que}

_F

_{est continue po.Lr.}

rit

Foqotogpe trofie des

ti,

sur

K'et

les applieatioas

K>t+F(t)reX

6Patrnues

pow

_{tout a fle.ns un sous-easemble}

_D

_{dense dans X.} tt$-a*jl4re pour Ia de Ia _{canvexgence unr'forrne sur les}

de

X

c-d'd I'apgfiiaatiwt

K

C>(t,r)+

F(t)te

X

confinue for.tt::compact C daas

X

i'Squence _{d ce lemme et en tenant compte du rait que}

re systEme

rlynamique sur

x

nous obtenons que la continuit6 des applications

{*:t€R+-+T(t\r

yr€X

isfaite par des proridtds plus faibles.

b)F'

e)r

Khawla

_Semi-Groupes

_et

_Applications

2.1.2 Soit

(trtt))aq

un semi-groupe _,flrr

_X,

_{Jes asserfioris}

oafi

qui

t.lhao _esf

t):r,*

fi

panr.

6to;

_M>l

lffit)ltrs

l"r [im+o

f{4

₌

n

continueenf:0.

contiau,

r€X.

ef une p,artie _dewe

_D

_c

_X

_{tel qae}

taut

t,€

_[0, d],

tout

r

_e D.

:

+. (c.ii) est trivial

rlEmontrer que (a)

+

(c.i), nous supposons par l,absurder, qu,il existe

suite (d*),€N _{convergente vers zdro dans lR* telle que}

ll?(d,)ll _r oo P

o(

@

@P

(b

@

(6)

rre _{n -+ oo. Par le principe de la bornitude uniforme,}

il*ist

e

r

€

x

rpe (l[7(d")"ll)".ry _{est non born6e, ce qui contredit le fait que} ?(,)a

vdrifier que (c) _{=+ (A), posons}

_K

::

_{{tn : n e AI} u}

{0} oir (t,,),"6N est

suite de JR'1 quelco4que _{qui converge vers 0. Ainsi}

_K

est un cornpact

Q',

?(.)1r est bornd, et

T(-)6r

est continue pour tout :r

€

D.

par ''enr' nous pouvqns applique (b) du lemme pr6c6dent pour obtenir

X*'('")n

:

n

tous

_z

€

X'

cornme (t,)o*s a 6t6 choisi arbitrairement _ceci prouve

l'o). Pour to

)

0 el

r

€X

on a

lffi

_{ll7(t0 +}

_h)r

_-

_rftdrll

_<

_ll"(ro)

ll .];ffi

llrft)r

_-

rll

:

0. 11

KhawIa _Semi-Groupes

_et

_{Applir:irtions}

la continuit6 d droite. Si h

<

0, I'estimation

llr (to + h)

r

-

r

(t6)

r[l

<

_{[lT (to + h)}

ll . _ll u

*

r

(-

h) t:ll

'e

la

continuit6 d, gauche

tant

que

ll"(t)ll

reste uniforrndment !': pour

t

_€

_{10,t0]. ceci reste cependant vrai pour un petit}

inter-[0, d] par le principe de bornitude uniforme et ensuit" p,o* chaque

llle compact puisque le semi-groupe ("(t))1>6 est un systbme

dy-ue.

I

Rem.arrl : ])ans de nombreux _{cas, comme re caractbre de bornitucle uniforme} des ood r:rs

7(f)

pour

t

€

_{[0, t0] est 6vident, on obtient Ia coni;inuitr:}

uni-forme vdrifiant seulement la continuit6 des applications

_{,

en

f

:

0 pour

seuleme un sous-ensemble dense, bien choisi, de

X. t

Pour un groupe _{fortement continu (f(t))r>o ies orbites finies}

{r(t)r:

t

e

_[0,t6]].

sont rCerr _{4;es continues d'un intervalle compact, donc ils}

sont compi?,cts et

mem,e 6r pour tout

r

€

X.

