GROUPES FINIS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

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�� GROUPES FINIS. EXEMPLES ET APPLICATIONS.

I. Généralités et outils des groupes finis

[Per��, Ch�, p�–��]

I. A. Vocabulaire des groupes finis

D��. [��,��-��,��,��]

• (G,◊)est un groupe siGest un ensemble muni d’une loi de composition interne◊ associative, admettant un élément neutre1et telle que tout élément admet un élément inversible.

Gest dit commutatif ou abélien sixy=yxpourx, yœG.

Gest dit fini s’il est de cardinal fini.

• H µGest un sous-groupe deGs’il est stable pour la loi deGet que c’est un groupe pour la loi induite.

• „:G≠æG^Õest un morphisme de groupes siG, G^Õsont des groupes et si„(g1g₂) =

„(g1)„(g2)pour toutg₁, g₂œG.

• PourgœG, on appelle ordre d’un élémentgœGle plus petit entiernnon nul tel que gⁿ= 1. On le noteo(g)et on a|ÈgÍ|=o(g).

E��. Z/nZ,Snsont des groupes finis. L’ordre de1estn, l’ordre de(a1a₁ . . . a¸)est¸.

Soit(G, .)un groupe fini d’ordrenœN^ú. D��. [�� ]

PourH < G, on définitG/H={gH|gœG}l’ensemble des classes à gauche moduloH. On note[G:H] =|G/H|.

T��. [�� L��]

L’ordre de tout sous-groupe deGdivise n. En particulier, l’ordre d’un élément deGdivise n.

E��. PourgœG, on ao(g)|n.

D��. [�� ,�� ,�� ]

H < Gest dit distingué si pour toutgœG,gH =Hg. Dans ce cas, on note alorsH CGet on remarque queG/Hest muni naturellement d’une structure de groupe.

E��. Si[G:H] = 2,Hest distingué dansG.

D��. [�� ]

Gest dit cyclique siG=ÈgÍpour ungœG(on rappelle queGest fini).

R��. Un groupe cyclique est abélien.

E��. Le groupeUⁿdes racinesn-ièmes de l’unité est cyclique d’ordren.

D��. [�� ’�� ]

On notee(G)lePPCMdes ordres des éléments deG.

E��. SiGest abélien, il existegœGtel queo(g) =e(G).

I. B. Actions de groupes

D��. [�� ’�� ,�� ]

On dit queGopère à gauche surXsi on a une applicationG◊X ≠æ X,(g, x) ‘≠æg.x telle que’g, hœG,’xœX, g.(h.x) = (gh).xet’xœX,1.x=x.

Pourx œ X, on appelle orbite dexet on noteO(x)l’ensembleG.x = {g.x|xœX}. On noteOl’ensemble des orbites deX. C’est une partition deX.

On appelle stabilisateur dexœXle groupeStab(x) ={gœG|g.x=x}. PourgœG, on noteFix(g) ={xœX|g.x=x}.

E��. Gopère sur lui-même par conjugaison :g.h = ghg^≠1. On noteInt(G) = {Int(g), gœG}l’ensemble des automorphismes intérieurs deG, oùInt(g) : h ‘≠æ ghg^≠1. On remarque alors queGagit sur tout sous-groupe distinguéHdeGpar cette opération.

Dans la suite de cette partie on supposeXfini.

C��. [�� ]

Si|G|<+Œ, choisissons pour chaque orbiteOun représentantxO. Alors on a :

|X|= ÿ

OœO

|O|= ÿ

OœO

|G|

|Stab(xO)|

A��. NotonsX^G ={xœX|’gœG, g.x=x} ={xœX|Fix(x) =G}. Alors siGest un groupe d’ordrep^koùpest premier etk >1, on a--X^G--©X modp.

E��. [�� ]SiGagit par conjugaison sur lui-même, notons Zh(G) =)

gœG|ghg^≠1=h*. Alors|G|=|Z(G)|+ ÿ

OœO||O|Ø2

|G|

|ZxO(G)|.