Par le principe de bornitude uniforme ctLaque

l

Ibrtement continu est _{uniform6ment born6 sur chaque int,erwalle}

COmprg,gl, _{qui implique la bornitude exponentielle sur IR*.}

ilrr**

'our chaque semi-graupe fortement continu (,I{f))rro, d.es constantes

u

€ lR ef une constante

M >

L telle que

seml-Preu'y11 posons I

/,

1\

ll"(r)ll 1

Me,t

_,>0.

Clroisissons

M

)

_{1 tel} que

_{llf(")ll <}

_M

_{pour tous 0}

0 comme f

:

s*

n pour _{n €} NI et 0

(

s

<

1. Alors

<s:!1et

<

_llf(r)ll

_{llT(1)ll" S} M"+r

_-

14"ntnM

I

Me,t

i

i-.

Khawla _{Semi-Groupes et}

_Applications

est w

::

[n(M]

pour chaque t

>

0. t

b Ia d66nltios suivante :

Ceci

Ajnsr

2.1.2

La

vale\r minimale ws, dite _Wpe

du

semi-groupe, des

pour Jesquels

l'estimation (2.1) est v6rifr6e

pow

un semi-graupe

mtinu joue _{un l61e importarfi :}

o

@

Khawla _Semi-Groupes

_et

_{Applircations}

Ch

_rtre

J--l

Co

_{ructions standards}

et

semi_groupes

Nousr partir _{d, se,migroupe} donn6.

comment _{peut_on construire}

de nouveaux _{semi._groupes} A,

3.1

3.1.1l. Fixons _un nach

_X.

Soit

_Y'un

espacels. ddfini par

,ontructions standards

_de

_{semi_groupes}

upes

isornorphes

i-groupe fortement continu

_{r :}

_g(t)h>3

_sur

un espace de Ba-[,ace de Banach _et

_V

_:

y

_{_+}

_X

un isomorphisme _entre

les deux

obtient _{une structure de}

_{**i_gro;p*.ootiou}

S

:

(S(r))1ryq _sur

y

,S(f) _:=

_V-tTft)V,

_V,

>

0.

L€s (

dleu:r

l

Khawla

Semi-Groupes

et

Applir:ations

sr:mi-groupes sont dits semblables ou

isomorphes.

En

fait,

les pes ont les m6mes propri6t6s topologiques.

Serni-groupe

re6chelonnd

C et a >" 0, un semi-groupe re6chelonn6 (^g(t))po de ("(t))t>o par

per fortement continu ("(t)1")rro sur I'epace de Banach

l/

Sr:mi-groupe

produit

)tro

et

(S(r)ly)rro deux semi-groupes qui commutent c'est h dire

f):0ona

r(t)s(t):

s(t)r(t),

op6rateurs

u

(t)

::

s(t)"(t)

semi-groupe fortement continu (U(t))rro

dit

semi-grr)upe prrF T(t1)rroet (^9(r)),>o

Sermi-groupes

de matrices

=,

C'.

L'espace

L(X)

sera identifi6

i

l'espace des matrices

n x

n

t

h["(c]

:

,E(C") ,-'

_M*(C)

3i.1,,2

Foult'#

Semt

S(t)

::

eutT(at),

pour tout

t >

A.

si

y' un $ous-espace ferm6 de

X

tel que

_{T(t)Y e}

_Y

pour tout

I

)

{} c'est

d, dire ll'' est ("(t))r>0-invariant, _{alors les restrictions}

"(t)ly

forrnent un

3.I.,3

si

(?"(1) po1lr' fcrrment

duit

de

3.2

P,mons sur C1, 16

de

Khawla _Semi-Groupes

et

r{,pplications sw M"(C), toutes les topologies _{coincident, nous po'vons}

parrer que

groupes continus.

Nous _{d6terminer toup les}

semi-groupes contiaus _sur

_X:

(C*.

3.2.1 _{toas ,4}

_{€ Jt4,(q}

et:

t

>

0,

k

"g"*,

etAi:iry

kH

(3.1) &salureewt

_:

ft

plas,,,!'agdlqa,tjqa

rie R*

i

eto _{e M_(C)} et

vffie

l pour _{tous t, s )> 0}

flry

-kt

/C=:1,

:

I)uisque _{les s6ries}

Efr"

4Sr

convergent, on montre que

S,s*,4*

k-l;:

ffiffi

i'a

f-kAn-k

(n-

k)t'

,kAkkl

f

(r ₊

")"a"

#n!

que e(t+s)a

:

_{stAgsA pour tous}

_t,s

₎

0. D,autre part, _{on a}

tt"oo

-',,

:

llf

ryil=

p

W$"rhtrrAu

:

r

que;lg ehA:

_{I. I}

cir _Itrx€

donl; le pax

KhawLa Semi-Groupes

_et

_{Applir:ations}

3.2.L (semi-groupes de

matrice

diagonale) Lesemi-groupe

par une matrice diagonaie ,4

:

diag(att..-,ar) est donnde etA

:

_{diag(et"t ,...,eton).}

g2 3.2.2 (semi-groupe de

_matrice

_{en bloe de Jorclan}

)

consid6rons k

x

k en bloc Jordan

100

I 1 '-.

: 0

l[:

000

,\0:

0 0 1 0

dt: _{trrlopres6galesd,\}

e

C.

_Lamatrice

A:

D+N

_sed6compose

en deux ices, l'une diagonale

D

:

A.I

et I'autre nilpotente

_N

dont la

pu _{k-iibme est 6gale d z6ro. Alors}

tk-r

._

(k

_-

1)! th-2

6:W

t

01

Comme e1;

lf

cosrmutent, on obtient

etA

:

etxetN

18

p0U[ tc]l e;t cliffi, dan, le I s<lnt suf

m;;

l;*;

I

L__

jS' llvp'

r

Khawla _Semi-Groupgs

_et

Aprplications 'e

rfiatrice,4, le calcul rlirect de etA (en _{utilisant la d6finitio'pr6c6deate)}

le'

_{,v6anmoins, en pensant}

_i

_{|existence de ra forme}

norrnare de Jor-t.

survant montre que dans un certain sens les exemples pr6c6dents

3.2.3 Prendre une matrice 2

x

2 quelconque

.q,:

( o

b

\

\c d)'

:== ad

-

bc,

r ::

a*

_{d et}

_{1 €}

_C

_tel

_que

1ft2

*

+A).

Alors te ungendrd par,4 _{est donn6 par les matrices}

:

_{l":(i'inr'{rr).A}

+ (cosh

(h)

-

fi

sinrr(r7))r)

si 7 7i e,

ler

(tA

+

Q

-

f)I)

_si .y

_-.

_6.

ns queiques cas puticuliers _{qui produisent d.es formurr:s}

simpies

A:(t. 1)

_",o:(cos(t)

sin(r)

_\

\-1 o)

_\-sin(r)

cos(r)

f

1: (

A: (

or} les projections _{spectrares d'une grande}

matrice n

x

nsont con_

ni-g:roupes correspon(rants _{peuvent etre calcur6s}

de faqon expricite

i;)

e'[A:(

;T[]

:il[:]

₎

-t,

-tt

)

e'A

: ( t:,'

,t-

r)

Darrs le nues, lres par la _riuivante. 3,,2.2 Sait

_B

_{€ lv{*l:,.c) et} ^g €

lt{*(c)

rtrt1t engendrd par

_]a

_{mabiee A}

_::

_,g-1

une matrice inver"sibje.

BS est donnd pat

etA

:

g*1utBg.

Pour.\ € de Alors Ciu, lQt' Semi-Groupes

et

APPllications .R(1,

A)

::

(A.f

_{- A)-t}

de

A

au point .\.