A��. Le centre d’un groupe d’ordrep^koùpest premier etkØ1est non trivial.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Groupes finis. Exemples et applications.

I. C. Sous-groupes de S��

Soitpun nombre premier diviseur denœN^ú. On noteran=p^amoùp-m.

D��. [p-��,p-��-�� S��]

Sinest une puissance dep(m= 1), on dit queGest unp-groupe.

Plus généralement, on appellep-sous-groupe deS��(oup-S��) un sous-groupe deG de cardinalp^a.

T��. [�� S�� ]Il existe au moins unp-S��dansG.

C��. Il existe au moins un sous-groupe deGd’ordrepⁱpour toutiœJ1, aK.

T��. [�� S�� ]

(i) SiH < Gest unp-groupe, alors il existe unp-S��Stel queH < S, (ii) Lesp-S��deGsont tous conjugués,

(iii) Notons le nombre dep-S��deG. Alors |met ©1 modp.

A��. Un groupe d’ordre40a4éléments d’ordre5.

C��. SoitSunp-S��deG. AlorsSCG≈∆Sest l’uniquep-S��deG.

A��. Tout groupe d’ordre63ou255n’est pas simple.

II. Exemples fondamentaux

SoitnœN^úetpun entier premier.

II. A. Le groupe Z /n Z

[Rom��, §�.�, p��–��]

D��. [�� Z/nZ]

En remarquant quenZest distingué dansZ, on définit le groupe quotientZ/nZ. P��. Z/nZest cyclique, de générateurs lesdtels qued·n= 1.

P��. Tout groupe cyclique d’ordrenest isomorphe àZ/nZ.

E��. Un groupe de cardinalpest isomorphe àZ/pZ.

P�� ��. [Per��, §�.�, p��] On a Aut(Z/nZ) ƒ (Z/nZ)^◊. En particulier, Aut(Z/nZ)est abélien de cardinalÏ(n).

De plus,Aut(Z/pZ)ƒ(Z/pZ)^◊ƒ(Z/(p≠1)Z).

II. B. Le groupe S

n [Rom��, Ch�, p��]

D��. [�� Sn] On noteSnle groupe des permutations deJ1, nK.

T��. [�� C��]

SiGest d’ordren, il est isomorphe à un sous-groupe deSn. P��. Les familles suivantes engendrentSn:

• les transpositions((i j))1Æi<jÆn,

• les transpositions((1i))2ÆiÆn,

• les transpositions((i i+ 1))1ÆiÆn≠1,

• la transposition(1 2)et le cycle(1 2 . . . n).

P��. Toute permutation‡deSn se décompose en un produit de cycles à supports disjoints. Ce produit est unique à l’ordre des cycles près. En particulier, la suite (¸1,¸₂, . . . ,¸m)des longueurs des cycles est unique si on impose¸₁ Ø ¸₂ Ø · · · Ø ¸m. On appelle cette suite le type de‡.

P��. [�� Sn]

Deux permutations deSnsont conjuguées si et seulement si elles ont même type.

P��. Il existe deux morphismes deSndansC^ú: l’identité et le morphismeE qui envoie toute transposition sur≠1.

D��. On appelleE l’application signature. On définit le groupe alterné An

comme étant le noyau deE.

P��. PournØ5,Anest simple.

C��. PournØ5, les seuls sous-groupes distingués deSnsont{Id},AnetSn.

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III. Applications

III. A. Constructions de groupes finis

[Per��, §�.�, p��]

Idée : à partir des groupes que nous connaissons, créer des groupes finis « plus complexes ».

D��. [�� ]

• SoitGun groupe etN, H < Gtels queN, Hcommutent,NﬂH ={1}etG=N H. Alors on dit queGest le produit direct deNparH.

• SoitN etH des groupes. Le produit direct deN etH est le produit cartésienG = N◊H, muni de la loi(n, h).(n^Õ, h^Õ) = (nn^Õ, hh^Õ).

L��. [�� ]

Z/mnZƒZ/mZ◊Z/nZsi et seulement sim·n= 1.

D��. [�� -��]

• SoitGun groupe,N CGetH < Gtel queNﬂH ={1}etG=N H. Alors on dit que Gest le produit semi-direct deNparH.

• SoitNetHdes groupes et„:H ≠æAut(N). On définit le produit(n, h).(n^Õ, h^Õ) = (n„(h)(n^Õ), hh^Õ)surG=N◊H.(G, .)est alors une groupe appelé produit semi-direct deNparH. On noteG=No^„H.

E��. Sn=AnoZ/2Zet le produit n’est pas direct.

E��. Contre-exemple :Z/8Zet le groupe des quaternionsH8ne peuvent être écrits comme un produit semi-direct non trivial.

III. B. Le groupe diédral

[Aud��, Ch�/�, p��] [Rom��, §�.�.�/�.�, p��/��]

E��. Isométries du plan conservant un segment[A, B]de centreO: Id l’identité,

ﬂ la rotation d’angleﬁet de centreO, s la symétrie d’axe(AB),

sﬂ la symétrie d’axe la droite orthogonale à(AB)passant parO.

On vérifie que ces isométries forment un groupe isomorphe au groupe deK��(Z/2Z)². D��. [��,��]

Un déplacement (resp. antidéplacement) est un isomorphisme dont la partie linéaire est de déterminant�(resp. -�).

SoitGgroupe fini d’isométries. On noteG⁺ses déplacements etG^≠ses antidéplacements.

P��.

• Il existe un point fixe à toutes les isométries deG,

• G⁺est cyclique, engendré par une rotationﬂ.

• SiGcontient un antidéplacement‡, alors[G : G⁺] = 2etG^≠ = ‡G⁺.‡est une réflexion dont l’axe contient le centre deﬂ. On aG=È‡,ﬂÍ.

E��. Le groupe des isométries du plan préservant un polygône régulier àncôtés de centreOcontient : contient les rotations d’ordrenautour du centre et lesnréflexions par rapport aux droites joignant :

i) nrotations de centreOet d’angle^k2ﬁ_n pourkœJ0, n≠1K,

ii) nsymétries d’axe�sommets ou�milieux de côtés opposés sinest pair,�sommet et le milieu du côté opposé sinest impair.

C’est le groupe diédralD2n.

III. C. Classifications

[Szp��, §�.VI/�.VII, p��/��-��]

Idée : on se donne un groupe fini. Peut-on le décomposer en produits de groupes « faciles » déjà construits?

E��. Pourppremier, un groupe d’ordrep²est isomorphe àZ/p²Zou à(Z/pZ)². P��. On a équivalence :

• tous les sous-groupes deS��deGsont distingués,

• Gest le produit direct de ses sous-groupes deS��.

P��. SoitGde cardinalpqoùp < qsont premiers. [Per��, §�.�, p��-��]

• sip-q≠1,GƒZ/pZ◊Z/qZ,

• sip|q≠1,GƒZ/pZ◊Z/qZouGƒZ/qZo^„Z/pZ, où„est une action non triviale deZ/pZsurZ/qZ.

T��. [�� ] [Rom��, §�.�, p��]

SupposonsGabélien fini d’ordren. Alors il existe un unique entier¸et une unique suited1Ø d2Ø· · ·Ød¸d’entiers supérieurs à�tels quedi+1|dipour toutiÆ¸≠1et

Gƒ Ÿ¸ i=1Z/diZ

E��. Structures possibles d’un groupe abélien de cardinal120ou600.

A��. En utilisant les propriétés vues dans cette leçon, on obtient une classification des groupes de petits ordres. Voir le tableau en annexe.