.L.1 soit

x

:

810,1] et consdi6rons I'op,6rateur diffdrentielie

A1f

:: fl

D(At)::

01[0,1].

o(A1)

:

g'

.\e

Con

a

(,\-Ar)t^:0Pour€1

::el"' 03s

<

1' t

1.2 soit

x :

8[0, t] et eonsid6rons le mOme op6rateur diff6rentielle

A2f

:: fl

D(Ar)

_':

{f

€ e1[0,

t]

:

/(t)

-

o].

r(Ar)

:6'

1.1

ft^(/(s)

:: /

e^G*t)f(ildt,

o<s(1, f

e

X

J^

repreBen de

(I

*

Az\ pour tout .\ e

C' I

Semi-GrouPes

et

ApPlisationt

4.2

En s'i

(r(t))'

par

Infinit6simal

d'un

semi-groupe

pr6c6dents, on essayera d'r6crire formellement tout

d'un op6rateur.

g6n6rateur infinitdsimal

d'un semi-groupe : D(A) -+

X

d6fini

(non n6c6ssairement born6) A

ituo€

ett)0.

r)uad,r

-rd

r

-Jo

Pour tout e

>

0, on a

: !

_['rro*e)-

T(r)]u6d,r e

_Jo'

17t*elf€

: : I

Tk)usdr-

_{: I}

T\)usdr.

eJt

€Jo

27

6rate

.2.1 On

X :

Ar:

_lpre353

existe darrs

X

)

,l:{"

it

("(t))r>s

un sem'i-glCIu e fo*eqlent rpntinrr de

,

_ff,r{s)uo€

D(A)

tt

o (1,'

r@uaar)

--

r(t)uo

-

uo-T(t)us

e

D(A)

pour tout

t

)

0, T(t)us est d'e

.

)

!r1t1",

:

eT (t)un

:

T (t) Aua' dt,

D{d)r

I6

..,

oli

Serni-Groupes el; APPl.icat;rcll

Qurant e d vers 0+, le terme de droite tend vers

T(t)us-

uo

d'ot

(3

'

Soit

us € D(A et

t

2- 0. Pour tout e

>

0, on a

T(e)

-

rdr(t)uo:r(r)1+

_us

'=5

_TU)A,us.

Pc,ur

ir

(}

,

il

reste d utiliser que si

T(t)w

est d6rivabls

il

d1'oite et de d6riv6e tinue, alors S(t)u6 est de classe

01'

I

son gdn dans

X

P:reuve

i

fit"(t

soituo€.x.D'aprbslapropositionpr6c6denter,lete,rmeula:

tend'vers et (u,) ment aot;eril

, est dans D(A) pour tout 6

)

0, de plus ufi tend vels uo quad e Donc D(A) est dense d.ans

x.

soient deux suites(u,) dlans D(A)

Xqui convergent respectivement vers u eN u dans

X'

I)onc

T(t)u*

_-

'un:

_['

,61oundr

:

_['

r14',a''

Jo

Jo

), ta limite, on obtient

T(t)u

_-

Itr:

_['

,61u0''

.lo

tend vers o quand

t

tend vers 0.

D'oi

u € D(At) et'

Au:

o'

I

28

4.2.2

soit

("(t))r>o rrr semi-groupe fortement contin.u, alors

rur infinit6simal

A

est ferm6 et son domaine

D(A)

est dense

4.2.3 Soient

("(t))r2o

et

(S(t))t>o deux serni-groulpe

forte-[""

au m6me g6n6rateur infinit6simal

A

alors

T(t)

:

S(t)'

On

(t)

:

"A'l'unique semi-groupe associ6

]}guver r)T(,r)n unilorn uniforn i'idrsntr' Semi-GrouPes

et

APPlicatbiong

it

t

>

0.

Pour

r

€

_{l0,r] et}

r

€

D(A)', on pose

f(''')

='

S(t-rds la proPosition, on a

f'

(r)

:

*,S(,

*

r)AT(r)r

+

s(t

-

r)AT{r}r

:

o

T(t)r.