(4)

��

Classification des groupes de petits ordres :

n Groupes de cardinaln(à isomorphisme près)

1 {1}

2 Z/2Z

3 Z/3Z

4 Z/4Z,(Z/2Z)²

5 Z/5Z

6 Z/6Z,D6

7 Z/7Z

8 Z/8Z,Z/4Z◊Z/2Z,(Z/2Z)³,D8,H8

9 Z/9Z,(Z/3Z)²

10 Z/10Z,D₁₂

11 Z/11Z

15... Z/15Z

21 Z/21Z,Z/7ZoZ/3Z 25 Z/25Z,(Z/5Z)²

35 Z/35Z

36 Z/36Z,(Z/6Z)² 39 Z/39Z,Z/13ZoZ/3Z 49 Z/49Z,(Z/7Z)²

51 Z/51Z

120 Z/120Z,Z/60Z◊Z/2Z,Z/30Z◊(Z/2Z)² Quelques treillis de groupes

��

La notion de groupe est historiquement fondamentale (géométrie, étude des racines des poly- nômes, ...). Pédagogiquement, c’est la première structure algébrique qui apporte une richesse mathématique. Dans cette leçon, on essaye de construire des groupes de petits cardinaux.

Tout d’abord, quelques rappels de vocabulaire et le théorème deL��qui est un résultat fondamental. Puis on introduit les actions de groupes qui sont des outils importants en théorie des groupes, et mènent notamment à l’équation aux classes. La théorie deS��, l’étude des p-groupes, a aussi un rôle majeur, car elle permet de donner des informations sur un groupe à partir de son cardinal. Le premier théorème deS��sera proposé en développement.

Ensuite, on s’intéresse à deux exemples fondamentaux :Z/nZ, avec notamment un isomorphisme classique avec les groupes cycliques, etSn, dont l’intérêt de l’étude est appuyé par le théorème deC��. La simplicité deAnpournØ5sera proposée en développement.

Enfin, dans la dernière partie, on regarde comment créer de nouveaux groupes à partir de groupes simples connus, notamment via les produits (semi)-directs. Le produit semi-direct

nous permet notamment de parler de groupe diédral. Puis inversement on s’intéresse à la classification des groupes de petits cardinaux.

��

Autres références possibles : [Ale��,Com��,Dem��]

��

Q Un groupe d’ordre12ou30est-il simple?

R Pourn= 12, on a nécessairement1ou4 3-S��. S’il y en a1, le groupe n’est pas simple.

Sinon, il y a8éléments d’ordre3car les3-S��sont d’intersections{1}, donc il y a un seul 2-S��qui contient les3éléments restants et1. Donc le groupe n’est pas simple non plus.

Pourn= 30, c’est similaire.

Q Énumérer les groupes de cardinal12. Y en a-t-il des non commutatifs?

R Il y a5groupes de cardinal12(à isomorphisme près).2sont abéliens, les autres, comme le groupe diédralD₁₂, ne le sont pas.

Q SoitHnon distingué. Peut-on munirG/Hd’une structure de groupe?

Q Tous les sous-groupes deZsont distingués, est-ce normal?

R Oui carZest abélien.

Q Un groupe dont tous les sous-groupes sont distingués est-il abélien?

R Par forcément : prendre l’exemple deH8!

Q Donner les groupes abéliens de cardinal120, à isomorphisme près.

Q SoitH CG,SCHunp-S��deH. Montrer queSCG.

Q Pourquoi les groupes suivant sont-ils di�érents :Z/nZ,Sn, Dn,GLⁿ(K)?

Q SoitAest un anneau intègre etGun sous-groupe fini deA^◊. Montrer queGest cyclique.

��

[Ale��] M.A��:Thèmes de géométrie. Dunod,��.

[Aud��] M.A��:Géométrie. EDP Sciences,��.

[Com��] F.C��:Algèbre et géométrie. Bréal,��.

[Dem��] M.D��:Cours d’algèbre. Cassini,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

[Szp��] A.S��:Algèbre L�. Pearson Education,�^èmeédition,��.

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