Oa conclut par densit6 de

D(A)'

J

A

est born6, on montre facilement que eAt est un semi-groupe

t

continu et que A est son g6n6rateur. soit ln(t) un rsemi-gtoupe

t

continu. Pour e

>

0 et assez

petit,

t-t

f;T{r)d'r

eit proche de

inversible. Donc

f :

_fiT(r)dr

est inversible' On a alors

J

!,"

rr?)usd,r

:

I(lr'

r(r

+

n)

_-

l"','

!(")o')

:

_l,(l^^."

r(rld'r

_-

L^

r(t)ar)

'

ry

:

_{*(l^'.''1"y0'}

_-

l,^

r?,ar)

n4

tend vers

O,M#

tend fortement vers (?'(r)

*

nd);,-1'

f

29

4.2.4 Le semlgroupe (?(t))t>o est uniformr6ment continu si si

A

est born6. Dans ce cas' on

a

I(t)

:

eA' et

?(t)

est

itre

Th

rbmes

de

Hille l/bshida

et

/\Y.

Phillinc'

tjt-I

IIIIIIL,'D

_I

me de

Hille

Yoshida

ffi

b

gqs#ateur

infinit6$sal

d'uq

?s(t} sur

X

v,erifiart ';

',t.I,

i

tl"(t)ll

I

_""

'

i'; € R

:a

term6 et de domaine dens dans

X

i'e'

frq :

X'

hemble r6solvant de A contient la demi-droite ]cu, +oo[ et

V,\ elr.r,

*m[,

tl(A

-

.\.Idx)-1llc(8

<

]:'

j j i

[il;

l_1"'Y

Semi-GrouPes

et

APPlications formulatioaplussimple,diteth6orbmedeLumer.Plrillips,qui leshypothbsesd'uth6orbmedeHills-Yosida.Eliee,stsurtout lesop6rateursanti-ad.joints.onval'6nonc6danslecasg6n6rai

pour _{le cas} g6n6ral, on revoie a

(r/.

[6]). Dans le cadre hirlbertien' que

A

est dissipatif-,

r

€.

X,

^

>

0 et

soit

r*

comlne dans la , alors tr

:

fr*. On a

f[(.\Idx

-

A)*ll'> )'ll"ll'

+

llArll2

>

]tll"ll''

uement, si fl(.\Id:r

-

A)"ll 2 .\llrll

alors

.\IrJx

_-

A)rllt: l'llrll'

+

[[Arl['?

-

2'\Re

<

An's

_">]

]'ll"l[''

tend vers

*oo,

on voit que Re <

Ar,n

>5 0'

I

32

Pour la .

il

suffit de voir que

R;

est bien d6fini sur le demiplan'

5.2

6orbme de

Lumer-PhiltiPs

Il

exister

serrt iil

p:ratirlutl

d'un de Banach

X

mais la preuve se fera dans le cas d'un esipace de H.ilberrt. fldifi:nit;

S.z,LUnop6rateurAestditdissipatifsipourtoutreD(,4)c

r*

€

X*

tel que :

<

rl**

>:

llr[['

:

llr-llt

Re

<

Ar,r*

>S

0' )4,

il

!]rernvg sftrptr)os,o cl6tuiiti tQua,nt

iflrr 5.1.2 Dans

le

th6orbme pr6c6dent,

on peut

rernplacer

par le demi Plan

{,\

e

C,

Re('\) > r^r}'

S.2.lUnopdrateurlin6aireAestdissipatifsietseu}ement

Tlf.el dans

0

!'reurrr Si -,4 eI Semi-Groupes

et

APPlicatiolr:

:

Pour le cas g6n6ra1, on revoie e

(./.

_[6]). Dans la cadre ]rilbertien,

re un semi-groupe de contractions, le thdorbrne de .Fli.tle-Yosida

que

lldx

_-

A

est inversible pour

tout

.\

>

0 arrec i'estirnation de

ition 2.3.4 et donc

A

est dissipatif. soit .\s

>

0 tel quer .l6ld2g

-

,4

est i ible

et

donc ferm6. 11 s',en suit que

A

est ferm6. Pour appliquer

Hille-l/ ida.

il

reste h vdrifier que pour

tout .\

>

0,

_'\Idx

*

A

est surjective

donrc i rsibie et d'inverse born6 par

1l\

d'aprbs la proposition p:r6c6dente.

la L' est unt Soib r,, Donc ( et que est urt

!s

Ex ble

f :

_{{,\ >}

0:

.\Idx

_-A

est surjective}

vert.

Soit ,\r,

g

f

une suite convergente vers _{'\o" et soit} 3t

€

D(A)'

que ,\,,r,,

*

Arn:

y.

On sait que

_llt"ll

(

);tllul[

et en outre

llr*-

r*llt

lll-("'

-r*)-T(*n-n*)ll

:

l),,-'\*ll[r:"ll'

,r)

*t

une suite de Cauchy et converge vers

r'

Comme Tfin == Xnnn*A

tA est ferm6, on a tr € D(A) et )\ooz

_{- Ar:}

y'

D'r:t

lo.

€

'f'

Donc

f

uvert ferrn6 non vide et alors

f :

lRl.

I

5.2.t

Sur l'espace

X

::

_{f

e Oo(R)

: /

continument difidrentiable sur 10,1]}

la norme

ll/ll

,:

sup

_{l/(s)l *"2El,,l/'(")1,}

ne

5.2.2

soit

A

un op6rateur lin6aire de doma,ine D(.A) dense

':

l

A est dissipatif et s'il existe )o

>

0 tel que .\Idx -- A est surjectif, ,4 est le gdn6rateur infinit6simal d'un semi-groupe drl

contrac-A est Ie gdndrateur infinitdsimal d'un semi-groupe de cor:Ltr'actions,

.lldx

_-

A est surjectif pour tout

)

)

0, et A est dissipa$if'

6.2i

Il

s'e:r que s:i ,41 douces ( per le Semi-Groupes

_et

_{Ap,plica.tions}

olution

_MiId

_d'un

_{problbme de}

_caruchy

.bstrait

1

6.2.1

une fonction continue 1r

:

rR+

*) x

_ee;t

_dite

_s;o.rution

Mild

solution

de

(pCA)

_{si, pour tout}

_t

₎

_{0, on}

_a

_:

t'o'

ub)a* €

D(A) er

u(*)

-

A

_{!_'ur[s)rts}

f

c.

t,

d'aprds notre pr6c6dent _{r6sultat 6r6mentaire}

₍

_Lemme

1..8 (iv)) st un gdn6rateur _{d'un semi-groupe fortement}

cont:inu, resi _s'rutions

ild) existent pour _{chaque vareur initiale}

_r

_€

_x

_et

elles sorrt rlonndes

i-groupe.

lous avons seulement a d6montrer _{I'unicit6 de la solution nrulle pour}

itiale

z

:

0.

Pour cela, supposons que u est uner solution douce

A) pour

r

:

A et prenons

_,

_>

_{0. Alors, pour cha,que s €l{), t[, on} .Pteurge : la vale,ur (mild) de obtienl;

!(

dr\

En intrSgr u(t)

:

1y,113 t

_{- ")}

to"

u(r)rir)

:

_t,r

*

_s)u(s)

_{- rft -}

_s)A

fo

,,u,(r)dr

:

_o.

t

cette 6galit6 de 0 jusqu,d

_t,

_{on obtient}

_fi

_u(r)ttr

:

_{0 eb donc}

:0

comme souhait6e.

f

ast I'uni

Qg

6'2'1

soit (A,

_D(A))

_{un g*n&ateur d'un semi-grou1>e}

forte* inu

(r(t))r2o-

Alors, pow _tout

_r

_€

_x,

_{\'application orbitare}

u: t

-+ u(t)

::

_T(tlr

ue'golution douce _{(ailId) du} ptobldme _{de cauchy Aiistrait}

assaci6.

B,eIrSIllrB Khawla _{Semi-Groupes ert App,lir:at:ions}

Lers derux tes propositions _sont justement _{des reformulietions desr rdsultats} sur les i-groupes fortement continus. _{L,inverse de leurs r,6sultats erst faux}

co.mme l,e

E>cerurple,

I'exemple suivant :

l'erspace

6crit sours _matricielle :

"':

(; f)

Alors l.'a1 Catrch;r

h

A n'enger

ona:

(^

_-"4

Donc

o(l)

c.r

6.2.1 Soit

(B,D(B))

un

BanachproduitT:X

op6rateur ferm6

_x

_X,

_considdrons non _I'op6rieteur borrn6 sur _(,A,

Jf-

_D(A))Sur

de domaine

D(,A)::

T x

D(.8).

D(A):

{(^.;*)

t

associ6 A,

A

pour

t*t f:)

€

DU).

_{Cependant, l,.p(irateur}

\a/

pas de semi-groupe _{fortement continu, puisque pour tout}

A €

c,

, .]

:

r

€

X,y

€

D(B)l

_c

X

x

D(B),1

X" J Nous allo v6rifi6 les de caractdr Pour ce,la,

ma,rntenant, montrr5 quelles _{sont les propri6t6s que devraient}

(A, D(A)',r dans Ie souci

tions u(.,

r)

ou celies de l,opdrateur

les _{g6n6rateurs de semi-groupes.}

considdre _{la condition d'unicitd et d'Existence}

_(cuE)

_suivante

A ce'la, s'a te dans le th6ordme _{qui suit, ia conditiol p(A)}

_*

_{0 dans (b) ou la} Nous admettons

d6pendence ue des solutions de la donn6e initiale (c).

le r6suitat

t

sans preuve :

aque

*

_€

_D(A),

_iI

_{existe une unique solurhion}

_ut,r&)

r).

trte

6.2.2

Soit

A

:

D(A)

c

X

-+

X

un opdrateur

fetm6'

Alots,

p

nrobldme (ACP),Ies propri'tds suivantes sonf rfouivaJentes :

i

e$gen&e un semi-graupe fortement continu.

varifre (CUE) et p(A)

#

0.

t

i

"qrrn"1CUnS, admet un domaine dense

et pour chaque suite (r,,),"ew

eiD(A\

vdrifiant

lim

r,,:0

on

a

lim

u(t,rn):

a wilbrntament

: " n-+oo n-)m

des intervailes colnqact [0, to]'

Tlh€,u

(",)

(t')

(.,)

Khawla

Semi-Groupes

et

APPl[ications

Le r6su de ce th6orbme n6c6ssite une d6finition :

6,2.2 Le problbme de Cauchy abstrait

assocrc un op'rateur ferm6

A

:

D(A)

c X

-+

X

est

djt bien

pos6 si Ia

(.c) du th1orbme pr,6c6dent est

vdtifi6e-permet d'6crire Ie th6orbme de ia fagon suivante :

condii,i

Ceci

(l

de

6.2.3

Pour un op&ateur ferm6

A:

D(A) C

X

+

X,Ie

Ptobldme

Abstrait

(PCA)

est bien pos6 si

et

seulemenl; si

A

,engendre un

fortement continu sur

X.

En ten compte de la d6finition donn6e d un "probldmer bien pos6" l'on se

rend du r6le jou6 par les semi-groupes fortement continus comme outil

la rdsolution d.u Problbme de Cauchy Abstrairb (PCA')'

pa.r'fait {

t'(r)

-

Au(t)

lz(o)

-

c

pou.r

t

)? $ I:,PC

A\

39

I

Semi-GrouPes

et

_&PEatlons

.

Uluct.

Properti,es of semi'groups genereted' by first order

di'f-ial operators. Results Math' 22 (L992)' 821832'

EIDMANN' L'inear Operators i'n Hitbert Space' Graduate Texts

.. vol. 68, SPringer-Verlag, 1980'

iYosme.

Functional Analgsis' Grundlehren Math' Wiss' Vol'

isptiog.t Verlag 1965'